Kurs:Differentialgeometrie/3/Klausur mit Lösungen


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 0 0 6 6 0 6 11 5 5 3 7 2 0 6 63




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine geodätische Kurve auf einer differenzierbaren Hyperfläche .
  2. Die Rotationsmenge (um die -Achse) zu einer Teilmenge .
  3. Die Tangentialabbildung

    zu einer differenzierbaren Abbildung

    zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten und .

  4. Ein orientierungstreuer Kartenwechsel auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit .
  5. Die zurückgezogene Differentialform zu einer Differentialform bezüglich einer stetig differenzierbaren Abbildung zwischen zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten und .
  6. Ein metrischer linearer Zusammenhang auf dem Tangentialbündel einer riemannschen Mannigfaltigkeit .


Lösung

  1. Eine (als Abbildung nach ) zweimal stetig differenzierbare Kurve

    heißt geodätische Kurve auf , wenn ihre tangentiale Beschleunigung überall gleich ist.

  2. Die Rotationsmenge zu ist
  3. Unter der Tangentialabbildung

    versteht man die disjunkte Vereinigung der Tangentialabbildungen in den einzelnen Punkten, also

  4. Es seien

    und

    orientierte Karten von . Der zugehörige Kartenwechsel

    heißt orientierungstreu, wenn für jeden Punkt das totale Differential

    orientierungstreu ist.

  5. Die zurückgezogene Differentialform ist für und durch

    definiert.

  6. Der Zusammenhang heißt metrisch, wenn

    für beliebige Vektorfelder gilt.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen auf einer differenzierbaren Hyperfläche .
  2. Die Formel für die Berechnung des kanonischen Volumens auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit in einer Karte.
  3. Der Satz über die Partition der Eins.


Lösung

  1. Es sei offen, eine stetig differenzierbare Funktion und die Faser zu , wobei in jedem Punkt von regulär sei. Es sei offen und sei ein differenzierbares Vektorfeld auf mit der Eigenschaft, dass für jeden Punkt der Vektor zum Tangentialraum an die Faser in an gehört. Dann verläuft die Lösung zum Anfangswertproblem zu mit der Anfangsbedingung ganz in .
  2. Es sei eine orientierte riemannsche Mannigfaltigkeit und die kanonische Volumenform. Es sei

    eine orientierte Karte mit

    offen mit Koordinaten mit der metrischen Fundamentalmatrix und . Dann ist

    Für eine messbare Teilmenge ist

  3. Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer abzählbaren Basis der Topologie. Dann gibt es zu jeder offenen Überdeckung eine der Überdeckung untergeordnete stetig differenzierbare Partition der Eins.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (6 Punkte)

Bestimme für die durch

gegebene Fläche und den Punkt

eine Diagonalmatrix für die Weingartenabbildung .


Lösung

Das normierte Gradientenfeld ist

Wir arbeiten mit dem Einheitsnormalenfeld

was auf mit übereinstimmt. Das totale Differential von ist

Im angegebenen Punkt ist der Gradient und die beiden Vektoren und ist eine Basis des Tangetialraumes . Das totale Differential zu ist in diesem Punkt gleich

Angewendet auf den ersten Basisvektor ergibt sich , dies ist also ein Eigenvektor zum Eigenwert . Angewendet auf den zweiten Basisvektor ergibt sich

Daher ist der andere Eigenwert gleich und eine beschreibende Diagonalmatrix ist


Aufgabe (6 Punkte)

Beweise den Isometriesatz für den Paralleltransport auf einer Hyperfläche .


Lösung

Zum Nachweis der Linearität seien and gegeben. Es seien bzw. die gemäß Satz 6.9 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)) eindeutig bestimmten parallelen Vektorfelder längs mit und . Nach Lemma 6.7 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)) ist ein paralleles Vektorfeld mit . Wegen der Eindeutigkeit aus Satz 6.9 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)) ist somit das parallele Vektorfeld zum Tangentialvektor . Daher ist

Zum Nachweis der Verträglichkeit mit dem Skalarprodukt seien wieder gegeben und es seien die zugehörigen parallelen Vektorfelder. Es ist

da tangential sind und orthogonal zum Tangentialraum sind. Daher ist konstant längs des Weges. Daher ist

Die Bijektivität ist damit auch klar.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (6 Punkte)

Es sei eine kompakte topologische -dimensionale Mannigfaltigkeit, . Zeige, dass es eine beschränkte offene Teilmenge und eine stetige surjektive Abbildung

gibt.


Lösung

Zu jedem Punkt wählen wir eine offene Kartenumgebung mit einer Karte

mit . Dabei können wir annehmen, indem wir zu einer Ballumgebung von und dessen Urbild übergehen, dass die offene Bälle sind, deren Radius maximal ist. Die , , überdecken die Mannigfaltigkeit. Wegen der Kompaktheit von gibt es endlich viele Punkte derart, dass auch , , die Mannigfaltigkeit überdecken. Wir platzieren die offenen Bälle in („einem neuen“) , und zwar mit den Mittelpunkten

Wegen der Radiusbedingung sind diese Bälle zueinander disjunkt. Wir betrachten die beschränkte offene Menge . Die Kartenabbildungen liefern stetige Abbildungen

Wegen der Disjunktheit ergibt sich daraus durch , falls ist, eine stetige Abbildung

Wegen der Überdeckungseigenschaft ist diese surjektiv.


Aufgabe (11 (1+3+1+2+4) Punkte)

Wir betrachten die Menge

der reellen nilpotenten - Matrizen sowie die Menge

a) Ist zusammenhängend?

b) Zeige, dass eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit einer offenen Teilmenge ist.

c) Bestimme die Dimension von .

d) Ist zusammenhängend?

e) Überdecke mit expliziten topologischen Karten.


Lösung

a) Jede nilpotente Matrix lässt sich durch den linearen Weg

innerhalb der nilpotenten Matrizen mit der Nullmatrix verbinden. Daher ist wegzusammenhängend und damit auch zusammenhängend.

b) Eine - Matrix ist genau dann nilpotent, wenn sowohl die Spur als auch die Determinante sind. Die Menge der nilpotenten Matrizen kann also als

aufgefasst werden. Wir betrachten die Abbildung

Deren Jacobi-Matrix ist

Diese Abbildung ist im Nullpunkt nicht regulär, aber in jedem anderen Punkt der Faser . Wenn nämlich ist, so folgt wegen

aus

sofort

Die Jacobi-Matrix hat also in den Punkten aus den maximalen Rang. Mit

kann man als die Faser der eingeschränkten Abbildung auffassen, die überall auf der Faser regulär ist. Daher ist nach Satz 8.2 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)) eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von .

c) Nach Satz 8.2 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)) ist die Dimension von gleich .

d) Wir schreiben

und

beides sind (als Durchschnitt von mit der durch gegebenen offenen Menge des ) offene Mengen in . Die Matrizen und zeigen, dass sie nicht leer sind. Ferner überdecken sie ganz . Bei folgt nämlich wegen

direkt , und der Punkt gehört nicht zu . Es liegt also eine Überdeckung mit zwei nichtleeren disjunkten offenen Mengen vor, daher ist nicht zusammenhängend.

e) Wir arbeiten mit der Abbildung

Wegen

ist die Determinantenbedingung erfüllt, und wegen

gehört das Bild zu . Die Abbildung

ist invers zu der gegebenen Abbildung. Dabei ist

klar. Die andere Identität ergibt sich aus

und

Beide Abbildungen sind stetig, daher liegt eine Homöomorphie vor. Für vertauscht man die Rollen von und .


Aufgabe (5 Punkte)

Sagen Sie etwas Schlaues zum Thema Möbiusband.


Lösung Möbiusband/Offene Frage/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

Berechne die Matrix der Abbildung

im Punkt bezüglich einer geeigneten Basis.


Lösung

Die Jacobimatrix von ist allgemein

Für den Punkt liegt daher die Jacobimatrix

vor. Diese Matrix beschreibt die lineare Abbildung

bezüglich der Standardbasen. Wir bestimmen die Matrixdarstellung für die Abbildung

bezüglich der Basen , (links) und (rechts). Dazu müssen wir die Bilder dieser Dachprodukte ausrechnen. Es ist

und

Die beschreibende Matrix ist also


Aufgabe (3 Punkte)

Es seien und offene Teilmengen und sei

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei

eine stetig differenzierbare Funktion. Folgere aus der Kettenregel, dass

gilt, wobei das Zurückziehen von Differentialformen bezeichnet.


Lösung

Es sei und . Es ist einerseits

Andererseits ist auch


Aufgabe (7 Punkte)

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit abzählbarer Basis der Topologie und sei eine positive Volumenform auf . Es sei

ein Diffeomorphismus mit der Mannigfaltigkeit und eine messbare Teilmenge. Zeige


Lösung

Nach Lemma 15.2 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)) können wir davon ausgehen, dass und jeweils ganz in einer Karte von bzw. von liegen, sagen wir mit der Karte

und mit der Karte

Wir können weiter durch verkleinern der Karten davon ausgehen, dass und über diffeomorph zueinander sind. Es liegt dann ein kommutatives Diagramm von Diffeomorphismen

vor, das ein kommutatives Diagramm

von messbaren Mengen induziert. Für die Volumenform auf gilt dabei

nach Lemma 14.7 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023))  (4). Die Volumenform besitzt auf die Beschreibung mit einer messbaren Funktion und ist nach Definition gleich . Ebenso besitzt auf eine Beschreibung der Form . Diese Volumenform auf stimmt mit dem Rückzug von überein und dieser ist nach Korollar 14.9 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)) gleich

(mit ). Somit folgt die Aussage aus [[Diffeomorphismus/Transformationsformel für Integrale/Fakt|Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/3/Klausur mit Lösungen (Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)) (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023))]].


Aufgabe (2 Punkte)

Wir betrachten auf dem trivialen Vektorbündel

vom Rang über den linearen Zusammenhang, der durch die Christoffelsymbole und gegeben sei. Berechne den Krümmungsoperator .


Lösung

Nach Fakt ***** ist


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (6 Punkte)

Beweise den Satz über die Retraktionen auf den Rand auf Mannigfaltigkeiten.


Lösung

Der Rand ist nach Satz 21.8 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)) eine orientierte differenzierbare Mannigfaltigkeit (ohne Rand). Daher gibt es nach Satz 22.11 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)) eine stetig differenzierbare positive Volumenform auf . Es ist . Die äußere Ableitung der Volumenform ist . Nehmen wir an, dass es eine stetig differenzierbare Abbildung

mit gebe. Dann ist die zurückgezogene Form eine - Differentialform auf , deren Einschränkung auf den Rand mit übereinstimmt. Daher gilt unter Verwendung von Satz 23.2 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)) und Satz 20.4 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023))  (5)

Dies ist ein Widerspruch.