Kurs:Differentialgeometrie/3/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	0	0	6	6	0	6	11	5	5	3	7	2	0	6	63

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine geodätische Kurve auf einer differenzierbaren Hyperfläche ${}Y\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
2. Die Rotationsmenge (um die ${}x$-Achse) zu einer Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {R} \times \mathbb {R} _{\geq 0}$.
3. Die Tangentialabbildung

   $T(\varphi )\colon TM\longrightarrow TN$

   zu einer differenzierbaren Abbildung

   $\varphi \colon M\longrightarrow N$

   zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten ${}M$ und ${}N$.

4. Ein orientierungstreuer Kartenwechsel auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$.
5. Die zurückgezogene Differentialform ${}\varphi ^{*}\omega$ zu einer Differentialform ${}\omega \in {\mathcal {E}}^{k}(M)$ bezüglich einer stetig differenzierbaren Abbildung ${}\varphi \colon L\rightarrow M$ zwischen zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten ${}L$ und ${}M$.
6. Ein metrischer linearer Zusammenhang auf dem Tangentialbündel einer riemannschen Mannigfaltigkeit ${}M$.

Lösung

1. Eine (als Abbildung nach ${}\mathbb {R} ^{n}$) zweimal stetig differenzierbare Kurve

   $\gamma \colon I\longrightarrow Y$

   heißt geodätische Kurve auf ${}Y$, wenn ihre tangentiale Beschleunigung überall gleich ${}0$ ist.

2. Die Rotationsmenge zu ${}T$ ist

   ${\left\{(x,y\cos \alpha ,y\sin \alpha )\in \mathbb {R} ^{3}\mid (x,y)\in T,\,\alpha \in [0,2\pi ]\right\}}.$

3. Unter der Tangentialabbildung

   $T(\varphi )\colon TM\longrightarrow TN$

   versteht man die disjunkte Vereinigung der Tangentialabbildungen in den einzelnen Punkten, also

   ${}T(\varphi )=\biguplus _{P\in M}T_{P}(\varphi )\,.$

4. Es seien

   $\alpha _{1}\colon U_{1}\longrightarrow V_{1}$

   und

   $\alpha _{2}\colon U_{2}\longrightarrow V_{2}$

   orientierte Karten von ${}M$. Der zugehörige Kartenwechsel

   $\psi =\alpha _{2}\circ \alpha _{1}^{-1}\colon V_{1}\cap \alpha _{1}(U_{1}\cap U_{2})\longrightarrow V_{2}\cap \alpha _{2}(U_{1}\cap U_{2})$

   heißt orientierungstreu, wenn für jeden Punkt ${}Q\in V_{1}\cap \alpha _{1}(U_{1}\cap U_{2})$ das totale Differential

   $\left(D\psi \right)_{Q}\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

   orientierungstreu ist.

5. Die zurückgezogene Differentialform ${}\varphi ^{*}\omega$ ist für ${}P\in L$ und ${}v_{1},\ldots ,v_{k}\in T_{P}L$ durch

   ${}(\varphi ^{*}\omega )(P,v_{1},\ldots ,v_{k}):=\omega (\varphi (P),T_{P}\varphi (v_{1}),\ldots ,T_{P}\varphi (v_{k}))\,$

   definiert.

6. Der Zusammenhang heißt metrisch, wenn

   ${}D_{V}\left\langle W,Z\right\rangle =\left\langle \nabla _{V}W,Z\right\rangle +\left\langle W,\nabla _{V}Z\right\rangle \,.$

   für beliebige Vektorfelder ${}V,W,Z$ gilt.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen auf einer differenzierbaren Hyperfläche ${}Y\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
2. Die Formel für die Berechnung des kanonischen Volumens auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit in einer Karte.
3. Der Satz über die Partition der Eins.

Lösung

1. Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Es sei ${}Y\subseteq U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und sei ${}F$ ein differenzierbares Vektorfeld auf ${}U$ mit der Eigenschaft, dass für jeden Punkt ${}P\in Y$ der Vektor ${}F(P)$ zum Tangentialraum an die Faser in ${}P$ an ${}Y$ gehört. Dann verläuft die Lösung ${}v(t)$ zum Anfangswertproblem zu ${}F$ mit der Anfangsbedingung ${}v(t_{0})\in Y$ ganz in ${}Y$.
2. Es sei ${}M$ eine orientierte riemannsche Mannigfaltigkeit und ${}\omega$ die kanonische Volumenform. Es sei

   $\alpha \colon U\longrightarrow V$

   eine orientierte Karte mit

   ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}\,$

   offen mit Koordinaten ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ mit der metrischen Fundamentalmatrix ${}G=(g_{ij})_{1\leq i,j\leq n}$ und ${}g=\det G$. Dann ist

   ${}\alpha _{*}\omega ={\sqrt {g}}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\,.$

   Für eine messbare Teilmenge ${}T\subseteq U$ ist

   ${}\int _{T}\omega =\int _{\alpha (T)}{\sqrt {g}}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}=\int _{\alpha (T)}{\sqrt {g}}\,d\lambda ^{n}\,.$

3. Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer abzählbaren Basis der Topologie. Dann gibt es zu jeder offenen Überdeckung eine der Überdeckung untergeordnete stetig differenzierbare Partition der Eins.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (6 Punkte)

Bestimme für die durch

${}x^{2}+y^{2}+2z^{2}=4\,$

gegebene Fläche ${}Y$ und den Punkt

${}P=\left(1,\,1,\,1\right)\in Y\,$

eine Diagonalmatrix für die Weingartenabbildung ${}L_{P}$.

Lösung

Das normierte Gradientenfeld ist

${}{\begin{aligned}N(x,y,z)&={\frac {1}{\sqrt {4x^{2}+4y^{2}+16z^{2}}}}{\begin{pmatrix}2x\\2y\\4z\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+4z^{2}}}}{\begin{pmatrix}x\\y\\2z\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

Wir arbeiten mit dem Einheitsnormalenfeld

${}M(x,y,z)={\frac {1}{\sqrt {4+2z^{2}}}}{\begin{pmatrix}x\\y\\2z\end{pmatrix}}\,,$

was auf ${}Y$ mit ${}N$ übereinstimmt. Das totale Differential von ${}M$ ist

${\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {4+2z^{2}}}}&0&{\frac {-2xz}{{\left(4+2z^{2}\right)}^{3/2}}}\\0&{\frac {1}{\sqrt {4+2z^{2}}}}&{\frac {-2yz}{{\left(4+2z^{2}\right)}^{3/2}}}\\0&0&{\frac {8}{{\left(4+2z^{2}\right)}^{3/2}}}\end{pmatrix}}.$

Im angegebenen Punkt ${}P$ ist der Gradient ${}{\begin{pmatrix}2\\2\\4\end{pmatrix}}$ und die beiden Vektoren ${}{\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix}}$ ist eine Basis des Tangetialraumes ${}T_{P}Y$. Das totale Differential zu ${}M$ ist in diesem Punkt gleich

${\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {6}}}&0&{\frac {-1}{3{\sqrt {6}}}}\\0&{\frac {1}{\sqrt {6}}}&{\frac {-1}{3{\sqrt {6}}}}\\0&0&{\frac {4}{3{\sqrt {6}}}}\end{pmatrix}}.$

Angewendet auf den ersten Basisvektor ${}{\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}$ ergibt sich ${}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {6}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {6}}}\\0\end{pmatrix}}$, dies ist also ein Eigenvektor zum Eigenwert ${}{\frac {1}{\sqrt {6}}}$. Angewendet auf den zweiten Basisvektor ${}{\begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix}}$ ergibt sich

${}{\begin{pmatrix}{\frac {7}{3{\sqrt {6}}}}\\{\frac {1}{3{\sqrt {6}}}}\\-{\frac {4}{3{\sqrt {6}}}}\end{pmatrix}}=-{\frac {1}{3{\sqrt {6}}}}{\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}+{\frac {4}{3{\sqrt {6}}}}{\begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix}}\,.$

Daher ist der andere Eigenwert gleich ${}{\frac {4}{3{\sqrt {6}}}}$ und eine beschreibende Diagonalmatrix ist

${\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {6}}}&0\\0&{\frac {4}{3{\sqrt {6}}}}\end{pmatrix}}.$

Aufgabe (6 Punkte)

Beweise den Isometriesatz für den Paralleltransport auf einer Hyperfläche ${}Y\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.

Lösung

Zum Nachweis der Linearität seien ${}v,w\in T_{P}Y$ and ${}r,s\in \mathbb {R}$ gegeben. Es seien ${}F$ bzw. ${}G$ die gemäß Satz 6.9 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)) eindeutig bestimmten parallelen Vektorfelder längs ${}\gamma$ mit ${}F(a)=v$ und ${}G(a)=w$. Nach Lemma 6.7 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)) ist ${}rF+sG$ ein paralleles Vektorfeld mit ${}(rF+sG)(a)=v+w$. Wegen der Eindeutigkeit aus Satz 6.9 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)) ist somit ${}rF+sG$ das parallele Vektorfeld zum Tangentialvektor ${}rv+sw$. Daher ist

${}\Psi _{\gamma }(rv+sw)=(rF+sG)(b)=rF(b)+sG(b)=r\Psi _{\gamma }(v)+s\Psi _{\gamma }(w)\,.$

Zum Nachweis der Verträglichkeit mit dem Skalarprodukt seien wieder ${}v,w\in T_{P}Y$ gegeben und es seien ${}F,G$ die zugehörigen parallelen Vektorfelder. Es ist

${}\left\langle F(t),G(t)\right\rangle '=\left\langle F'(t),G(t)\right\rangle +\left\langle F(t),G'(t)\right\rangle =0\,,$

da ${}F,G$ tangential sind und ${}F',G'$ orthogonal zum Tangentialraum sind. Daher ist ${}\left\langle F(t),G(t)\right\rangle$ konstant längs des Weges. Daher ist

${}\left\langle \Psi _{\gamma }(v),\Psi _{\gamma }(w)\right\rangle =\left\langle F(b),G(b)\right\rangle =\left\langle F(a),F(a)\right\rangle =\left\langle v,w\right\rangle \,.$

Die Bijektivität ist damit auch klar.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}M$ eine kompakte topologische ${}d$-dimensionale Mannigfaltigkeit, ${}d\geq 1$. Zeige, dass es eine beschränkte offene Teilmenge ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{d}$ und eine stetige surjektive Abbildung

$\varphi \colon U\longrightarrow M$

gibt.

Lösung

Zu jedem Punkt ${}P\in M$ wählen wir eine offene Kartenumgebung ${}P\in U_{P}$ mit einer Karte

$\alpha _{P}\colon U_{P}\longrightarrow V_{P}$

mit ${}V_{P}\subseteq \mathbb {R} ^{d}$. Dabei können wir annehmen, indem wir zu einer Ballumgebung von ${}\alpha _{P}(P)\in V_{P}$ und dessen Urbild übergehen, dass die ${}V_{p}$ offene Bälle sind, deren Radius maximal ${}{\frac {1}{3}}$ ist. Die ${}U_{P}$, ${}P\in M$, überdecken die Mannigfaltigkeit. Wegen der Kompaktheit von ${}M$ gibt es endlich viele Punkte ${}P_{1},\ldots ,P_{n}$ derart, dass auch ${}U_{i}=U_{P_{i}}$, ${}i=1,\ldots ,n$, die Mannigfaltigkeit überdecken. Wir platzieren die offenen Bälle ${}V_{i}=V_{P_{i}}$ in („einem neuen“) ${}\mathbb {R} ^{d}$, und zwar mit den Mittelpunkten

$(1,0,\ldots ,0),(2,0,\ldots ,0),\ldots ,(n,0,\ldots ,0).$

Wegen der Radiusbedingung sind diese Bälle zueinander disjunkt. Wir betrachten die beschränkte offene Menge ${}U=\bigcup _{i=1}^{n}V_{i}$. Die Kartenabbildungen ${}\alpha _{i}$ liefern stetige Abbildungen

$\varphi _{i}:V_{i}{\stackrel {{\left(\alpha _{i}\right)}^{-1}}{\longrightarrow }}U_{i}\longrightarrow M.$

Wegen der Disjunktheit ergibt sich daraus durch ${}\varphi (z)=\varphi _{i}(z)$, falls ${}z\in V_{i}$ ist, eine stetige Abbildung

$\varphi \colon U\longrightarrow M.$

Wegen der Überdeckungseigenschaft ist diese surjektiv.

Aufgabe (11 (1+3+1+2+4) Punkte)

Wir betrachten die Menge

${}N={\left\{A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\mid A{\text{ ist nilpotent}}\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{4}\,$

der reellen nilpotenten ${}2\times 2$- Matrizen sowie die Menge

${}M=N\setminus \{{\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}\}\,.$

a) Ist ${}N$ zusammenhängend?

b) Zeige, dass ${}M$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit einer offenen Teilmenge ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{4}$ ist.

c) Bestimme die Dimension von ${}M$.

d) Ist ${}M$ zusammenhängend?

e) Überdecke ${}M$ mit expliziten topologischen Karten.

Lösung

a) Jede nilpotente Matrix ${}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ lässt sich durch den linearen Weg

$[0,1]\longrightarrow N,\,t\longmapsto t{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}},$

innerhalb der nilpotenten Matrizen mit der Nullmatrix verbinden. Daher ist ${}N$ wegzusammenhängend und damit auch zusammenhängend.

b) Eine ${}2\times 2$- Matrix ist genau dann nilpotent, wenn sowohl die Spur als auch die Determinante ${}0$ sind. Die Menge ${}N$ der nilpotenten Matrizen kann also als

${\left\{(a,b,c,d)\mid a+d=0{\text{ und }}ad-bc=0\right\}}$

aufgefasst werden. Wir betrachten die Abbildung

$\mathbb {R} ^{4}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(a,b,c,d)\longmapsto (a+d,ad-bc).$

Deren Jacobi-Matrix ist

${\begin{pmatrix}1&0&0&1\\d&-c&-b&a\end{pmatrix}}.$

Diese Abbildung ist im Nullpunkt nicht regulär, aber in jedem anderen Punkt der Faser ${}N$. Wenn nämlich ${}P\in M$ ist, so folgt wegen

${}a^{2}=bc\,$

aus

${}b=c=0\,$

sofort

${}a=b=c=d=0\,.$

Die Jacobi-Matrix hat also in den Punkten aus ${}M$ den maximalen Rang. Mit

${}G=\mathbb {R} ^{4}\setminus \{0\}\,$

kann man ${}M$ als die Faser der eingeschränkten Abbildung auffassen, die überall auf der Faser regulär ist. Daher ist ${}M$ nach Satz 8.2 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)) eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von ${}G$.

c) Nach Satz 8.2 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)) ist die Dimension von ${}M$ gleich ${}4-2=2$.

d) Wir schreiben

${}M_{+}={\left\{(a,b,c,d)\in M\mid b>c\right\}}\,$

und

${}M_{-}={\left\{(a,b,c,d)\in M\mid b<c\right\}}\,,$

beides sind (als Durchschnitt von ${}M$ mit der durch ${}b>c$ gegebenen offenen Menge des ${}\mathbb {R} ^{4}$) offene Mengen in ${}M$. Die Matrizen ${}{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}$ zeigen, dass sie nicht leer sind. Ferner überdecken sie ganz ${}M$. Bei ${}b=c$ folgt nämlich wegen

${}0=ad-bc=-a^{2}-b^{2}\,$

direkt ${}a=b=c=d=0$, und der Punkt gehört nicht zu ${}M$. Es liegt also eine Überdeckung mit zwei nichtleeren disjunkten offenen Mengen vor, daher ist ${}M$ nicht zusammenhängend.

e) Wir arbeiten mit der Abbildung

$\psi \colon \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\longrightarrow M_{+},\,(a,u)\longmapsto (a,u+{\sqrt {a^{2}+u^{2}}},u-{\sqrt {a^{2}+u^{2}}},-a).$

Wegen

${}{\begin{aligned}ad-bc&=-a^{2}-{\left(u+{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}\right)}{\left(u-{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}\right)}\\&=-a^{2}-{\left(u^{2}-{\left(a^{2}+u^{2}\right)}\right)}\\&=0\end{aligned}}$

ist die Determinantenbedingung erfüllt, und wegen

${}b-c=u+{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}-{\left(u-{\sqrt {a^{2}+u^{2}}})\right)}=2{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}>0\,$

gehört das Bild zu ${}M_{+}$. Die Abbildung

$\varphi \colon M_{+}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\},\,(a,b,c,d)\longmapsto \left(a,\,{\frac {b+c}{2}}\right),$

ist invers zu der gegebenen Abbildung. Dabei ist

${}\varphi \circ \psi =\operatorname {Id} _{\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}\,$

klar. Die andere Identität ergibt sich aus

${}{\begin{aligned}{\frac {b+c}{2}}+{\sqrt {a^{2}+{\left({\frac {b+c}{2}}\right)}^{2}}}&={\frac {b+c}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {4a^{2}+b^{2}+c^{2}+2bc}}\\&={\frac {b+c}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {b^{2}+c^{2}-2bc}}\\&={\frac {b+c}{2}}+{\frac {b-c}{2}}\\&=b\end{aligned}}$

und

${}{\frac {b+c}{2}}-{\sqrt {a^{2}+{\left({\frac {b+c}{2}}\right)}^{2}}}={\frac {b+c}{2}}-{\frac {b-c}{2}}=c\,.$

Beide Abbildungen sind stetig, daher liegt eine Homöomorphie vor. Für ${}M_{-}$ vertauscht man die Rollen von ${}b$ und ${}c$.

Aufgabe (5 Punkte)

Sagen Sie etwas Schlaues zum Thema Möbiusband.

Lösung Möbiusband/Offene Frage/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y,z)\longmapsto (xyz^{2},xy-z^{3}).$

Berechne die Matrix der Abbildung

$\bigwedge ^{2}T_{P}(\varphi )\colon \bigwedge ^{2}T_{P}\mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \bigwedge ^{2}T_{\varphi (P)}\mathbb {R} ^{2}$

im Punkt ${}P=(1,3,5)$ bezüglich einer geeigneten Basis.

Lösung

Die Jacobimatrix von ${}\varphi$ ist allgemein

${\begin{pmatrix}yz^{2}&xz^{2}&2xyz\\y&x&-3z^{2}\end{pmatrix}}.$

Für den Punkt ${}P=(1,3,5)$ liegt daher die Jacobimatrix

${\begin{pmatrix}75&25&30\\3&1&-75\end{pmatrix}}$

vor. Diese Matrix beschreibt die lineare Abbildung

$L\colon T_{P}\mathbb {R} ^{3}\cong \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow T_{\varphi (P)}\mathbb {R} ^{2}\cong \mathbb {R} ^{2}$

bezüglich der Standardbasen. Wir bestimmen die Matrixdarstellung für die Abbildung

$\bigwedge ^{2}L\colon \bigwedge ^{2}\mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \bigwedge ^{2}\mathbb {R} ^{2}$

bezüglich der Basen ${}e_{1}\wedge e_{2},\,e_{1}\wedge e_{3}$ , ${}e_{2}\wedge e_{3}$ (links) und ${}e_{1}\wedge e_{2}$ (rechts). Dazu müssen wir die Bilder dieser Dachprodukte ausrechnen. Es ist

${}{\begin{aligned}(\bigwedge ^{2}L)(e_{1}\wedge e_{2})&=L(e_{1})\wedge L(e_{2})\\&=(75e_{1}+3e_{2})\wedge (25e_{1}+1e_{2})\\&=75e_{1}\wedge e_{2}+75e_{2}\wedge e_{1}\\&=75e_{1}\wedge e_{2}-75e_{1}\wedge e_{2}\\&=0,\end{aligned}}$

${}{\begin{aligned}(\bigwedge ^{2}L)(e_{1}\wedge e_{3})&=L(e_{1})\wedge L(e_{3})\\&=(75e_{1}+3e_{2})\wedge (30e_{1}-75e_{2})\\&=-75^{2}e_{1}\wedge e_{2}+90e_{2}\wedge e_{1}\\&=(-5625-90)e_{1}\wedge e_{2}\\&=-5715e_{1}\wedge e_{2},\end{aligned}}$

und

${}{\begin{aligned}(\bigwedge ^{2}L)(e_{2}\wedge e_{3})&=L(e_{2})\wedge L(e_{3})\\&=(25e_{1}+1e_{2})\wedge (30e_{1}-75e_{2})\\&=-1875e_{1}\wedge e_{2}+30e_{2}\wedge e_{1}\\&=-1905e_{1}\wedge e_{2}.\end{aligned}}$

Die beschreibende Matrix ist also

$\left(0,-5715,-1905\right).$

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ und ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offene Teilmengen und sei

$\psi \colon W\longrightarrow U$

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei

$f\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetig differenzierbare Funktion. Folgere aus der Kettenregel, dass

${}d(\psi ^{*}f)=\psi ^{*}(df)\,$

gilt, wobei ${}\psi ^{*}$ das Zurückziehen von Differentialformen bezeichnet.

Lösung

Es sei ${}P\in W$ und ${}v\in \mathbb {R} ^{m}$. Es ist einerseits

${}d(\psi ^{*}f)(P,v)=D_{P}(f\circ \psi )(v)={\left({\left(D_{\psi (P)}f\right)}\circ {\left(D_{P}\psi \right)}\right)}(v)=D_{\psi (P)}(f){\left(D_{P}\psi (v)\right)}\,.$

Andererseits ist auch

${}{\left(\psi ^{*}(df)\right)}(P,v)=(df){\left(\psi (P),(D_{P}\psi )(v)\right)}=D_{\psi (P)}(f){\left(D_{P}\psi (v)\right)}\,.$

Aufgabe (7 Punkte)

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit abzählbarer Basis der Topologie und sei ${}\omega$ eine positive Volumenform auf ${}M$. Es sei

$\varphi \colon L\longrightarrow M$

ein Diffeomorphismus mit der Mannigfaltigkeit ${}L$ und ${}S\subseteq L$ eine messbare Teilmenge. Zeige

${}\int _{S}\varphi ^{*}\omega =\int _{\varphi (S)}\omega \,.$

Lösung

Nach Lemma 15.2 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)) können wir davon ausgehen, dass ${}S$ und ${}\varphi (S)$ jeweils ganz in einer Karte von ${}L$ bzw. von ${}M$ liegen, sagen wir ${}S\subseteq U$ mit der Karte

$\alpha \colon U\longrightarrow U'\subseteq \mathbb {R} ^{n}$

und ${}\varphi (S)\subseteq V$ mit der Karte

$\beta \colon V\longrightarrow V'\subseteq \mathbb {R} ^{n}.$

Wir können weiter durch verkleinern der Karten davon ausgehen, dass ${}U$ und ${}V$ über ${}\varphi$ diffeomorph zueinander sind. Es liegt dann ein kommutatives Diagramm von Diffeomorphismen

${\begin{matrix}U&{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}&V&\\\!\!\!\!\!\alpha \downarrow &&\downarrow \beta \!\!\!\!\!&\\U'&{\stackrel {\beta \circ \varphi \circ \alpha ^{-1}}{\longrightarrow }}&V'&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

vor, das ein kommutatives Diagramm

${\begin{matrix}S&{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}&\varphi (S)&\\\!\!\!\!\!\alpha \downarrow &&\downarrow \beta \!\!\!\!\!&\\\alpha (S)&{\stackrel {\beta \circ \varphi \circ \alpha ^{-1}}{\longrightarrow }}&\beta (\varphi (S))&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

von messbaren Mengen induziert. Für die Volumenform ${}\omega$ auf ${}V$ gilt dabei

${}\alpha ^{{-1}*}(\varphi ^{*}\omega )={\left(\beta \circ \varphi \circ \alpha ^{-1}\right)}^{*}(\beta ^{{-1}*}\omega )\,.$

nach Lemma 14.7 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023))  (4). Die Volumenform ${}\beta ^{{-1}*}\omega$ besitzt auf ${}V'$ die Beschreibung ${}gdy_{1}\wedge \ldots \wedge dy_{n}$ mit einer messbaren Funktion ${}g\colon V'\rightarrow \mathbb {R}$ und ${}\int _{\varphi (S)}\omega$ ist nach Definition gleich ${}\int _{\beta (\varphi (S))}gd\lambda ^{n}$. Ebenso besitzt ${}\alpha ^{{-1}*}(\varphi ^{*}\omega )$ auf ${}U'$ eine Beschreibung der Form ${}fdx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}$. Diese Volumenform auf ${}U'$ stimmt mit dem Rückzug von ${}gdy_{1}\wedge \ldots \wedge dy_{n}$ überein und dieser ist nach Korollar 14.9 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)) gleich

$(g\circ \psi )\cdot \det {\left({\left({\frac {\partial \psi _{i}}{\partial x_{j}}}\right)}_{1\leq i,j\leq n}\right)}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}$

(mit ${}\psi =\beta \circ \varphi \circ \alpha ^{-1}$). Somit folgt die Aussage aus [[Diffeomorphismus/Transformationsformel für Integrale/Fakt|Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/3/Klausur mit Lösungen (Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)) (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023))]].

Aufgabe (2 Punkte)

Wir betrachten auf dem trivialen Vektorbündel

$p\colon \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

vom Rang ${}1$ über ${}\mathbb {R} ^{2}$ den linearen Zusammenhang, der durch die Christoffelsymbole ${}\Gamma _{1}(x,y)=x^{5}-x^{2}y^{2}+3y^{4}$ und ${}\Gamma _{2}(x,y)=7x^{3}+xy^{2}-4y^{5}$ gegeben sei. Berechne den Krümmungsoperator ${}R{\left(\partial _{1},\partial _{2}\right)}$.

Lösung

Nach Fakt ***** ist

${}{\begin{aligned}R{\left(\partial _{1},\partial _{2}\right)}&=\partial _{1}\Gamma _{2}-\partial _{2}\Gamma _{1}\\&=\partial _{1}{\left(7x^{3}+xy^{2}-4y^{5}\right)}-\partial _{2}{\left(x^{5}-x^{2}y^{2}+3y^{4}\right)}\\&=21x^{2}+y^{2}-5x^{4}-2xy^{2}.\end{aligned}}$

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (6 Punkte)

Beweise den Satz über die Retraktionen auf den Rand auf Mannigfaltigkeiten.

Lösung

Der Rand ${}\partial M$ ist nach Satz 21.8 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)) eine orientierte differenzierbare Mannigfaltigkeit (ohne Rand). Daher gibt es nach Satz 22.11 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)) eine stetig differenzierbare positive Volumenform ${}\tau$ auf ${}\partial M$. Es ist ${}\int _{\partial M}\tau >0$. Die äußere Ableitung der Volumenform ${}\tau$ ist ${}0$. Nehmen wir an, dass es eine stetig differenzierbare Abbildung

$\varphi \colon M\longrightarrow \partial M$

mit ${}\varphi {|}_{\partial M}=\operatorname {Id} _{\partial M}$ gebe. Dann ist die zurückgezogene Form ${}\varphi ^{*}\tau$ eine ${}(n-1)$- Differentialform auf ${}M$, deren Einschränkung auf den Rand mit ${}\tau$ übereinstimmt. Daher gilt unter Verwendung von Satz 23.2 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)) und Satz 20.4 (Differentialgeometrie (Osnabrück 2023))  (5)

${}{\begin{aligned}\int _{\partial M}\tau &=\int _{\partial M}\varphi ^{*}\tau \\&=\int _{M}d(\varphi ^{*}\tau )\\&=\int _{M}\varphi ^{*}(d\tau )\\&=\int _{M}\varphi ^{*}(0)\\&=0.\end{aligned}}$

Dies ist ein Widerspruch.