Topologischer Raum/Reelles Vektorbündel/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und ${}r\in \mathbb {N}$. Ein reelles Vektorbündel ${}V$ vom Rang ${}r$ ist ein topologischer Raum zusammen mit einer stetigen Abbildung ${}p\colon V\rightarrow X$ derart, dass jede Faser ${}p^{-1}(x)$ ein ${}r$-dimensionaler reeller Vektorraum ist und dass es eine offene Überdeckung ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und Homöomorphismen

$\varphi _{i}\colon p^{-1}{\left(U_{i}\right)}\longrightarrow U_{i}\times \mathbb {R} ^{r}$

über ${}U_{i}$ gibt, die in jeder Faser einen linearen Isomorphismus

${\left(\varphi _{i}\right)}_{x}\colon p^{-1}(x)\longrightarrow \mathbb {R} ^{r}$

induzieren.

Dabei nennt man ${}V$ auch den Totalraum und ${}X$ den Basisraum des Vektorbündels. Für die Faser schreibt man oft auch ${}V_{x}=p^{-1}(x)$.

In der Homöomorphie ${}p^{-1}(U)\rightarrow U\times \mathbb {R} ^{r}$ ist die rechte Seite mit der Produkttopologie und der ${}\mathbb {R} ^{r}$ mit der natürlichen euklidischen Topologie und ${}p^{-1}(U)$ ist mit der induzierten Topologie von ${}V$ versehen. Somit tragen alle Fasern ${}V_{x}$ die natürliche Topologie eines endlichdimensionalen reellen Vektorraumes. Mit Homöomorphismus über ${}U$ ist gemeint, dass das Diagramm

${\begin{matrix}p^{-1}(U)&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&U\times \mathbb {R} ^{n}&\\&\searrow &\downarrow &\\&&U&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

kommutiert. Das Produkt ${}X\times \mathbb {R} ^{r}$ ist ein Vektorbündel, das das triviale Vektorbündel heißt.

Lemma

Es sei ${}p\colon V\rightarrow X$ ein reelles Vektorbündel über einem topologischen Raum ${}X$.

Dann ist zu jeder offenen Menge ${}W\subseteq X$ die Einschränkung

$p^{-1}(W)\longrightarrow W$

ebenfalls ein Vektorbündel.

Beweis

Dies ist klar, man muss einfach nur die faserweise linearen Homöomorphismen

$\varphi _{i}\colon p^{-1}{\left(U_{i}\right)}\longrightarrow U_{i}\times \mathbb {R} ^{r}$

zu

$\varphi _{i}{|}_{W\cap U_{i}}\colon p^{-1}{\left(W\cap U_{i}\right)}\longrightarrow {\left(W\cap U_{i}\right)}\times \mathbb {R} ^{r}$

einschränken.

$\Box$

Die Einschränkung eines Vektorbündels auf die ${}U_{i}$ ist trivial. Lokal ist also jedes Vektorbündel trivial.

Definition

Es seien ${}E$ und ${}F$ reelle Vektorbündel auf einem topologischen Raum ${}X$. Ein Homomorphismus von Vektorbündeln ${}\varphi \colon E\rightarrow F$ ist eine stetige Abbildung über ${}X$ derart, dass für jeden Punkt ${}x\in X$ die induzierte Abbildung

$\varphi _{x}\colon E_{x}\longrightarrow F_{x}$

${}\mathbb {R}$-linear ist.

Definition

Es seien ${}E$ und ${}F$ reelle Vektorbündel auf einem topologischen Raum ${}X$. Ein Homomorphismus von Vektorbündeln ${}\varphi \colon E\rightarrow F$ heißt Isomorphismus, wenn es einen Homomophismus ${}\psi \colon F\rightarrow E$ gibt, der verknüpft mit ${}\varphi$ (in beiden Reihenfolgen) die Identität ergibt.