Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 17/latex
\setcounter{section}{17}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabbeledisp {\varphi} {\R^n} {\R } { \left( x_1 , \, \ldots , \, x_n \right) } {a_1x_1 + \cdots + a_nx_n } {,} eine \definitionsverweis {Linearform}{}{.} Es sei $M$ der \definitionsverweis {Graph}{}{} dieser Funktion, den wir als \definitionsverweis {riemannsche Mannigfaltigkeit}{}{} auffassen. Zeige, dass zwischen den Volumina entsprechender Teilmengen des $\R^n$ und des Graphen eine konstante Beziehung besteht.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Berechne den Flächeninhalt der Sphäre mit Hilfe von Korollar 17.1.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Diskutiere die
\definitionsverweis {Rotationsfläche}{}{} $S$ zu
\mathdisp {M= { \left\{ ( \sin { \frac{ 1 }{ y } } ,y) \mid y> 0 \right\} }} { }
um die $x$-Achse $A$. Ist $S$ eine
\definitionsverweis {abgeschlossene Untermannigfaltigkeit}{}{} von
\mathl{\R^3 \setminus A}{?} Ist die Menge $S$
\definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} in $\R^3$? Ist der
\definitionsverweis {Abschluss}{}{} von $S$ in $\R^3$ eine Mannigfaltigkeit?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass der Flächeninhalt der Rotationsfläche, die entsteht, wenn man den Graphen
\mathdisp {\Gamma = { \left\{ (x,e^x) \mid x \leq 0 \right\} }} { }
um die $x$-Achse rotieren lässt, kleiner als $10$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestätige, dass die in Beispiel 17.6, Beispiel 17.7 und Beispiel 17.8 angegebenen \definitionsverweis {Abbildungen}{}{} ihr \definitionsverweis {Bild}{}{} auf der \definitionsverweis {Einheitssphäre}{}{} haben und bis auf eine \definitionsverweis {Nullmenge}{}{} surjektiv sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \zusatzklammer {partiell definierten} {} {} \definitionsverweis {Umkehrabbildungen}{}{} zu den in Beispiel 17.6, Beispiel 17.7 und Beispiel 17.8 angegebenen \definitionsverweis {Abbildungen}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass \definitionsverweis {Längenkreise}{}{} und \definitionsverweis {Breitenkreise}{}{} auf der Erdkugel \definitionsverweis {senkrecht}{}{} aufeinander stehen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wie lange ist der $30$-ste \definitionsverweis {Breitenkreis}{}{} auf der Erde \zusatzklammer {man setze den Erdradius mit $6370$ km an} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Welcher Prozentanteil der Erde wird in einem Moment von der Sonne beschienen \zusatzklammer {die Sonne soll wegen ihrer großen Entfernung als punktförmig angesetzt werden} {} {?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte den Ellipsoid
\mathdisp {M={ \left\{ (x,y,z)\in \R^3 \mid \ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2} =1 \right\} }} { , }
für $a,b,c\in\mathbb{R}_{+}$. Berechne den Flächeninhalt von M für
\mathl{a= b}{.} Was passiert für
\mathl{a\rightarrow c}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme das \definitionsverweis {Infimum}{}{} und das \definitionsverweis {Supremum}{}{} der \definitionsverweis {Länge}{}{} der Bilder der \definitionsverweis {Großkreise}{}{} auf der in Beispiel 17.6 beschriebenen Karte.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bringe Korollar 17.1 und Beispiel 15.10 mit Hilfe von Aufgabe 16.10 miteinander in Verbindung.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabbdisp {\alpha} {S^2 \setminus \{N\}} { \R^2 } {} die \definitionsverweis {stereographische Projektion}{}{.}
a) Bestime
\mathl{\alpha_* \omega}{} zur
\definitionsverweis {kanonischen Flächenform}{}{}
auf $S^2$.
b) Berechne mit
\mathl{\alpha_* \omega}{} den Flächeninhalt der Sphäre.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{5}
{
Wir betrachten den
\definitionsverweis {Graphen}{}{}
$M$ der Funktion
\maabbeledisp {\psi} {\R^2} {\R
} {(x,y)} {y+x^2
} {,}
als
\definitionsverweis {riemannsche Mannigfaltigkeit}{}{.}
Berechne den Flächeninhalt des Graphen oberhalb des Quadrats
\mathl{[-1,1] \times [-1,1]}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Es sei
\mathdisp {M= { \left\{ (x,x^2) \mid x \in \R \right\} } \subseteq \R^2} { }
die
\definitionsverweis {Parabel}{}{,}
also der
\definitionsverweis {Graph}{}{}
der
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\maabbeledisp {} {\R} {\R
} {x} {x^2
} {.}
Zeige, dass die zugehörige
\definitionsverweis {Rotationsfläche}{}{}
um die $x$-Achse keine
\definitionsverweis {Mannigfaltigkeit}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Man stelle eine \definitionsverweis {Kugeloberfläche}{}{} als \definitionsverweis {Rotationsfläche}{}{} dar und berechne damit den Inhalt der Kugeloberfläche.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Man stelle einen \definitionsverweis {Torus}{}{} als \definitionsverweis {Rotationsfläche}{}{} dar und berechne damit seinen Flächeninhalt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Bestimme den \anfuehrung{Abstand}{} zwischen Osnabrück und Bangalore \zusatzklammer {den Erdradius mit $6370$ km ansetzen} {} {} in den beiden folgenden Sinnen.
a) Entlang der Erdoberfläche \zusatzklammer {Luftlinie} {} {.}
b) Durch die Erde \zusatzklammer {Maulwurfslinie} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Wie lange ist das Bild des $30$-sten \definitionsverweis {Breitenkreises}{}{} auf den in Beispiel 17.6, Beispiel 17.7 und Beispiel 17.8 beschriebenen \definitionsverweis {Karten}{}{} \zusatzklammer {man setze den Erdradius mit $6370$ km an} {} {?}
}
{} {}