Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 2/latex

\setcounter{section}{2}






\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien \maabbdisp {f,g} {\R} { \R^n } {} \definitionsverweis {differenzierbare Kurven}{}{.} Berechne die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der Funktion \maabbeledisp {} {\R} {\R } {t} { \left\langle f(t) , g(t) \right\rangle } {.} Formuliere das Ergebnis mit dem Skalarprodukt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei \maabb {h} {I} {V } {} eine zweimal differenzierbare Kurve in einem \definitionsverweis {euklidischen Vektorraum}{}{} $V$. Zeige, dass bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{h'(t) }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert { h'(t)} \Vert' }
{ =} { { \frac{ \left\langle h'(t) , h^{\prime \prime} (t) \right\rangle }{ \left\langle h'(t) , h'(t) \right\rangle } } \Vert { h'(t)} \Vert }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}


Eine \definitionsverweis {differenzierbare Kurve}{}{} \maabbeledisp {f} {[a,b]} {\R^n } {t} {f(t) = \left( f_1(t) , \, \ldots , \, f_n(t) \right) } {,} heißt \definitionswort {bogenparametrisiert}{,} wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f_1'(t)^2 + \cdots + f_n'(t)^2 }
{ = }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle $t$ gilt.





\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabb {\gamma} {I} {\R^n } {} eine zweimal \definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{} \definitionsverweis {bogenparametrisierte}{}{} Kurve. Zeige, dass \mathkor {} {\gamma'(t)} {und} {\gamma^{\prime \prime}(t)} {} aufeinander senkrecht stehen.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Punkt und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I }
{ = }{ {]{-1},1[} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Wir betrachten die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M }
{ =} { { \left\{ f:I \rightarrow \R^n \mid f \text{ differenzierbar} , \, f(0) = P \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Wir nennen zwei \definitionsverweis {Kurven}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f,g }
{ \in }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \stichwort {tangential äquivalent} {,} wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f'(0) }
{ =} { g'(0) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist.

a) Zeige, dass dies eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} ist.

b) Finde den einfachsten Vertreter für die \definitionsverweis {Äquivalenzklassen}{}{.}

c) Man gebe für jede Klasse einen weiteren Vertreter an.

d) Beschreibe die Menge der Äquivalenzklassen \zusatzklammer {also die \definitionsverweis {Quotientenmenge}{}{}} {} {.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel für eine \zusatzklammer {überall reguläre} {} {} \definitionsverweis {differenzierbare Hyperfläche}{}{,} die nicht \definitionsverweis {zusammenhängend}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V }
{ \subseteq }{ \R^{n-1} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {offene Menge}{}{} und sei \maabbdisp {f} {V} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{} Funktion, wir betrachten den \definitionsverweis {Graphen}{}{} $Y$ zu $f$ als differenzierbare Hyperfläche in $\R^n$ im Sinne von Beispiel 1.2. Bestimme die \definitionsverweis {Einheitsnormalenfelder}{}{} in diesem Fall.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien \mathkor {} {r} {und} {R} {} positive reelle Zahlen mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0 }
{ < }{ r }
{ < }{ R }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Bestimme ein \definitionsverweis {Einheitsnormalenfeld}{}{} für den \zusatzklammer {eingebetteten} {} {} Torus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T }
{ =} { { \left\{ (x,y,z) \in \R^3 \mid { \left( \sqrt{x^2+y^2} -R \right) }^2 +z^2 = r^2 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {I} {\R_+ } {} eine \definitionsverweis {differenzierbare Funktion}{}{} und sei $Y$ die zugehörige Rotationsfläche zum Graphen von $f$ als differenzierbare Hyperfläche in $\R^n$ im Sinne von Lemma 2.1. Bestimme die \definitionsverweis {Einheitsnormalenfelder}{}{} in diesem Fall.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Gauß-Abbildung}{}{} auf einer Hyperebene konstant ist. Gilt davon auch die Umkehrung?

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Gauß-Abbildung}{}{} auf einer Sphäre im $\R^n$ mit dem Ursprung als Mittelpunkt durch eine Streckung des $\R^n$ induziert wird.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y }
{ \subseteq }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {differenzierbare Hyperfläche}{}{} mit dem \definitionsverweis {Einheitsnormalenfeld}{}{} $N$ und dem entgegengesetzten Einheitsnormalenfeld $-N$. Zeige, dass sich die zugehörigen \definitionsverweis {Gauß-Abbildungen}{}{} um die \definitionsverweis {Antipodenabbildung}{}{} \maabbeledisp {} {S^{n-1}} {S^{n-1} } {P} {-P } {m} unterscheiden.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \alpha,\beta }
{ \in }{ \R_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Y }
{ =} { { \left\{ (x,y)\in\R^2 \mid \alpha x^2+\beta y^2 = 1 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} \aufzaehlungzwei {Bestimme die \definitionsverweis {Gauß-Abbildung}{}{} zu $Y$. } {Man gebe zur Gauß-Abbildung zu $Y$ explizit eine \definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{} an. }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \alpha,\beta }
{ \in }{ \R_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Y }
{ =} { { \left\{ (x,y)\in\R^2 \mid \alpha x^2+\beta y^2 = 1 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Gauß-Abbildung}{}{} zu $Y$ bijektiv ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel für eine \definitionsverweis {differenzierbare Hyperfläche}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y }
{ \subseteq }{ \R^2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart, dass die \definitionsverweis {Gauß-Abbildung}{}{} surjektiv ist und dass es Punkte auf $S^1$ gibt, die unendlich oft angenommen werden.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ W }
{ \subseteq }{\R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {offen}{}{,} \maabb {h} {W} { \R } {} eine \definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y }
{ = }{ h^{-1}(c) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die \definitionsverweis {Faser}{}{} zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ \definitionsverweis {regulär}{}{} sei. Es sei \maabbdisp {L} {\R^n} { \R^n } {} eine \definitionsverweis {lineare Isometrie}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ W' }
{ = }{ L^{-1}(W) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Z }
{ =} { L^{-1}(Y) }
{ =} { (h \circ L)^{-1}(c) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass sich die Konzepte geodätische Kurve, Normalenfeld, Einheitsnormalenfeld, Gauß-Abbildung auf $Y$ und auf $Z$ entsprechen \zusatzklammer {also mit Hilfe von $L$ ineinander überführt werden können} {} {.}

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme das Bild unter der \definitionsverweis {Gauß-Abbildung}{}{} zur Standardparabel mit der nach oben gerichteten Orientierung.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ W }
{ = }{ \R^3 \setminus \{ (0,0,0) \} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y }
{ \subseteq }{ W }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die \definitionsverweis {Nullstellenmenge}{}{} zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ h(x,y,z) }
{ =} { x^2+y^2-z^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Bestimme das Bild von $Y$ \zusatzklammer {mit der durch den Gradienten von $h$ gegebenen Orientierung} {} {} unter der \definitionsverweis {Gauß-Abbildung}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{5}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \alpha,\beta, \gamma }
{ \in }{ \R_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Y }
{ =} { { \left\{ (x,y,z) \in \R^3 \mid \alpha x^2+ \beta y^2 + \gamma z^2 = 1 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Gauß-Abbildung}{}{} zu $Y$ bijektiv ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ W }
{ \subseteq }{\R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {offen}{}{,} \maabb {h} {W} { \R } {} eine \definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y }
{ = }{ h^{-1}(c) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die \definitionsverweis {Faser}{}{} zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$ \definitionsverweis {regulär}{}{} sei. Es sei \maabbdisp {L} {\R^n} { \R^n } {} eine \definitionsverweis {lineare Isomorphie}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ W' }
{ = }{ L^{-1}(W) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Z }
{ =} { L^{-1}(Y) }
{ =} { (h \circ L)^{-1}(c) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass sich die Konzepte geodätische Kurve, Normalenfeld, Einheitsnormalenfeld, Gauß-Abbildung auf $Y$ und auf $Z$ im Allgemeinen nicht entsprechen \zusatzklammer {im Gegensatz zu Aufgabe 2.14, wo eine Isometrie vorliegt} {} {.}

}
{} {}