Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Arbeitsblatt 7

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

ein Gruppenhomomorphismus. Ist das Bild von ${}\varphi$ ein Normalteiler in ${}H$?

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine Gruppe und sei ${}g\in G$ ein Element und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow G,\,h\longmapsto hg,$

die Multiplikation mit ${}g$. Zeige, dass ${}\varphi$ bijektiv ist, und dass ${}\varphi$ genau dann ein Gruppenhomomorphismus ist, wenn ${}g=e_{G}$ ist.

Aufgabe *

Es sei ${}p$ eine Primzahl und sei ${}G$ eine Gruppe der Ordnung ${}p$. Zeige, dass ${}G$ eine zyklische Gruppe ist.

Aufgabe *

Es seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

ein Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass das Urbild ${}\varphi ^{-1}(N)$ eines Normalteilers ${}N\subseteq H$ ein Normalteiler in ${}G$ ist.

Aufgabe

Zeige, dass der Durchschnitt von Normalteilern ${}N_{i}$, ${}i\in I$, in einer Gruppe ${}G$ ein Normalteiler ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Untergruppen von ${}\mathbb {Z} /(15)$.

Aufgabe (2 Punkte)

Es seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass das Bild ${}\varphi (N)$ eines Normalteilers ${}N\subseteq G$ ein Normalteiler in ${}H$ ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass jede Untergruppe vom Index zwei in einer Gruppe ${}G$ ein Normalteiler in ${}G$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen mit der Produktgruppe ${}G\times H$. Zeige, dass die Gruppe ${}G\times \{e_{H}\}$ ein Normalteiler in ${}G\times H$ ist, und dass die Restklassengruppe ${}(G\times H)/G\times \{e_{H}\}$ kanonisch isomorph zu ${}H$ ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}G$ eine Gruppe und sei ${}M$ eine Menge mit einer Verknüpfung. Es sei

$\varphi \colon G\longrightarrow M$

eine surjektive Abbildung mit ${}\varphi (gh)=\varphi (g)\varphi (h)$ für alle ${}g,h\in G$. Zeige, dass ${}M$ eine Gruppe und ${}\varphi$ ein Gruppenhomomorphismus ist.

Aufgabe (5 Punkte)

Man gebe ein Beispiel von drei Untergruppen ${}F\subseteq G\subseteq H$ an derart, dass ${}F$ ein Normalteiler in ${}G$ und ${}G$ ein Normalteiler in ${}H$, aber ${}F$ kein Normalteiler in ${}H$ ist.