Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Arbeitsblatt 8

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}g\in G$ ein Element mit dem (nach Lemma 5.5) zugehörigen Gruppenhomomorphismus

$\varphi \colon \mathbb {Z} \longrightarrow G,\,n\longmapsto g^{n}.$

Beschreibe die kanonische Faktorisierung von ${}\varphi$ gemäß Korollar 8.2.

Aufgabe

Zeige mit Hilfe der Homomorphiesätze, dass zyklische Gruppen mit der gleichen Ordnung isomorph sind.

Aufgabe

Seien ${}G,H$ und ${}F$ Gruppen und seien ${}\varphi \colon G\rightarrow H$ und ${}\psi \colon G\rightarrow F$ Gruppenhomomorphismen mit ${}\psi$ surjektiv und mit ${}\operatorname {kern} \psi \subseteq \operatorname {kern} \varphi$. Bestimme den Kern des induzierten Homomorphismus

${\tilde {\varphi }}\colon F\longrightarrow H.$

Aufgabe

Es sei ${}p$ eine Primzahl. Definiere einen Gruppenhomomorphismus

$(\mathbb {Q} \setminus \{0\},\cdot ,1)\longrightarrow (\mathbb {Z} ,+,0),$

der ${}p\mapsto 1$ und alle anderen Primzahlen auf ${}0$ schickt.

Aufgabe

Berechne für die Permutation ${}\sigma$ mit

${}P$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$	${}7$	${}8$	${}9$	${}10$
${}\sigma (P)$	${}7$	${}10$	${}3$	${}9$	${}5$	${}2$	${}4$	${}1$	${}8$	${}6$

die Potenzen ${}\sigma ^{2}$ und ${}\sigma ^{3}$. Bestimme die Zyklendarstellung für diese drei Permutationen an.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine Menge und sei ${}\sigma \colon M\rightarrow M$ eine Permutation. Definiere auf ${}M$ die Relation ${}R$ durch

$xRy{\text{ genau dann, wenn es ein }}n\in \mathbb {Z} {\text{ gibt mit }}y=\sigma ^{n}(x).$

Zeige, dass ${}R$ eine Äquivalenzrelation auf ${}M$ ist. Wie sieht es aus, wenn man nur ${}n\in \mathbb {N}$ zulässt, und wie, wenn ${}M$ endlich ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Gruppenhomomorphismen zwischen zwei zyklischen Gruppen. Welche sind injektiv und welche sind surjektiv?

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme sämtliche Gruppen mit vier Elementen.

In der folgenden Aufgabe wird das Zentrum einer Gruppe verwendet.

Es sei ${}G$ eine Gruppe. Das Zentrum ${}Z=Z(G)$ von ${}G$ ist die Teilmenge

${}Z={\left\{g\in G\mid gx=xg{\text{ für alle }}x\in G\right\}}\,.$

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}G$ eine Gruppe. Zeige, dass das Zentrum ${}Z\subseteq G$ ein Normalteiler in ${}G$ ist. Man bringe das Zentrum in Zusammenhang mit dem Gruppenhomomorphismus

$\kappa \colon G\longrightarrow \operatorname {Aut} \,(G),\,g\longmapsto \kappa _{g}.$

Was ist das Bild von diesem Homomorphismus, und was besagen die Homomorphiesätze in dieser Situation?

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}W$ die Gruppe der eigentlichen Bewegungen an einem Würfel. Man gebe eine möglichst lange Kette von sukzessiven Untergruppen

${}\{\operatorname {id} \}\subset G_{1}\subset G_{2}\subset \ldots \subset G_{n}=W\,$

an derart, dass zwischen ${}G_{i}$ und ${}G_{i+1}$ keine weitere Untergruppe liegen kann.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}M$ eine Menge und sei ${}f\colon M\rightarrow M$ eine Abbildung. Zeige, dass ${}f$ genau dann injektiv ist, wenn ${}f$ ein Linksinverses besitzt, und dass ${}f$ genau dann surjektiv ist, wenn ${}f$ ein Rechtsinverses besitzt.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}M$ eine Menge und sei ${}M=\biguplus _{i\in I}M_{i}$ eine Partition von ${}M$, d.h. jedes ${}M_{i}$ ist eine Teilmenge von ${}M$ und ${}M$ ist die disjunkte Vereinigung der ${}M_{i}$. Zeige, dass die Produktgruppe

$\prod _{i\in I}\operatorname {Perm} \,(M_{i})$

eine Untergruppe von ${}\operatorname {Perm} \,(M)$ ist.