Kurs:Einführung in die mathematische Logik/11/Klausur
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | |
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Punkte | 3 | 3 | 1 | 1 | 3 | 2 | 3 | 7 | 1 | 3 | 5 | 6 | 4 | 3 | 45 |
Aufgabe * (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Die Ableitbarkeit eines Aussage aus einer Aussagenmenge in der Sprache der Aussagenlogik zu einer Aussagevariablenmenge .
- Eine Ordnungsrelation auf einer Menge .
- Die Erfüllbarkeit eines -Ausdruckes , wobei ein Symbolalphabet bezeichnet.
- Die elementare Äquivalenz für Elemente für eine -Struktur .
- Die aufzählbare Axiomatisierbarkeit einer Theorie zu einem Symbolalphabet .
- Die Gültigkeit eines modallogischen Ausdrucks in einem modallogischen Rahmen .
Aufgabe * (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Das Substitutionslemma.
- Der Vollständigkeitssatz der Aussagenlogik.
- Der zweite Gödelsche Unvollständigkeitssatz.
Aufgabe * (1 Punkt)
Formuliere die Kontraposition zu folgender Aussage von Professor Knopfloch: „Wenn Sie mein Schreiben vollständig gelesen und verstanden haben, dann antworten Sie mit Ihrer Uni-email“.
Aufgabe * (1 Punkt)
Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt.
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Aufgabe (3 Punkte)
Die Klasse 8c hat an jedem Wochentag eine Stunde mathematische Logik. Der Lehrer sagt am Freitag: „nächste Woche werden wir eine Klassenarbeit schreiben, und das wird eine Überraschung sein“. Begründe, dass der Lehrer lügt.
Aufgabe * (2 Punkte)
Es sei eine Ausdrucksmenge in der Sprache der Aussagenlogik zu einer Aussagenvariablenmenge . Begründe die Fallunterscheidungsregel für die Ableitungsbeziehung: Wenn und , dann ist auch .
Aufgabe * (3 Punkte)
Es sei eine Ausdrucksmenge in der Sprache der Aussagenlogik über einer Aussagenvariablenmenge und es seien . Zeige, dass
zu
äquivalent ist.
Aufgabe * (7 Punkte)
Beweise den Satz von Hamel mit dem Lemma von Zorn.
Aufgabe * (1 Punkt)
Wir betrachten den Satz „Kein Mensch ist illegal“. Negiere diesen Satz durch eine Existenzaussage.
Aufgabe (3 Punkte)
Erläutere Vor- und Nachteile des axiomatischen Aufbaus der Mathematik.
Aufgabe * (5 (2+3) Punkte)
Es sei ein Symbolalphabet einer Sprache erster Stufe gegeben.
- Zeige, dass die Substitution für die Terme die Identität ist.
- Zeige, dass die Substitution für die Ausdrücke die Identität ist.
Aufgabe * (6 Punkte)
Es sei ein Symbolalphabet erster Stufe, ein - Ausdruck und eine Variable. Zeige, dass genau dann gilt, wenn gilt.
Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)
Es sei ein kommutativer Halbring und . Es sei
- Zeige, dass die folgenden drei Eigenschaften erfüllt.
- .
- Wenn sind, so ist auch .
- Wenn und ist, so ist auch .
- erfülle nun die Abziehregel. Zeige, dass aus mit auch folgt.
Aufgabe * (3 Punkte)