Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2016)/Arbeitsblatt 24



Übungsaufgaben

Überprüfe, um die folgenden Wörter korrekt gebildete (einschließlich Klammerung) modallogische Ausdrücke sind.

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. .


Zeige, dass das - Axiom äquivalent zu

ist.


Formuliere die in Bemerkung 23.7 aufgeführten Eigenschaften für das Ableitungsprädikat in der Sprache der Modallogik.


Zeige, dass im - System der Ausdruck

ableitbar ist.


Wir betrachten eine formale Modallogik, die durch das Axiomenschema

gegeben sei.

  1. Erfüllt diese Modallogik das Axiomenschema K?
  2. Erfüllt diese Modallogik die Nezessisierungsregel?
  3. Erfüllt diese Modallogik das Ideologieaxiom?


Es sei , eine Familie von Aussagenvariablen und sei die zugehörige modallogische Sprache. Es sei ein prädikatenlogisches Symbolalphabet, das unter anderem Konstanten , , und eine fixierte Variable enthalte.

  1. Definiere eine natürliche injektive Abbildung

    bei der auf und auf abgebildet wird.

  2. Was ist ?
  3. Zeige, dass zu jeder in der - Modallogik ableitbaren modallogischen Aussage auch im Prädikatenkalkül ableitbar ist.


  1. Zeige, dass in einer - Modallogik das Axiomenschema

    gilt.

  2. Zeige, dass in einer -Modallogik das Axiomenschema

    nicht gelten muss.


  1. Zeige, dass in einer - Modallogik das Axiomenschema

    gilt.

  2. Zeige, dass in einer -Modallogik das Axiomenschema

    nicht gelten muss.


Zur folgenden Aufgabe vergleiche auch Aufgabe 11.21.

Zeige, dass in einer - Modallogik das Axiomenschema

nicht gelten muss.


Es sei eine arithmetische Ausdrucksmenge und ein einstelliges Prädikat mit

für alle . Zeige, dass es einen Satz mit

gibt.


Es sei eine arithmetische Ausdrucksmenge und ein einstelliges Prädikat mit

für alle . Zeige, dass es einen Satz mit

gibt.


Wir setzen

und es sei die Gödelisierung mit Primzahlen vorausgesetzt. Zeige (ohne den Fixpunktsatz zu verwenden), dass es einen Satz mit

gibt.


Es sei eine fixierte positive natürliche Zahl und es sei

wobei als die -fache Addition von mit sich selbst realisiert werde. Es sei die Gödelisierung mit Primzahlen vorausgesetzt. Zeige (ohne den Fixpunktsatz zu verwenden), dass es einen Satz mit

gibt.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Überprüfe, um die folgenden Wörter korrekt gebildete (einschließlich Klammerung) modallogische Ausdrücke sind.

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. .


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass in einer - Modallogik

ableitbar ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass die - Modallogik widerspruchsfrei ist.


Aufgabe (4 (2+2) Punkte)

Es sei eine arithmetische Ausdrucksmenge und ein einstelliges Prädikat.

  1. Es gelte

    für endlich viele und für alle übrigen natürlichen Zahlen gelte

    Zeige, dass es einen Satz mit

    gibt.

  2. Es gelte

    für endlich viele und für alle übrigen natürlichen Zahlen gelte

    Zeige, dass es einen Satz mit

    gibt.



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