Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2016)/Arbeitsblatt 26/latex

\setcounter{section}{26}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Baby Category 2.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Baby Category 2.svg } {} {Melikamp} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}

Für die Aussagenvariablen
\mathl{p,q,r}{} gelte
\mathdisp {a \vDash \neg p, q, r \text{ und } b \vDash \neg p ,\neg q, r} { . }
Bestimme in beiden Weltpunkten die Wahrheitswerte von \aufzaehlungvier{
\mathl{p \rightarrow \Box r}{,} }{
\mathl{\Box q \rightarrow (\Box p \rightarrow \Box (r \wedge p))}{,} }{
\mathl{( p \vee \Box \Box r ) \rightarrow \Diamond r}{,} }{
\mathl{\Diamond \Box \neg q \rightarrow ( \Box \Diamond r \vee \neg p )}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Definiere die modallogische Verschachtelungstiefe für modallogische Ausdrücke.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass bei einer Belegung der Aussagenvariablen durch die Definition 26.2 der Wahrheitswert für jeden modallogischen Ausdruck in jedem Punkt eines modallogischen Modelles eindeutig festgelegt ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{(M,R)}{} der triviale Graph in dem Sinne, dass $M$ einpunktig ist und dieser Punkt mit sich in Relation steht. Zeige, dass
\mathdisp {(M,R) \vDash \alpha} { }
genau dann bei jeder Belegung gilt, wenn $\alpha$ nicht \definitionsverweis {paradox}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige durch Angabe eines \definitionsverweis {modallogischen Modelles}{}{,} dass im $K$-\definitionsverweis {System}{}{} der Ausdruck
\mathdisp {\Box ( p \vee q) \rightarrow \Box p \vee \Box q} { }
nicht \definitionsverweis {ableitbar}{}{} ist \zusatzklammer {dabei seien $p,q$ Aussagenvariablen} {} {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige durch Angabe eines \definitionsverweis {modallogischen Modelles}{}{,} dass im $K$-\definitionsverweis {System}{}{} der Ausdruck
\mathdisp {( \alpha \rightarrow \beta ) \rightarrow ( \Box \alpha \rightarrow \Box \beta )} { }
nicht \definitionsverweis {ableitbar}{}{} ist. Insbesondere lässt sich also Lemma 24.5  (1) nicht internalisieren.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige durch Angabe eines \definitionsverweis {modallogischen Modelles}{}{,} dass im $K$-\definitionsverweis {System}{}{} der Ausdruck
\mathdisp {( \Box \alpha \rightarrow \Box \beta ) \rightarrow ( \Diamond \alpha \rightarrow \Diamond \beta )} { }
nicht \definitionsverweis {ableitbar}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige durch Angabe eines \definitionsverweis {modallogischen Modelles}{}{,} dass im $K$-\definitionsverweis {System}{}{} der Ausdruck
\mathdisp {( \Box \alpha \rightarrow \Box \beta ) \rightarrow ( \alpha \rightarrow \beta )} { }
nicht \definitionsverweis {ableitbar}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige durch Angabe eines \definitionsverweis {modallogischen Modelles}{}{,} dass im $K$-\definitionsverweis {System}{}{} der Ausdruck
\mathdisp {\Box ( \alpha \rightarrow \beta ) \rightarrow ( \alpha \rightarrow \beta )} { }
nicht \definitionsverweis {ableitbar}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige durch Angabe eines \definitionsverweis {modallogischen Modelles}{}{,} dass das \definitionsverweis {System S4}{}{} nicht äquivalent zum \definitionsverweis {System S5}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Charakterisiere das \definitionsverweis {modallogische}{}{} Axiomenschema
\mathdisp {\vdash \alpha \leftrightarrow \Diamond^r \alpha} { }
graphentheoretisch.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r,s }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Charakterisiere das \definitionsverweis {modallogische}{}{} Axiomenschema
\mathdisp {\vdash \Diamond^r \alpha \rightarrow \Diamond^s \alpha} { }
graphentheoretisch.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{6}
{

\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Relación binaria 01.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Relación binaria 01.svg } {} {HiTe} {Commons} {gemeinfrei} {}

Für die Aussagenvariablen
\mathl{p,q,r}{} gelte
\mathdisp {a \vDash \neg p, q, \neg r \, , b \vDash \neg p,\neg q, r \, , c \vDash \neg p, \neg q, r \, , d \vDash p, q, r} { . }
Bestimme in den vier Weltpunkten die Wahrheitswerte von \aufzaehlungdrei{
\mathl{\Diamond q \rightarrow (\Box p \rightarrow \Box (r \wedge p))}{,} }{
\mathl{( p \vee \Box \Box \neg r ) \rightarrow \Diamond (\neg p \rightarrow r )}{,} }{
\mathl{\Box \Diamond \Box \neg q \rightarrow ( \Box \Diamond r \vee \neg p )}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{2}
{

Zeige durch Angabe eines \definitionsverweis {modallogischen Modelles}{}{,} dass im $K$-\definitionsverweis {System}{}{} der Ausdruck
\mathdisp {( \alpha \rightarrow \beta ) \rightarrow ( \Diamond \alpha \rightarrow \Diamond \beta )} { }
nicht \definitionsverweis {ableitbar}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Zeige die folgenden modelltheoretischen Charakterisierungen für modallogische Axiomenschemata. \aufzaehlungfuenf{In einem \definitionsverweis {gerichteten Graphen}{}{}
\mathl{(M,R)}{} gilt das \definitionsverweis {Leerheitsaxiom}{}{} genau dann, wenn die Relation $R$ leer ist \zusatzklammer {wenn es also gar keine Pfeile gibt} {} {.} }{In einem gerichteten Graphen
\mathl{(M,R)}{} gilt das \definitionsverweis {Autismusaxiom}{}{} genau dann, wenn $R$ nur aus Schleifen besteht. }{In einem gerichteten Graphen
\mathl{(M,R)}{} gilt das \definitionsverweis {Fatalismusaxiom}{}{} genau dann, wenn $R$ genau aus allen Schleifen besteht. }{In einem gerichteten Graphen
\mathl{(M,R)}{} gilt das \definitionsverweis {Phantasiearmutsaxiom}{}{} genau dann, wenn von jedem Punkt höchstens ein Pfeil ausgeht. }{In einem gerichteten Graphen
\mathl{(M,R)}{} gilt das \definitionsverweis {Ideologieaxiom}{}{} genau dann, wenn von jedem Punkt genau ein Pfeil ausgeht. }

}
{} {}