Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2016)/Arbeitsblatt 9



Übungsaufgaben

Bestimme die freien Variablen in den folgenden Ausdrücken, wobei Variablen seien und ein einstelliges Funktionssymbol und ein zweistelliges Relationssymbol sei.

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. .


Es sei ein Satz einer erststufigen Sprache über einem Symbolalphabet . Es sei eine - Struktur mit Trägermenge gegeben und und zwei auf definierte - Interpretationen. Zeige genau dann, wenn gilt.


Es seien Konstanten einer erststufigen Sprache, Variablen, ein einstelliges und zweistellige Funktionssymbole. Bestimme die Substitution


Es sei ein Symbolalphabet einer Sprache erster Stufe gegeben. Es seien paarweise verschiedene Variablen und fixierte - Terme.

a) Interpretiere die Termsubstitution als Abbildung.

b) Interpretiere die Substitution von Ausdrücken als Abbildung.


Es sei ein Symbolalphabet einer Sprache erster Stufe gegeben.

  1. Zeige, dass die Substitution für die Terme die Identität ist.
  2. Zeige, dass die Substitution für die Ausdrücke die Identität ist.


Es sei ein Symbolalphabet einer Sprache erster Stufe gegeben, es sei eine Variable und ein fixierter - Term. Gehört die Symbolkette (!) zu ?


Es sei eine Konstante einer erststufigen Sprache, Variablen, ein einstelliges Funktionssymbol, zweistellige Funktionssymbole und ein zweistelliges Relationssymbol. Bestimme die Substitution


Es sei ein Symbolalphabet einer Sprache erster Stufe gegeben. Man gebe ein Beispiel für eine Substitution und einen -Ausdruck derart, dass die sukzessive substituierten Ausdrücke

immer länger werden.


Es sei ein Symbolalphabet einer Sprache erster Stufe gegeben. Es seien paarweise verschiedene Variablen und fixierte - Terme. Zeige, dass für jeden -Satz die Gleichheit

gilt.


Es sei . Zeige, dass die Gleichheit

im Allgemeinen nicht gilt.


Es sei ein Symbolalphabet einer Sprache erster Stufe gegeben. Es seien paarweise verschiedene Variablen und fixierte - Terme. Zeige, dass zu einem allgemeingültigen Ausdruck auch die Substitution allgemeingültig ist. Gilt hiervon auch die Umkehrung?




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ein -Ausdruck. Zeige, dass es einen -Ausdruck der Form derart gibt, dass

gilt.


Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe für jedes ein Beispiel für eine Substitution und einen -Ausdruck derart, dass die sukzessive substituierten Ausdrücke

eine Periode der Länge besitzen.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Symbolalphabet einer Sprache erster Stufe gegeben. Es seien paarweise verschiedene Variablen und fixierte - Terme. Zeige, dass für Terme , in denen nicht vorkommen, die Gleichheit

gilt.


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ein Symbolalphabet einer Sprache erster Stufe gegeben. Es seien paarweise verschiedene Variablen und fixierte - Terme. Zeige durch ein Beispiel, dass für Terme die Gleichheit

nicht gelten muss.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Symbolalphabet einer Sprache erster Stufe gegeben. Es seien paarweise verschiedene Variablen und fixierte - Terme. Zeige durch ein Beispiel, dass für Ausdrücke die Gleichheit (von Ausdrücken)

nicht gelten muss.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Symbolalphabet einer Sprache erster Stufe gegeben. Es seien verschiedene Variablen, ein - Term und ein - Ausdruck, wobei weder in noch in vorkomme. Gilt dann die Gleichheit



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