Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2016)/Arbeitsblatt 8



Übungsaufgaben

Zeige, dass die folgenden prädikatenlogischen Ausdrücke allgemeingültig sind.

  1. (wobei ein Ausdruck ist).

  2. wobei die Gruppenaxiome sind und
    ist.



Es sei ein erststufiges Symbolalphabet und ein -stelliges Funktionssymbol. Zeige, dass der Ausdruck

allgemeingültig ist.



Es seien Aussagenvariablen und prädikatenlogische Ausdrücke. Zeige, dass man, wenn man in einer allgemeingültigen aussagenlogischen Aussage , in dem keine weiteren Aussagenvariablen vorkommen, jedes Vorkommen von durch ersetzt, einen allgemeingültigen prädikatenlogischen Ausdruck erhält.



Axiomatisiere den Körperbegriff in einer geeigneten Sprache erster Stufe.


Eine Menge heißt ein Körper, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation)

und zwei verschiedene Elemente gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.

  1. Axiome der Addition
    1. Assoziativgesetz: Für alle gilt: .
    2. Kommutativgesetz: Für alle gilt .
    3. ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle ist .
    4. Existenz des Negativen: Zu jedem gibt es ein Element mit .
  2. Axiome der Multiplikation
    1. Assoziativgesetz: Für alle gilt: .
    2. Kommutativgesetz: Für alle gilt .
    3. ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle ist .
    4. Existenz des Inversen: Zu jedem mit gibt es ein Element mit .
  3. Distributivgesetz: Für alle gilt .



Axiomatisiere den Begriff eines angeordneten Körpers in einer geeigneten Sprache erster Stufe.


Ein Körper heißt angeordnet, wenn es eine totale Ordnung auf gibt, die die beiden Eigenschaften

  1. Aus folgt (für beliebige ),
  2. Aus und folgt (für beliebige ),

erfüllt.



Es sei die Symbolmenge für einen angeordneten Körper. Zeige

und

Über den reellen Zahlen kann man also das Symbol mit anderen Symbolen ausdrücken.


Es sei die Symbolmenge für einen angeordneten Körper und ein einstelliges Funktionssymbol. Formuliere über folgende Eigenschaften.

  1. Die Stetigkeit von .
  2. Die gleichmäßige Stetigkeit von .
  3. Die Differenzierbarkeit von .

Gesucht ist also ein Ausdruck aus mit der Eigenschaft, dass in einer Interpretation von (gegeben durch einen angeordneten Körper und eine Funktion ) genau dann gilt, wenn stetig ist.


Zeige, dass die Polynomfunktionen in einer Variablen über einem angeordneten Körper stetig sind. Formuliere diese Aussage über dem Symbolalphabet für Polynome eines festes Grades.



Sei die Symbolmenge für einen angeordneten Körper und ein einstelliges Funktionssymbol. Formuliere über die Aussage des Zwischenwertsatzes.



Es sei die Symbolmenge für einen angeordneten Körper. Formuliere über die Aussage des Zwischenwertsatzes für Polynome vom Grad .


In welchem Zusammenhang stehen die beiden vorstehenden Formulierungen?


Es seien die Gruppenaxiome und

also die Aussage, dass das inverse Element eindeutig bestimmt ist. Zeige, dass aus keiner echten Teilmenge folgt.



Es sei eine Ausdrucksmenge und ein Ausdruck in einer Sprache erster Stufe. Zeige, dass genau dann gilt, wenn nicht erfüllbar ist.



Formuliere die Injektivität für eine Abbildung

prädikatenlogisch mit Hilfe der Verwendung von Sorten.



Formalisiere mit dem Symbolalphabet , wobei einstellige Funktionssymbole sind, die Aussage, dass die Hintereinanderschaltung von injektiven Abbildungen zwischen Mengen wieder injektiv ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Formalisiere in der prädikatenlogischen Sprache, dass die Hintereinanderschaltung von surjektiven Abbildungen zwischen Mengen wieder surjektiv ist.



Aufgabe (2 Punkte)

Welche der folgenden prädikatenlogischen Ausdrücke sind allgemeingültig ( seien Variablen)?

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. .



Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein einstelliges Funktionssymbol. Bestimme, welche der folgenden Ausdrücke untereinander äquivalent[1] sind.

  1. ,
  2. ,
  3. .



Aufgabe (5 Punkte)

Es seien Variablen und einstellige Funktionssymbole. Bestimme, welche der folgenden Ausdrücke untereinander äquivalent sind.

a)

  1. ,
  2. ,
  3. .

b)

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. .



Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass die Kommutativität der Addition aus den übrigen Körperaxiomen folgt.

Tipp: Zeige zuerst, dass ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Sei die Symbolmenge für einen angeordneten Körper und zwei einstellige Funktionssymbole. Formuliere über die Aussage, dass die Hintereinanderschaltung von zwei stetigen Funktionen wieder stetig ist.



Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere ein prädikatenlogisches Axiomensystem für einen metrischen Raum über einem angeordneten Körper mit Hilfe von Sortenprädikaten.




Fußnoten
  1. Zwei Ausdrücke und heißen äquivalent, wenn allgemeingültig ist.


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