Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2021)/Arbeitsblatt 26

Übungsaufgaben

Aufgabe

Für die Aussagenvariablen ${}p,q,r$ gelte

$a\vDash \neg p,q,r\,\,{\text{ und }}\,\,b\vDash \neg p,\neg q,r.$

Bestimme in beiden Weltpunkten die Wahrheitswerte von

1. ${}p\rightarrow \Box r$,
2. ${}\Box q\rightarrow (\Box p\rightarrow \Box (r\wedge p))$,
3. ${}(p\vee \Box \Box r)\rightarrow \Diamond r$,
4. ${}\Diamond \Box \neg q\rightarrow (\Box \Diamond r\vee \neg p)$.

Aufgabe

Definiere die modallogische Verschachtelungstiefe für modallogische Ausdrücke.

Aufgabe

Zeige, dass bei einer Belegung der Aussagenvariablen durch die Definition 26.2 der Wahrheitswert für jeden modallogischen Ausdruck in jedem Punkt eines modallogischen Modelles eindeutig festgelegt ist.

Aufgabe

Es sei ${}(M,R)$ der triviale Graph in dem Sinne, dass ${}M$ einpunktig ist und dieser Punkt mit sich in Relation steht. Zeige, dass

$(M,R)\vDash \alpha$

genau dann bei jeder Belegung gilt, wenn ${}\alpha$ nicht paradox ist.

Aufgabe *

Zeige durch Angabe eines modallogischen Modelles, dass im ${}K$- System der Ausdruck

$\Box (p\vee q)\rightarrow \Box p\vee \Box q$

nicht ableitbar ist (dabei seien ${}p,q$ Aussagenvariablen).

Aufgabe

Zeige durch Angabe eines modallogischen Modelles, dass im ${}K$- System der Ausdruck

$(\alpha \rightarrow \beta )\rightarrow (\Box \alpha \rightarrow \Box \beta )$

nicht ableitbar ist. Insbesondere lässt sich also Lemma 24.5  (1) nicht internalisieren.

Aufgabe

Zeige durch Angabe eines modallogischen Modelles, dass im ${}K$- System der Ausdruck

$(\Box \alpha \rightarrow \Box \beta )\rightarrow (\Diamond \alpha \rightarrow \Diamond \beta )$

nicht ableitbar ist.

Aufgabe

Zeige durch Angabe eines modallogischen Modelles, dass im ${}K$- System der Ausdruck

$(\Box \alpha \rightarrow \Box \beta )\rightarrow (\alpha \rightarrow \beta )$

nicht ableitbar ist.

Aufgabe

Zeige durch Angabe eines modallogischen Modelles, dass im ${}K$- System der Ausdruck

$\Box (\alpha \rightarrow \beta )\rightarrow (\alpha \rightarrow \beta )$

nicht ableitbar ist.

Aufgabe

Zeige semantisch, dass eine ${}K$- Modallogik, in der das Möglichkeitsaxiom und das Löb-Axiom gelten, bereits widersprüchlich ist.

Aufgabe

Es sei ${}r\in \mathbb {N}$. Charakterisiere das modallogische Axiomenschema

$\vdash \alpha \leftrightarrow \Diamond ^{r}\alpha$

graphentheoretisch.

Aufgabe

Es seien ${}r,s\in \mathbb {N}$. Charakterisiere das modallogische Axiomenschema

$\vdash \Diamond ^{r}\alpha \rightarrow \Diamond ^{s}\alpha$

graphentheoretisch.

Aufgabe

Zeige, dass für eine modallogische Aussage ${}\alpha$ die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. Es ist ${}S5\vdash \alpha$.
2. Es ist ${}(M,R)\vDash \alpha$ für jede Äquivalenzrelation ${}R$ auf einer Menge ${}M$.
3. Es ist ${}(M,R)\vDash \alpha$ für jede volle Relation ${}R$ auf einer Menge ${}M$.

Aufgabe *

Zu einem modallogischen Modell ${}(M,R,\mu )$ und einem modallogischen Ausdruck ${}\alpha$ setzen wir

${}M(\alpha )={\left\{w\in M\mid w\vDash \alpha \right\}}\,.$

Zeige

${}M(\Diamond \alpha )=\operatorname {Vorg} {\left(M(\alpha )\right)}\,.$

Aufgabe

Zu einem modallogischen Modell ${}(M,R,\mu )$ und einem modallogischen Ausdruck ${}\alpha$ setzen wir

${}M(\alpha )={\left\{w\in M\mid w\vDash \alpha \right\}}\,.$

Zeige, dass

$(M,R,\mu )\vDash \alpha \rightarrow \beta$

genau dann gilt, wenn

${}M(\alpha )\subseteq M(\beta )\,$

gilt.

Aufgabe

Beweise Satz 26.10 mit Hilfe von Aufgabe 26.14 und Aufgabe 26.15 und mit geeigneten Charakterisierungen von relationstheoretischen Eigenschaften mit Vorgängermengen.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (6 Punkte)

Für die Aussagenvariablen ${}p,q,r$ gelte

$a\vDash \neg p,q,\neg r\,,b\vDash \neg p,\neg q,r\,,c\vDash \neg p,\neg q,r\,,d\vDash p,q,r.$

Bestimme in den vier Weltpunkten die Wahrheitswerte von

1. ${}\Diamond q\rightarrow (\Box p\rightarrow \Box (r\wedge p))$,
2. ${}(p\vee \Box \Box \neg r)\rightarrow \Diamond (\neg p\rightarrow r)$,
3. ${}\Box \Diamond \Box \neg q\rightarrow (\Box \Diamond r\vee \neg p)$.

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass in jedem modallogischen Modell ${}(M,R,\mu )$ das Schema

$\Box \alpha \wedge \Diamond \beta \rightarrow \Diamond \alpha$

gilt.

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige durch Angabe eines modallogischen Modelles, dass im ${}K$- System der Ausdruck

$(\alpha \rightarrow \beta )\rightarrow (\Diamond \alpha \rightarrow \Diamond \beta )$

nicht ableitbar ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige durch Angabe eines modallogischen Modelles, dass das System S4 nicht äquivalent zum System S5 ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Charakterisiere die modallogischen Rahmen, in denen (bei jeder Wahrheitsbelegung) das Axiomenschema

$\alpha \rightarrow \Diamond \Box \alpha$

gilt.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass aus dem ${}K$- modallogischen Axiomenschema

$\alpha \rightarrow \Diamond \Box \alpha$

nicht das Axiomenschema

$\alpha \rightarrow \Box \Diamond \alpha$

ableitbar ist.

Aufgabe (5 Punkte)

Zeige die folgenden modelltheoretischen Charakterisierungen für modallogische Axiomenschemata.

1. In einem gerichteten Graphen ${}(M,R)$ gilt das Leerheitsaxiom genau dann, wenn die Relation ${}R$ leer ist (wenn es also gar keine Pfeile gibt).
2. In einem gerichteten Graphen ${}(M,R)$ gilt das Autismusaxiom genau dann, wenn ${}R$ nur aus Schleifen besteht.
3. In einem gerichteten Graphen ${}(M,R)$ gilt das Fatalismusaxiom genau dann, wenn ${}R$ genau aus allen Schleifen besteht.
4. In einem gerichteten Graphen ${}(M,R)$ gilt das Phantasiearmutsaxiom genau dann, wenn von jedem Punkt höchstens ein Pfeil ausgeht.
5. In einem gerichteten Graphen ${}(M,R)$ gilt das Ideologieaxiom genau dann, wenn von jedem Punkt genau ein Pfeil ausgeht.