Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Arbeitsblatt 12/latex
\setcounter{section}{12}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Bringe die
\definitionsverweis {Restklassengruppe}{}{}
\mathl{\Q/\Z}{} mit der in
Aufgabe 1.17
direkt eingeführten Gruppe in Verbindung.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass es in der
\definitionsverweis {Restklassengruppe}{}{}
\mathl{\Q/\Z}{} zu jedem
\mathl{n \in \N_+}{} Elemente gibt, deren
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
gleich $n$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass es keine Untergruppe
\mathl{F \subseteq (\Q,0,+)}{} derart gibt, dass
\maabbdisp {} {F} { \Q/\Z
} {}
ein
\definitionsverweis {Isomorphismus}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Restklassengruppe}{}{}
zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \{ 1, -1\}
}
{ \subset }{ \R^{\times}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde in der
\definitionsverweis {Permutationsgruppe}{}{}
$S_3$ einen
\definitionsverweis {Normalteiler}{}{}
\mathl{N \neq 0, S_3}{} und bestimme die zugehörige
\definitionsverweis {Restklassengruppe}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} und $g \in G$ ein Element mit dem \zusatzklammer {nach Lemma 10.7} {} {} zugehörigen \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabbeledisp {\varphi} {\Z} {G } {n} {g^n } {.} Beschreibe die kanonische Faktorisierung von $\varphi$ gemäß Satz 12.7.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ \in }{ G
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
ein Element mit endlicher
\definitionsverweis {Ordnung}{}{.}
Zeige, dass die Ordnung von $g$ mit dem minimalen
\mathl{d \in \N_+}{} übereinstimmt, zu dem es einen
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} { \Z/(d) } {G
} {}
gibt, in dessen Bild das Element $g$ liegt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige mit Hilfe der Homomorphiesätze, dass \definitionsverweis {zyklische Gruppen}{}{} mit der gleichen \definitionsverweis {Ordnung}{}{} isomorph sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Seien \mathkor {} {G, H} {und} {F} {} \definitionsverweis {Gruppen}{}{} und seien \maabb {\varphi} {G} {H } {} und \maabb {\psi} {G} {F } {} \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismen}{}{} mit $\psi$ surjektiv und mit $\operatorname{kern} \psi \subseteq \operatorname{kern} \varphi$. Bestimme den \definitionsverweis {Kern}{}{} des induzierten Homomorphismus \maabbdisp {\tilde{\varphi}} {F} {H } {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass für jede reelle Zahl
\mathl{a \neq 0}{} die
\definitionsverweis {Restklassengruppen}{}{}
\mathl{\R/\Z a}{} untereinander
\definitionsverweis {isomorph}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $p$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{.} Definiere einen \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {} {(\Q \setminus \{0\}, \cdot,1)} {(\Z,+,0) } {,} der $p \mapsto 1$ und alle anderen Primzahlen auf $0$ schickt.
}
{Bestimme auch den Kern dieses Gruppenhomomorphismus.} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {G_1} {und} {G_2} {}
\definitionsverweis {Gruppen}{}{}
und seien
\mathl{N_1 \subseteq G_1}{} und
\mathl{N_2 \subseteq G_2}{}
\definitionsverweis {Normalteiler}{}{.}
Zeige, dass
\mathl{N_1 \times N_2}{} ein Normalteiler in
\mathl{G_1 \times G_2}{} ist und dass eine
\definitionsverweis {Isomorphie}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(G_1 \times G_2)/(N_1 \times N_2)
}
{ \cong} { (G_1/N_1) \times (G_2/N_2)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
vorliegt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $H$ eine (additive)
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
der reellen Zahlen $\R$. Zeige, dass entweder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H
}
{ = }{{\Z} a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit einer eindeutig bestimmten nichtnegativen reellen Zahl $a$ ist, oder aber $H$
\definitionsverweis {dicht}{}{}
in $\R$ ist.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Es seien $G$ und $H$ \definitionsverweis {Gruppen}{}{} mit der \definitionsverweis {Produktgruppe}{}{} $G \times H$. Zeige, dass die Gruppe $G \times \{ e_H \}$ ein \definitionsverweis {Normalteiler}{}{} in $G \times H$ ist, und dass die Restklassengruppe $(G \times H)/G \times \{ e_H \}$ kanonisch \definitionsverweis {isomorph}{}{} zu $H$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismen}{}{} zwischen zwei \definitionsverweis {zyklischen Gruppen}{}{.} Welche sind injektiv und welche sind surjektiv?
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Zeige, dass es eine Gruppe $G$ und einen
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {(\R,0,+)} {G
} {}
mit der Eigenschaft gibt, dass
\mathl{r \in \R}{} genau dann
\definitionsverweis {rational}{}{}
ist, wenn
\mathl{\varphi(r)=0}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme sämtliche \definitionsverweis {Gruppen}{}{} mit vier Elementen.
}
{} {}