Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Vorlesung 18/latex
\setcounter{section}{18}
\zwischenueberschrift{Partialbruchzerlegung}
Betrachten wir den Bruch
${ \frac{ 1 }{ 6 } }$.
Diesen kann man als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ 6 } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } \cdot { \frac{ 1 }{ 3 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
schreiben, man kann also die Primfaktoren des Nenners multiplikativ trennen. Es gilt aber auch, und das ist überraschender, die Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ 6 } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } - { \frac{ 1 }{ 3 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
man kann also in diesem Fall den Bruch als eine Summe von Brüchen schreiben, bei denen jeweils nur ein Primfaktor des Nenners vorkommt. In ähnlicher Weise gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ 35 } }
}
{ =} {- { \frac{ 2 }{ 5 } } + { \frac{ 3 }{ 7 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
auch hier lässt sich ein Bruch mit einem \anfuehrung{komplizierten}{} Nenner als Summe von Brüchen mit einem einfachen Nenner schreiben. Dagegen ist es nicht möglich, ${ \frac{ 1 }{ 4 } }$ als Summe von ${ \frac{ 1 }{ 2 } }$ zu schreiben. Wir werden gleich sehen, dass man jede rationale Zahl als eine Summe von Stammbrüchen zu Primzahlpotenzen erhalten kann. Dies beruht auf einer Gesetzmäßigkeit, die allgemeiner für Hauptidealbereiche gilt.
\inputfaktbeweis
{Hauptidealbereich/Partialbruchzerlegung/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{}
und
\mathbed {f,g \in R} {}
{g \neq 0} {}
{} {} {} {,}
mit der
\definitionsverweis {Primfaktorzerlegung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ g
}
{ =} { p_1^{r_1} p_2^{r_2} \cdots p_k^{r_k}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es im
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
\mathl{Q(R)}{} eine Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ f }{ g } }
}
{ =} { { \frac{ a_1 }{ p_1^{r_1} } } + { \frac{ a_2 }{ p_2^{r_2} } } + \cdots + { \frac{ a_k }{ p_k^{r_k} } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_1 , \ldots , a_k
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir führen Induktion über die Anzahl $k$ der verschiedenen Primfaktoren von $g$. Wenn $g$ eine Einheit ist oder nur ein Primfaktor
\zusatzklammer {mit einem beliebigen Exponenten} {} {}
vorkommt, ist nichts zu zeigen. Es sei also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ \geq }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und die Aussage für kleinere $k$ schon bewiesen. Sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ h
}
{ =} { p_2^{r_2} \cdots p_k^{r_k}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da
\mathkor {} {p_1^{r_1}} {und} {h} {}
\definitionsverweis {teilerfremd}{}{}
sind, gibt es nach
Satz 8.5
eine Darstellung der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ u p_1^{r_1} + v h
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u,v
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Division durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ g
}
{ =} { p_1^{r_1}h
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ g } }
}
{ =} { { \frac{ v }{ p_1^{r_1} } } + { \frac{ u }{ h } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Multiplikation mit $f$ liefert eine Darstellung der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ f }{ g } }
}
{ =} { { \frac{ a_1 }{ p_1^{r_1} } } + { \frac{ c }{ h } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und die Induktionsvoraussetzung angewendet auf ${ \frac{ c }{ h } }$ liefert das Resultat.
Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ = }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ = }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und überhaupt für euklidische Bereiche lässt sich diese Aussage noch präzisieren.
\inputfaktbeweis
{Euklidischer Bereich/Partialbruchzerlegung/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {euklidischer Bereich}{}{}
und
\mathbed {f,g \in R} {}
{g \neq 0} {}
{} {} {} {,}
mit der
\definitionsverweis {Primfaktorzerlegung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ g
}
{ =} { p_1^{r_1} p_2^{r_2} \cdots p_k^{r_k}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es im
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
\mathl{Q(R)}{} eine Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ f }{ g } }
}
{ =} { b+ { \frac{ a_1 }{ p_1^{r_1} } } + { \frac{ a_2 }{ p_2^{r_2} } } + \cdots + { \frac{ a_k }{ p_k^{r_k} } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b, a_1 , \ldots , a_k
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_j
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \delta(a_j)
}
{ <} { \delta(p_j^{r_j})
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {Die Summanden
\mathl{{ \frac{ a_j }{ p_j^{r_j} } }}{} kann man als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ c_j }{ p_j^{r_j} } }
}
{ =} { b_j + { \frac{ c_{j,1} }{ p_j } } + { \frac{ c_{j,2} }{ p_j^{2} } } + \cdots + { \frac{ c_{j,r_j} }{ p_j^{r_j} } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \delta(c_{j,i})
}
{ \leq} { \delta(p_j)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
schreiben.}
\faktzusatz {}
}
{
Nach
Satz 18.1
gibt es eine Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ f }{ g } }
}
{ =} { { \frac{ a_1 }{ p_1^{r_1} } } + { \frac{ a_2 }{ p_2^{r_2} } } + \cdots + { \frac{ a_k }{ p_k^{r_k} } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Auf die einzelnen Summanden wenden wir die Division mit Rest durch
\mathl{p_j^{r_j}}{} an und erhalten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ a_j }{ p_j^{r_j} } }
}
{ =} { b_j + { \frac{ a'_j }{ p_j^{r_j} } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\delta { \left( a'_j \right) }
}
{ <} {\delta { \left( p_j^{r_j} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Ferner kann man auf $a_j$ auch die Division mit Rest durch $p_j$ anwenden und erhält
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ a_j }{ p_j^{r_j} } }
}
{ =} { { \frac{ c_j p + t }{ p_j^{r_j} } }
}
{ =} { { \frac{ c_j }{ p_j^{r_j-1} } } + { \frac{ t }{ p_j^{r_j} } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \delta(t)
}
{ <} { \delta (p)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Den vorderen Summanden kann man in dieser Weise weiter abarbeiten.
\inputfaktbeweis
{Hauptidealbereich/Z/Partialbruchzerlegung/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mathbed {f,g \in \Z} {}
{g > 0} {}
{} {} {} {,}
mit der
\definitionsverweis {Primfaktorzerlegung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ g
}
{ =} { p_1^{r_1} p_2^{r_2} \cdots p_k^{r_k}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es im
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
\mathl{Q(R)}{} eine Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ f }{ g } }
}
{ =} { n+ { \frac{ a_1 }{ p_1^{r_1} } } + { \frac{ a_2 }{ p_2^{r_2} } } + \cdots + { \frac{ a_k }{ p_k^{r_k} } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n, a_1 , \ldots , a_k
}
{ \in }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { a_j }
}
{ = }{ p_j^{r_j}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für die Summanden gibt es ferner eine Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ a_j }{ p_j^{r_j} } }
}
{ =} { n_j + { \frac{ c_{j,1} }{ p_j } } + { \frac{ c_{j,2} }{ p_j^{2} } } + \cdots + { \frac{ c_{j,r_j} }{ p_j^{r_j} } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { c_{j,i} }
}
{ < }{ p_j
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dabei kann man die
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c_{j,i}
}
{ \geq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
wählen.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt unmittelbar aus Satz 18.2.
\inputbeispiel{}
{
Wir berechnen die Partialbruchzerlegung von
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 100 } }}{.} Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{100
}
{ =} {4 \cdot 25
}
{ =} {2^2 \cdot 5^2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{25 -6 \cdot 4
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ 100 } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 4 } } - 6 { \frac{ 1 }{ 25 } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 4 } } - { \frac{ 1 }{ 5 } } - { \frac{ 1 }{ 25 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wenn man nichtnegative Zähler haben möchte, so schreibt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ 4 } } - 6 { \frac{ 1 }{ 25 } }
}
{ =} {- 1+ { \frac{ 1 }{ 4 } } +1 - 6 { \frac{ 1 }{ 25 } }
}
{ =} {- 1+ { \frac{ 1 }{ 4 } } + { \frac{ 25-6 }{ 25 } }
}
{ =} {- 1+ { \frac{ 1 }{ 4 } } + { \frac{ 19 }{ 25 } }
}
{ =} {- 1+ { \frac{ 1 }{ 4 } } + { \frac{ 3 }{ 5 } } + { \frac{ 4 }{ 25 } }
}
}
{}{}{.}
}
\inputfaktbeweis
{Hauptidealbereich/KX/Partialbruchzerlegung/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
\mathbed {f,g \in K[X]} {}
{g \neq 0} {}
{} {} {} {,}
mit der
\definitionsverweis {Zerlegung}{}{}
in irreduzible Polynome
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ g
}
{ =} { p_1^{r_1} p_2^{r_2} \cdots p_k^{r_k}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es im
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
\mathl{K(X)}{} eine Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ f }{ g } }
}
{ =} { h+ { \frac{ q_1 }{ p_1^{r_1} } } + { \frac{ q_2 }{ p_2^{r_2} } } + \cdots + { \frac{ q_k }{ p_k^{r_k} } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h, q_1 , \ldots , q_k
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ q_j
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{grad} \, (q_j)
}
{ <} { \operatorname{grad} \, (p_j^{r_j} )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {Die Summanden
\mathl{{ \frac{ q_j }{ p_j^{r_j} } }}{} kann man als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ q_j }{ p_j^{r_j} } }
}
{ =} { h_j + { \frac{ c_{j,1} }{ p_j } } + { \frac{ c_{j,2} }{ p_j^{2} } } + \cdots + { \frac{ c_{j,r_j} }{ p_j^{r_j} } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{grad} \, (c_{j,i} )
}
{ <} { \operatorname{grad} \, (p_j )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
schreiben.}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt unmittelbar aus Satz 18.2.
\inputfaktbeweis
{Komplexe Partialbruchzerlegung/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mathbed {P,Q \in {\mathbb C}[X]} {}
{Q \neq 0} {}
{} {} {} {,}
\definitionsverweis {Polynome}{}{}
und es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Q
}
{ =} { (X-a_1)^{r_1} \cdots (X-a_s)^{r_s}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit verschiedenen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_i
}
{ \in }{{\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H
}
{ \in }{ {\mathbb C}[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und eindeutig bestimmte Koeffizienten
\mathbed {c_{ij} \in {\mathbb C}} {}
{1 \leq i \leq s} {}
{1 \leq j \leq r_i} {} {} {,}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \frac{P}{Q}
}
{ =} { H + \frac{c_{11} }{X-a_1} + \frac{c_{12} }{(X-a_1)^2} + \cdots + \frac{c_{1 r_1} }{(X-a_1)^{r_1} } + \cdots + \frac{c_{s1} }{X-a_s} + \frac{c_{s2} }{(X-a_s)^2} + \cdots + \frac{c_{s r_s} }{(X-a_s)^{r_s} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies ergibt sich, abgesehen von der Eindeutigkeit, die wir nicht beweisen, aus Korollar 18.5 und dem Fundamentalsatz der Algebra.
\inputfaktbeweis
{Reelle Partialbruchzerlegung/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mathbed {P,Q \in \R[X]} {}
{Q \neq 0} {}
{} {} {} {,}
\definitionsverweis {Polynome}{}{} und es sei
\mathdisp {Q=(X-a_1)^{r_1} \cdots (X-a_s)^{r_s} Q_1^{t_1} \cdots Q_u^{t_u}} { }
mit verschiedenen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_i
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und verschiedenen quadratischen Polynomen $Q_k$ ohne reelle Nullstellen.}
\faktfolgerung {Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H
}
{ \in }{ \R[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und eindeutig bestimmte Koeffizienten
\mathbed {c_{ij} \in \R} {}
{1 \leq i \leq s} {}
{1 \leq j \leq r_i} {} {} {,}
und eindeutig bestimmte
\definitionsverweis {lineare Polynome}{}{}
\mathbed {L_{k \ell} = d_{k \ell}X+ e_{k \ell}} {}
{1 \leq k \leq u} {}
{1 \leq \ell \leq t_k} {} {} {,} mit
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \frac{P}{Q}
}
{ =} { H + \frac{c_{11} }{X-a_1} + \frac{c_{12} }{(X-a_1)^2} + \cdots + \frac{c_{1 r_1} }{(X-a_1)^{r_1} } \bruchhilfealign + \cdots + \frac{c_{s1} }{X-a_s} + \frac{c_{s2} }{(X-a_s)^2} + \cdots + \frac{c_{s r_s} }{(X-a_s)^{r_s} }
}
{ \,\,\,} { + \frac{L_{11} }{Q_1} + \frac{L_{12} }{Q_1^2} + \cdots + \frac{L_{1 t_1} }{Q_1^{t_1} } \bruchhilfealign + \cdots + \frac{L_{u1} }{Q_u} + \frac{L_{u2} }{Q_u^2} + \cdots + \frac{L_{u t_u} }{Q_u^{t_u} }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies ergibt sich, abgesehen von der Eindeutigkeit, die wir nicht beweisen, aus
Korollar 18.5
und der Tatsache, dass es in
\mathl{\R[X]}{} nur lineare und quadratische Primpolynome gibt.
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {rationale Funktion}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \frac{1}{X^3-1}
}
{ =} { \frac{1}{(X-1) { \left( X^2+X+1 \right) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
wobei der Faktor rechts reell nicht weiter zerlegbar ist. Daher muss es eine eindeutige Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \frac{1}{X^3-1}
}
{ =} { \frac{a}{X-1} + \frac{bX+c}{X^2+X+1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
geben. Multiplikation mit dem Nennerpolynom führt auf
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ 1
}
{ =} { a { \left( X^2+X+1 \right) } + (bX+c)(X-1)
}
{ =} { (a+b) X^2 + (a+c-b)X+ a-c
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Koeffizientenvergleich führt auf das
\definitionsverweis {inhomogene lineare Gleichungssystem}{}{}
\mathdisp {a+b =0 \text{ und } a+c-b =0 \text{ und } a-c =1} { }
mit den eindeutigen Lösungen
\mathdisp {a= { \frac{ 1 }{ 3 } } ,\, b = - { \frac{ 1 }{ 3 } },\, c= - { \frac{ 2 }{ 3 } }} { . }
Die
Partialbruchzerlegung
ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ X^3-1 } }
}
{ =} { { \frac{ { \frac{ 1 }{ 3 } } }{ X-1 } } + { \frac{ -{ \frac{ 1 }{ 3 } }X - { \frac{ 2 }{ 3 } } }{ X^2+X+1 } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 3 } } \cdot { \frac{ 1 }{ X-1 } } - { \frac{ 1 }{ 3 } } \cdot { \frac{ X + 2 }{ X^2+X+1 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten die rationale Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \frac{X^3-X+5}{X^4+X^2}
}
{ =} { \frac{X^3-X+5}{X^2 { \left( X^2+1 \right) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wo die Faktorzerlegung des Nennerpolynoms sofort ersichtlich ist. Der Ansatz
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \frac{X^3-X+5}{X^2 { \left( X^2+1 \right) } }
}
{ =} { \frac{a}{X} + \frac{b}{X^2} + \frac{cX+d}{X^2+1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
führt durch Multiplikation mit dem Nennerpolynom auf
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ X^3-X+5
}
{ =} { aX { \left( X^2+1 \right) } + b { \left( X^2+1 \right) } + (cX+d)X^2
}
{ =} { aX^3+aX+bX^2+b+cX^3+dX^2
}
{ =} { (a+c)X^3+(b+d)X^2+aX+b
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Koeffizientenvergleich führt auf das
\definitionsverweis {inhomogene lineare Gleichungssystem}{}{}
\mathdisp {a+c =1 \text{ und } b+d =0 \text{ und } a =-1 \text{ und } b =5} { }
mit der Lösung
\mathdisp {b=5,\, a=-1,\, d=-5,\, c=2} { . }
Insgesamt ist die
Partialbruchzerlegung
also gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ X^3-X+5 }{ X^2(X^2+1) } }
}
{ =} { - { \frac{ 1 }{ X } } + { \frac{ 5 }{ X^2 } } + { \frac{ 2X-5 }{ X^2+1 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputbemerkung
{}
{
Eine wichtige Anwendung der reellen Partialbruchzerlegung ist es, zu rationalen Funktionen
\mathbed {P/Q} {}
{P,Q \in \R[X]} {}
{Q \neq 0} {} {} {,}
eine Stammfunktion zu finden, also zu integrieren. Man berechnet hierzu die Partialbruchzerlegung von
\mathl{P/Q}{} und muss dann zu dem Polynom $H$ und den Summanden der Form
\mathkor {} {{ \frac{ b }{ (X-a)^r } }} {bzw.} {{ \frac{ c+dX }{ Q_i^r } }} {}
mit einem quadratischen nullstellenfreien Polynom $Q_i$ Stammfunktionen bestimmen. Dafür gibt es dann Standardverfahren. Eine Stammfunktion zu
\mathl{{ \frac{ b }{ (X-a) } }}{} ist
\mathl{b \ln \betrag { X-a }}{} und eine Stammfunktion zu
\mathbed {{ \frac{ b }{ (X-a) } }} {}
{r \geq 2} {}
{} {} {} {,}
ist
\mathl{{ \frac{ b }{ (1-r)(X-a)^{r-1} } }}{.} Wenn ein quadratischer Nenner vorliegt, wird es schwieriger; eine Stammfunktion zu
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 1+x^2 } }}{} ist beispielsweise
\mathl{\arctan X}{.}
}