Kurs:Elliptische Kurven/3/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	10	0	0	0	7	0	0	0	0	3	5	0	0	2	0	33

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe (10 Punkte)Referenznummer erstellen

Formulieren und beweisen Sie Ihren Lieblingssatz der Vorlesung.

Aufgabe (0 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (7 (1+1+1+3+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die elliptische Kurve ${}E$ , die durch die affine Gleichung

{}Y^{2}=X^{3}-X+6\,

gegeben ist.

Bestimme die Torsionsuntergruppe der Ordnung ${}2$ für ${}E(\mathbb {R} )$ .
Bestimme die Torsionsuntergruppe der Ordnung ${}2$ für ${}E({\mathbb {C} })$ .
Parametrisiere den oberen Bogen von ${}E(\mathbb {R} )$ als Funktion über einem geeigneten Definitionsbereich.
Bestimme die Koordinaten der Punkte von ${}E(\mathbb {R} )$ , wo die Funktion aus (3) lokale Extrema annimmt.
Beschreibe eine endliche Körpererweiterung ${}\mathbb {Q} \subseteq K$ derart, dass die Punkte aus Teil (4) zu ${}E(K)$ gehören.

Aufgabe (0 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Beschreibe drei elliptische Kurven über ${}\mathbb {Q}$ , für die die ${}2$ -Torsionsgruppen wesentlich verschieden sind.

Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter und

{}E={\mathbb {C} }/\Gamma \,

der zugehörige komplexe Torus, aufgefasst als elliptische Kurve. Beschreibe, inwiefern das Gitter ${}\Gamma$ mit den Tate-Moduln ${}T_{\ell }(E)$ ( ${}\ell$ Primzahl) zusammenhängt.

Aufgabe (0 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter. Zeige direkt, dass

{\left\{s\in {\mathbb {C} }\mid s\Gamma \subseteq \Gamma \right\}}

ein Unterring von ${}{\mathbb {C} }$ ist.