Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/18/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	1	5	2	4	4	5	2	4	4	2	8	2	12	3	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Disjunktheit von Mengen ${}L$ und ${}M$.
2. Eine endliche Menge ${}M$ mit ${}n$ Elementen.
3. Die Multiplikation ${}a\cdot b$ von natürlichen Zahlen ${}a,b$.
4. Die Fakultät einer natürlichen Zahl ${}n$.
5. Ein proportionaler Zusammenhang zwischen zwei Größen.
6. Ein gemischter Bruch.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Beziehung zwischen der Addition und endlichen Mengen.
2. Die Division mit Rest für natürliche Zahlen.
3. Der Satz über das Monotonieverhalten von Potenzfunktionen in einem angeordneten Körper ${}K$.

Aufgabe * (1 Punkt)

Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt.

${}p$ ${}q$ ${}?$ w w w w f f f w w f f f

Aufgabe * (5 (1+1+1+1+1) Punkte)

Es sei ${}T\subseteq M$ eine Teilmenge einer Menge ${}M$ mit dem Komplement ${}M\setminus T$.

1. Zeige

   ${}{\mathfrak {P}}\,(T)\subseteq {\mathfrak {P}}\,(M)\,.$

2. Es sei ${}M=\{a,b,c,d,e\}$ und ${}T=\{b,c,e\}$. Zu welchen Potenzmengen gehört die Menge ${}\{a\}$? Zu ${}{\mathfrak {P}}\,(T)$? Zu ${}{\mathfrak {P}}\,(M)$? Zu ${}{\mathfrak {P}}\,(M\setminus T)$?
3. Es sei ${}M=\mathbb {N}$ und ${}T$ die Teilmenge der geraden Zahlen. Formuliere in Worten, was die Zugehörigkeit einer Teilmenge ${}A\subseteq \mathbb {N}$ zu ${}{\mathfrak {P}}\,(M)\setminus {\mathfrak {P}}\,(T)$ und zu ${}{\mathfrak {P}}\,(M\setminus T)$ bedeutet.
4. Gilt

   ${}{\mathfrak {P}}\,(M)\setminus {\mathfrak {P}}\,(T)\subseteq {\mathfrak {P}}\,(M\setminus T)\,?$

5. Gilt

   ${}{\mathfrak {P}}\,(M\setminus T)\subseteq {\mathfrak {P}}\,(M)\setminus {\mathfrak {P}}\,(T)\,?$

Aufgabe * (2 Punkte)

Zwei Personen wollen ihre Körpergröße vergleichen. Sie können sich direkt vergleichen, indem sie sich Rücken an Rücken hinstellen, oder, indem sie ein Maßband (Zollstock) nehmen und ihre Größe damit jeweils messen. Welche Analogien zu diesen Methoden gibt es, wenn man zwei endliche Mengen vergleichen möchte?

Aufgabe * (4 (1+1+1+1) Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper, wir betrachten die Betragsabbildung

$K\longrightarrow K,\,x\longmapsto \vert {x}\vert .$

1. Ist diese Abbildung injektiv?
2. Ist diese Abbildung surjektiv?
3. Wir nennen die Betragsabbildung kurz ${}\varphi$. Was kann man über die Hintereinanderschaltungen ${}\varphi ^{2},\varphi ^{3},\varphi ^{4},\ldots$ in Bezug auf ${}\varphi$ sagen?
4. Wir schränken die Betragsabbildung auf ${}K_{\leq 0}$ ein. Bestimme die Monotonieeigenschaft von

   $K_{\leq 0}\longrightarrow K,\,x\longmapsto \vert {x}\vert .$

Aufgabe * (4 Punkte)

Im Sportunterricht wird ein Zirkeltraining mit den Stationen

Trampolin, Kletterwand, Schwebebalken, Basketballkorb, Laufband, Medizinball

durchgeführt. Bei einem Durchlauf soll die Kletterwand und der Schwebebalken unmittelbar hintereinander absolviert werden (die Reihenfolge ist aber egal), die beiden Ballstationen (Basketballkorb und Medizinball) sollen aber nicht unmittelbar hintereinander absolviert werden.

Wie viele Möglichkeiten (Reihenfolgen) gibt es für einen vollständigen Durchlauf, wenn diese beiden Bedingungen erfüllt sein sollen?

Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise den binomischen Lehrsatz für einen kommutativen Halbring ${}R$.

Aufgabe * (2 Punkte)

Berechne

$1-10+100-1000+10000-100000+1000000.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise das Lemma von Euklid für ganze Zahlen.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme, ob der Bruch ${}{\frac {3337}{2491}}$ gekürzt ist. Falls nicht, kürze.

Aufgabe * (2 Punkte)

Berechne

$0{,}00000029\cdot 0{,}00000000037.$

Das Ergebnis soll in einer entsprechenden Form angegeben werden.

Aufgabe * (8 (1+1+2+3+1) Punkte)

Wir betrachten die Abbildung ${}\varphi$, die einen im Zehnersystem gegebenen Dezimalbruch

${}z=\sum _{i=m}^{n}a_{i}10^{i}\,$

auf

${}\varphi (z)=\sum _{i=m}^{n}a_{i}10^{-i}\,$

abbildet. Bei ${}\varphi (z)$ bezieht sich also die Ziffer ${}a_{i}$ nicht mehr auf ${}10^{i}$, sondern auf ${}10^{-i}$.

1. Berechne ${}\varphi (514,73)$.
2. Welche Dezimalbrüche werden unter ${}\varphi$ auf sich selbst abgebildet?
3. Gilt

   ${}\varphi (z+w)=\varphi (z)+\varphi (w)\,?$

4. Zeige, dass die Beziehung

   ${}\varphi (10^{k}\cdot z)={\frac {1}{10^{k}}}\cdot \varphi (z)\,$

   für alle Dezimalbrüche ${}z$ und ganze Zahlen ${}k$ gilt.

5. Ist ${}\varphi$ bijektiv? Was ist gegebenenfalls die Umkehrabbildung?

Aufgabe * (2 Punkte)

1. Wie viele Minuten sind ein Fünftel einer Stunde?
2. Wie viel Prozent von einer Stunde sind ${}45$ Minuten?
3. Wie viele Minuten sind ${}90\%$ einer Stunde?
4. Wie viel Prozent von einer Stunde ist ein Tag?

Aufgabe * (12 (2+1+2+3+2+2) Punkte)

Wir beschreiben eine Konstruktion von ineinander enthaltenen Intervallen, und gehen vom Einheitsintervall ${}[0,1]$ aus. Das Intervall wird in drei gleichlange Teilintervalle zerlegt und davon nehmen wir das dritte (Regel 1). Das entstehende Intervall teilen wir in fünf gleichlange Teilintervalle ein und davon nehmen wir das vierte (Regel 2). Jetzt wenden wir abwechselnd Regel 1 und Regel 2 an, immer bezogen auf das zuvor konstruierte Intervall. Dabei entsteht eine Folge von Intervallen ${}I_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$ (${}I_{0}$ ist das Einheitsintervall, das als Startintervall dient).

1. Bestimme die Intervallgrenzen des Intervalls, das im zweiten Schritt konstruiert wird (also von ${}I_{2}$, nachdem einmal die Regel ${}1$ und einmal die Regel 2 angewendet wurde).
2. Wie kann man den Konstruktionsschritt, der durch die einmalige Hintereinanderausführung von Regel 1 und von Regel 2 gegeben ist, mit einer einzigen Regel ausdrücken?
3. Bestimme ein Intervall der Form ${}[{\frac {a}{100}},{\frac {a}{100}}+{\frac {1}{100}}]$ mit ${}a\in \mathbb {N}$, das ganz in ${}I_{2}$ enthalten ist.
4. Erstelle eine Formel, die die untere Intervallgrenze des Intervalls ${}I_{2k}$, ${}k\in \mathbb {N}$, ausdrückt.
5. Es gibt genau eine rationale Zahl ${}c$, die in jedem Intervall ${}I_{n}$ enthalten ist. Bestimme ${}c$ als Bruch.
6. Gibt es ein Ziffernsystem, in dem die rationale Zahl ${}c$ aus (5) eine Ziffernentwicklung mit Periodenlänge ${}1$ besitzt?

Aufgabe (3 Punkte)

In Beweisen findet man häufig die Formulierung „Wir nehmen (jetzt, also) an“. Welche Bedeutungen im Beweis kann diese Formulierung haben?