Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/20/Klausur mit Lösungen/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	${}\sum$
Punkte	3	3	4	2	5	3	1	8	2	4	5	4	3	2	2	1	1	2	2	4	2	63

Aufgabe (3 Punkte)

Lösung

1. Man nennt die Menge

   ${}L\times M={\left\{(x,y)\mid x\in L,\,y\in M\right\}}\,$

   die Produktmenge der Mengen ${}L$ und ${}M$.

2. Eine Relation ${}R$ auf einer Menge ${}M$ ist eine Teilmenge der Produktmenge ${}M\times M$, also ${}R\subseteq M\times M$.
3. Die Menge der ganzen Zahlen ${}\mathbb {Z}$ besteht aus der Menge aller positiven natürlichen Zahlen ${}\mathbb {N} _{+}$, der ${}0$ und der Menge ${}{\left\{-n\mid n\in \mathbb {N} _{+}\right\}}$, die die negativen ganzen Zahlen heißen.
4. Die natürliche Zahl ${}b$ heißt ein gemeinsames Vielfaches der ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$, wenn ${}b$ ein Vielfaches von jedem ${}a_{i}$ ist, also von jedem ${}a_{i}$ geteilt wird.
5. Ein Prozent ist ${}{\frac {1}{100}}$.
6. Die Abbildung ${}f\colon K\rightarrow K$ heißt wachsend, wenn für je zwei Elemente ${}x,x'\in K$ mit ${}x\leq x'$ auch ${}f(x)\leq f(x')$ gilt.

Aufgabe (3 Punkte)

Lösung

1. Es seien ${}M$ und ${}N$ endliche Mengen mit ${}m$ bzw. ${}n$ Elementen. Dann besitzt die Produktmenge ${}M\times N$ genau ${}m\cdot n$ Elemente.
2. Es sei ${}d$ eine fixierte positive natürliche Zahl. Dann gibt es zu jeder natürlichen Zahl ${}n$ eine eindeutig bestimmte natürliche Zahl ${}q$ und eine eindeutig bestimmte natürliche Zahl ${}r$, ${}0\leq r\leq d-1$, mit

   ${}n=qd+r\,.$

3. Für ${}x\geq -1$ und ${}n\in \mathbb {N}$ ist

   ${}(1+x)^{n}\geq 1+nx\,.$

Aufgabe (4 Punkte)

Hanny, Nanny, Fanny und Sanny leben auf dem Ponyhof. Heute machen sie einen Ausflug mit den Ponies Pona, Pone, Pono und Ponu. Jedes der Mädchen sitzt dabei genau auf einem Pony, und sie reiten hintereinander. Folgende Fakten sind bekannt.

1. Fanny sitzt nicht auf Pona.
2. Pone und Ponu vertragen sich nicht so gut und laufen daher nicht direkt hintereinander.
3. Nanny sitzt auf Pone oder auf Pono.
4. Sanny reitet auf Pona oder auf Pone.
5. Nanny reitet direkt hinter Sanny.
6. Auf Ponu sitzt nicht Sanny.
7. Pona läuft direkt zwischen Pone und Pono.
8. Auf Pono sitzt weder Fanny noch Hanny.
9. Sanny reitet weiter vorne als Hanny.

Wer sitzt auf welchem Pony und in welcher Reihenfolge laufen sie?

Lösung

Nach (7) liegt der Ponyabschnitt Pone-Pona-Pono oder Pono-Pona-Pone vor. Nach (2) sind somit nur die Ponyreihenfolgen Pone-Pona-Pono-Ponu oder Ponu-Pono-Pona-Pone möglich. Nach (8) sitzt auf Pono Nanny oder Sanny, nach (4) sitzt aber Sanny auf Pona oder Pone. Deshalb sitzt Nanny auf Pono. Nach (5) reitet Nanny direkt hinter Sanny. Bei der Reihenfolge Ponu-Pono-Pona-Pone müsste also Sanny auf Ponu reiten, was nach (4) ausgeschlossen ist. Also ist die Reihenfolge Pone-Pona-Pono-Ponu und Sanny reitet auf Pona. Nach (9) reitet Hanny auf Ponu und folglich reitet Fanny auf Pone.

Reihenfolge	Pony	Reiterin
1	Pone	Fanny
2	Pona	Sanny
3	Pono	Nanny
4	Ponu	Hanny

Aufgabe (2 Punkte)

Führe die erste binomische Formel für rationale Zahlen auf die erste binomische Formel für ganze Zahlen zurück.

Lösung

Wir schreiben die beteiligten rationalen Zahlen als

$a={\frac {k}{m}}\,\,{\text{ und }}\,\,b={\frac {r}{s}}.$

Unter Verwendung von grundlegenden Rechenregeln für Brüche erhalten wir

${}{\begin{aligned}(a+b)^{2}&={\left({\frac {k}{m}}+{\frac {r}{s}}\right)}^{2}\\&={\left({\frac {ks+rm}{ms}}\right)}^{2}\\&={\frac {(ks+rm)^{2}}{(ms)^{2}}}\\&={\frac {(ks)^{2}+2ksrm+(rm)^{2}}{(ms)^{2}}}\\&={\frac {(ks)^{2}}{(ms)^{2}}}+2{\frac {ksrm}{(ms)^{2}}}+{\frac {(rm)^{2}}{(ms)^{2}}}\\&={\left({\frac {k}{m}}\right)}^{2}+2{\frac {ks}{ms}}\cdot {\frac {rm}{ms}}+{\left({\frac {r}{s}}\right)}^{2}\\&=a^{2}+2ab+b^{2}.\end{aligned}}$

Aufgabe (5 (3+2) Punkte)

Zu ${}n\in \mathbb {N}$ sei ${}f(n)$ der minimale Eurobetrag, für den man mindestens ${}n$ Münzen/Scheine braucht, um diesen Betrag zu begleichen.

1. Erstelle eine Tabelle, aus der die Werte für ${}f(n)$ ablesbar sind?
2. Was ist ${}f(1000000)$?

Lösung

1. ${}n$

   ${}0$

   ${}1$

   ${}2$

   ${}3$

   ${}4$

   ${}5$

   ${}6$

   ${}7$

   ${}8$

   ${}9$

   ${}10$

   ${}11$

   ${}f(n)$

   ${}0$

   ${}1$

   ${}3$

   ${}8$

   ${}18$

   ${}38$

   ${}88$

   ${}188$

   ${}388$

   ${}888$

   ${}1388$

   ${}1888$

   Für alle weiteren ${}n$ muss man ${}500$ dazuaddieren.

2. Es ist

   ${}f(1000000)=1388+999990\cdot 500=1388+499995000=499996388\,.$

Aufgabe (3 Punkte)

Die Hochschule „Tellerrand“ bietet lediglich ${}4$ Fächer an, nämlich Hethitologie, Assyriologie, Ägyptologie und Semitistik. Sie bietet lediglich ${}2$-Fächer-Bachelor an in beliebiger Fächerkombination. Wie viele Fächerkombinationen gibt es (es wird nicht zwischen Erst- und Zweitfach unterschieden)? Skizziere ein Mengendiagramm, das die Studentenschaft mit ihren Fächern wiedergibt. Die zu einem Fach gehörenden Studenten und Studentinnen sollen dabei durch ein zusammenhängendes Gebiet dargestellt werden.

Lösung

Es gibt ${}6$ Möglichkeiten.

Aufgabe (1 Punkt)

Professor Knopfloch ist soeben aufgestanden und noch etwas schläfrig. Er setzt sich seine zwei Kontaktlinsen in seine Augen. Beim Frühstück stellt er fest, dass in seinem linken Auge keine Kontaktlinse ist. Er ist sich sicher, dass keine Kontaktlinse verloren ging, jede Kontaklinse landete in einem seiner Augen. Ist die Abbildung, die die Zuordnung an diesem Morgen der Kontaktlinsen zu den Augen beschreibt, surjektiv, injektiv, bijektiv?

Lösung

Die einzige Möglichkeit ist, dass beide Kontaklinsen im rechten Auge gelandet sind. Somit ist die Abbildung nicht injektiv (${}2$ Elemente haben den gleichen Wert), und auch nicht surjektiv, da das linke Auge nicht getroffen wird. Insbesondere ist die Abbildung nicht bijektiv.

Aufgabe (8 Punkte)

Es seien ${}L,M,N$ endliche Mengen mit ${}\ell ,m$ bzw. ${}n$ Elementen. Wir betrachten die Abbildung

$\Psi \colon \operatorname {Abb} \,{\left(L,M\right)}\times \operatorname {Abb} \,{\left(M,N\right)}\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(L,N\right)},\,(f,g)\longmapsto g\circ f,$

die durch die Hintereinanderschaltung von Abbildungen gegeben ist. Zeige, dass ${}\Psi$ genau dann surjektiv ist, wenn

${}m\geq \operatorname {min} \left(\ell ,\,n\right)\,$

ist.

Lösung

Es sei zuerst

${}m<\operatorname {min} \left(\ell ,\,n\right)\,.$

Wir nennen das Minimum rechts ${}k$. Wir wählen Teilmengen ${}S=L$ und ${}T=N$ mit jeweils ${}k$ Elementen und eine bijektive Abbildung

${\tilde {h}}\colon S\longrightarrow T.$

Diese erweitern wir zu einer Abbildung

$h\colon L\longrightarrow N,$

indem wir die Werte zu Elementen aus ${}L\setminus S$ irgendwie festlegen. Das Bild von ${}h$ besitzt zumindest ${}k$ Elemente. Diese Abbildung kann nicht durch ${}M$ faktorisieren, da ${}M$ weniger als ${}k$ Elemente besitzt.

Es sei nun

${}m\geq \operatorname {min} \left(\ell ,\,n\right)\,.$

Dabei sei zunächst

${}\ell =\operatorname {min} \left(\ell ,\,n\right)\,.$

Daher gibt es eine injektive Abbildung von ${}L$ nach ${}M$, und wir fixieren eine injektive Abbildung

$f\colon L\longrightarrow M.$

Es sei

$h\colon L\longrightarrow N$

vorgegeben. Wir definieren

$g\colon M\longrightarrow N$

durch

${}g(y)={\begin{cases}h(x),{\text{ falls }}y=f(x)\\\,z{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$

wobei ${}z\in N$ fixiert ist. Dabei ist

${}(g\circ f)(x)=g(f(x))=h(x)\,$

nach Konstruktion.

Es sei nun

${}n=\operatorname {min} \left(\ell ,\,n\right)\,.$

Bei ${}n=0$ ist die Aussage direkt klar, sei also ${}n\geq 1$. Dann gibt es eine surjektive Abbildung von ${}M$ nach ${}L$, und wir fixieren eine surjektive Abbildung

$g\colon M\longrightarrow N.$

Es sei

$h\colon L\longrightarrow N$

vorgegeben. Wir definieren

$f\colon L\longrightarrow M$

durch

${}f(x)=y\,,$

wobei ${}y\in M$ ein Element mit

${}g(y)=h(x)\,$

ist. Dabei ist

${}(g\circ f)(x)=g(f(x))=h(x)\,$

nach Konstruktion.

Aufgabe (2 Punkte)

Auf wie viele Arten kann man die ${}5$ als Summe von positiven natürlichen Zahlen darstellen (Darstellungen, die man durch Vertauschen der Reihenfolge ineinander überführen kann, gelten dabei als gleich; ${}5=5$ ist eine Darstellung)?

Lösung

Wir müssen nur die Darstellung zählen, wo die Summanden in absteigender Größe geordnet sind.

${}5=5\,,$

${}5=4+1\,,$

${}5=3+2\,,$

${}5=3+1+1\,,$

${}5=2+2+1\,,$

${}5=2+1+1+1\,,$

${}5=1+1+1+1+1\,,$

also ${}7$ Darstellungen.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass für positive natürliche Zahlen ${}a,n,k$ die Beziehung

${}a^{(n^{k})}=\underbrace {{\left({\left(\ldots {\left({\left(a^{n}\right)}^{n}\right)}^{n}\ldots \right)}^{n}\right)}^{n}} _{k{\text{ Potenzierungen}}}\,$

gilt.

Lösung

Wir führen Induktion nach ${}k$ (für beliebiges ${}a,n$). Bei

${}k=1\,$

steht links

${}a^{(n^{1})}=a^{n}\,$

und rechts steht die einfache Potenzierung ${}a^{n}$, das stimmt also überein. Zum Induktionsschluss nehmen wir an, dass die Aussage für ein bestimmtes ${}k$ schon bewiesen sei und wir müssen die entsprechende Aussage für ${}k+1$ zeigen. Unter Verwendung von Lemma 9.8 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)) und der Induktionsvorausetzung ist

${}a^{(n^{k+1})}=a^{(n^{k}\cdot n)}={\left(a^{(n^{k})}\right)}^{n}={\left(\underbrace {{\left({\left(\ldots {\left({\left(a^{n}\right)}^{n}\right)}^{n}\ldots \right)}^{n}\right)}^{n}} _{k{\text{ Potenzierungen}}}\right)}^{n}=\underbrace {{\left({\left({\left(\ldots {\left({\left(a^{n}\right)}^{n}\right)}^{n}\ldots \right)}^{n}\right)}^{n}\right)}^{n}} _{k+1{\text{ Potenzierungen}}}\,,$

was den Induktionsschritt beweist. Nach dem Induktionsprinzip ist die Aussage allgemein bewiesen.

Aufgabe (5 Punkte)

Beweise die Kürzungsregel für natürliche Zahlen.

Lösung

Wir führen Induktion nach ${}n$. Bei ${}n=0$ ist ${}0\cdot k=0$ nach Lemma 9.2 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023))  (1). Also ist

${}0=m\cdot k\,$

und wegen ${}k\neq 0$ folgt mit Lemma 9.4 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)) daraus ${}m=0=n$. Es sei die Aussage für ein ${}n$ (und beliebige ${}k\neq 0$ und ${}m$) bewiesen. Die Aussage ist für den Nachfolger ${}n'$ zu zeigen. Die Bedingung

${}n'\cdot k=m\cdot k\,$

kann bei ${}m=0$ wegen Lemma 9.4 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)) nicht gelten. Also ist ${}m$ ein Nachfolger, sagen wir ${}m=\ell '$. Somit ist

${}n\cdot k+k=n'\cdot k=m\cdot k=\ell '\cdot k=\ell \cdot k+k\,.$

Aus der Abziehregel folgt

${}n\cdot k=\ell \cdot k\,$

und aus der Induktionsvoraussetzung folgt

${}n=\ell \,,$

also

${}n'=\ell '=m\,.$

Aufgabe (4 (3+1) Punkte)

Es seien ${}k,n$ natürliche Zahlen mit ${}2\leq k\leq {\frac {n}{2}}$.

1. Zeige, dass der Binomialkoeffizient ${}{\binom {n}{k}}$ zumindest ${}2$ Primteiler besitzt.
2. Man gebe ein Beispiel mit ${}k\geq 3$, wo ${}{\binom {n}{k}}$ das Produkt von zwei Primzahlen ist.

Lösung Binomialkoeffizient/Mindestens 2 Primteiler/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (3 Punkte)

Im Eindeutigkeitsbeweis für die Division mit Rest „${}n$ durch ${}d$“ stehen folgende Notationsmöglichkeiten zur Auswahl.

1. ${}qd+r=n={\tilde {q}}d+{\tilde {r}}\,.$

2. ${}qd+r=n=pd+s\,.$

3. ${}q_{1}d+r_{1}=n=q_{2}d+r_{2}\,.$

   Diskutiere Vor- und Nachteile der einzelnen Notationen.

Lösung Division mit Rest/Eindeutigkeitsbeweis/Notation/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (2 Punkte)

Betrachte im ${}13$er System mit den Ziffern ${}0,1,\ldots ,8,9,A,B,C$ die Zahl

$BA4C.$

Wie sieht diese Zahl im Zehnersystem aus?

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}BA4C&=11\cdot 13^{3}+10\cdot 13^{2}+4\cdot 13+12\\&=11\cdot 2197+10\cdot 169+52+12\\&=24167+1690+64\\&=25921.\end{aligned}}$

Aufgabe (2 Punkte)

Führe die Multiplikation ${}8092\cdot 714$ mit dem Jalousie-Verfahren durch.

Lösung

${\begin{matrix}&&&&&&2&&\cdot &&7&&&&\\&&&&&&&\diagup &{|}&\diagdown &&&&&\\&&&&9&&\diagup &1&{|}&4&\diagdown &&1&&\\&&&&&\diagup &{|}&\diagdown &{|}&\diagup &{|}&\diagdown &&&\\&&0&&\diagup &6&{|}&3&\cdot &0&{|}&2&\diagdown &&4\\&&&\diagup &{|}&\diagdown &{|}&\diagup &{|}&\diagdown &{|}&\diagup &{|}&\diagdown &\\8&&\diagup &0&{|}&0&\cdot &0&{|}&9&\cdot &0&{|}&8&\cdot \\&\diagup &{|}&\diagdown &{|}&\diagup &{|}&\diagdown &{|}&\diagup &{|}&\diagdown &{|}&\diagup &\\\cdot &5&{|}&6&\cdot &0&{|}&0&\cdot &3&{|}&6&\diagup &&\\&\diagdown &{|}&\diagup &{|}&\diagdown &{|}&\diagup &{|}&\diagdown &{|}&\diagup &&&\\&&\diagdown &0&{|}&8&\cdot &0&{|}&0&\diagup &&&&\\&&&\diagdown &{|}&\diagup &{|}&\diagdown &{|}&\diagup &&&&&\\&&&&\diagdown &3&{|}&2&\diagup &&&&&\\&&&&&\diagdown &{|}&\diagup &&&&&&&\\&&&&&&\cdot &&&&&&&&\\&&&1&&&&1&&&&&&&\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\&5&&7&&7&&7&&6&&8&&8&\end{matrix}}$

Aufgabe (1 Punkt)

Es sei ${}N$ die Nachfolgerabbildung und ${}V$ die Vorgängerabbildung auf den ganzen Zahlen. Berechne

${\left(V\circ N\circ N\circ N\circ V\circ V\circ V\circ N\circ V\circ V\circ V\circ N\circ N\circ N\circ V\right)}(-2).$

Lösung

Es wird siebenmal der Nachfolger und achtmal der Vorgänger genommen, also insgesamt einmal der Vorgänger. Das Ergebnis ist daher ${}-3$.

Aufgabe (1 Punkt)

Beschreibe den Verlauf der skizzierten Funktion in Worten.

Lösung Funktionsgraph/Beschreibung/Worte/1/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (2 Punkte)

Der Energiebedarf (durch Nahrung) eines Menschen beträgt pro Tag etwa ${}12.000\,kJ$ (Kilojoule). Die durchschnittliche Sonneneinstrahlung in Osnabrück beträgt pro Tag etwa ${}3kWh$ pro ${}m^{2}$ (${}3$ Kilowattstunden pro Quadratmeter). Wie viele Fläche benötigt man pro Person, um ihren Energiebedarf durch die Sonneneinstrahlung abzudecken?

Lösung

Eine Kilowattstunde sind ${}3600kJ$, die Sonneneinstrahlung pro Quadratmeter ist ${}3\cdot 3600=10800$ Kilojoule am Tag. Der Flächenbedarf ist also

${}{\frac {12000}{10800}}={\frac {10}{9}}=1,11...\,$

Quadratmeter pro Person.

Aufgabe (2 Punkte)

Beschreibe Analogien zwischen der Größergleichbeziehung und der Teilerbeziehung auf den natürlichen Zahlen.

Lösung Teilbarkeit/Größergleichordnung/Analogien/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (4 Punkte)

Beweise die Bernoulli-Ungleichung für einen angeordneten Körper.

Lösung

Wir führen Induktion über ${}n$. Bei ${}n=0$ steht beidseitig ${}1$, sodass die Aussage gilt. Es sei nun die Aussage für ${}n$ bereits bewiesen. Dann ist

${}{\begin{aligned}(1+x)^{n+1}&=(1+x)^{n}(1+x)\\&\geq (1+nx)(1+x)\\&=1+(n+1)x+nx^{2}\\&\geq 1+(n+1)x,\end{aligned}}$

da Quadrate (und positive Vielfache davon) in einem angeordneten Körper nichtnegativ sind.

Aufgabe (2 Punkte)

Erläutere das Prinzip Beweis durch Widerspruch.

Lösung

Man möchte eine Aussage ${}A$ beweisen. Man nimmt an, dass ${}A$ nicht gilt. Daraus leitet man durch logisch korrektes Schließen einen Widerspruch her. Somit kann ${}\neg A$ nicht gelten und also muss ${}A$ gelten.