Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/9/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	${}\sum$
Punkte	3	3	3	1	3	2	2	3	2	5	2	4	4	4	2	5	2	4	4	3	3	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Kontraposition zu einer Implikation ${}\alpha \rightarrow \beta$.
2. Die Potenzmenge zu einer Menge ${}M$.
3. Eine injektive Abbildung

   $f\colon L\longrightarrow M.$

4. Die ${}n$-te Potenz zu einer natürlichen Zahl ${}a$.
5. Die Größergleichrelation auf den ganzen Zahlen.
6. Eine rationale Zahl.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Eindeutigkeit der Addition auf einem Peano-Modell.
2. Der Satz über die Verträglichkeit der Größergleichrelation ${}\geq$ auf ${}\mathbb {N}$ mit der Addition und mit der Multiplikation.
3. Das Lemma von Euklid.

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass der aussagenlogische Ausdruck

${\left(r\rightarrow {\left(p\wedge \neg q\right)}\right)}\rightarrow {\left(\neg p\rightarrow {\left(\neg r\vee q\right)}\right)}$

allgemeingültig ist

Aufgabe * (1 Punkt)

Wir betrachten den Satz „Lucy Sonnenschein tanzt auf allen Hochzeiten“. Negiere diesen Satz durch eine Existenzaussage.

Aufgabe * (3 Punkte)

Erläutere das Prinzip Beweis durch Widerspruch für eine Aussage der Form „Aus ${}A$ folgt ${}B$“.

Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)

Wir betrachten auf der Menge

${}M=\{a,b,c,d\}\,$

die durch die Tabelle

${}\star$	${}a$	${}b$	${}c$	${}d$
${}a$	${}c$	${}a$	${}a$	${}a$
${}b$	${}d$	${}d$	${}b$	${}b$
${}c$	${}a$	${}b$	${}c$	${}c$
${}d$	${}b$	${}a$	${}d$	${}d$

gegebene Verknüpfung ${}\star$.

1. Berechne

   $b\star (c\star (d\star a)).$

2. Besitzt die Verknüpfung ${}\star$ ein neutrales Element?

Aufgabe * (2 Punkte)

Es seien ${}L,M,N$ Mengen und ${}F\colon L\rightarrow M$ und ${}G\colon M\rightarrow N$ surjektive Abbildungen. Zeige, dass die Hintereinanderschaltung ${}G\circ F$ ebenfalls surjektiv ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise durch Induktion, dass die Summe von aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen (beginnend bei ${}1$) stets eine Quadratzahl ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

Finde die kleinste natürliche Zahl ${}n\geq 2$, die sowohl eine Quadratzahl als auch eine Kubikzahl ist.

Aufgabe * (5 (1+4) Punkte)

Ein Cocktailmixer verfügt über zwei Verarbeitungstechniken, nämlich schütteln und rühren, wobei in jedem Arbeitsgang stets zwei Grundzutaten bzw. Zwischenprodukte miteinander verarbeitet werden. Bei jedem Cocktail wird jede Grundzutat bei genau einem Arbeitsvorgang verarbeitet (wobei die dabei entstehenden Zwischenprodukte weiterverarbeitet werden können). Als Grundzutaten stehen Orangensaft, Zitronensaft, Pfefferminzblätter und Rum zur Verfügung.

1. Beschreibe die Zubereitung eines Cocktails, so dass jede Verarbeitungstechnik mindestens einmal vorkommt.
2. Auf wie viele Arten kann er aus den Zutaten einen Cocktail mixen?

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}n$ eine natürliche Zahl. Wann ist die Zahl ${}n^{2}-1$ eine Primzahl?

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}M$ eine ${}n$-elementige Menge und sei

$B={\left\{F:M\rightarrow M{\text{ Abbildung}}\mid F{\text{ bijektiv}}\right\}}.$

Zeige, dass

${}{\#\left(B\right)}=n!\,$

ist.

Aufgabe * (4 (1+3) Punkte)

1. Berechne ${}3^{2}$ im Vierersystem, ${}4^{2}$ im Fünfersystem und ${}9^{2}$ im Zehnersystem.
2. Zeige, dass im kleinen Einmaleins (ohne die Zehnerreihe) zur Basis ${}n\geq 3$ rechts unten die Zahl mit den Ziffern ${}n-2$ und ${}1$ steht.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme in ${}\mathbb {Z}$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von ${}5371400$ und ${}695700$.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme den Exponenten zu ${}3$ von ${}72657$.

Aufgabe * (5 (1+1+1+2) Punkte)

Ein Zug ist ${}500$ Meter lang (ohne Lokomotive) und bewegt sich mit ${}180$ Stundenkilometer. Lucy Sonnenschein hat ihr Fahrrad mit in den Zug genommen und fährt mit einer Geschwindigkeit von ${}20$ Metern pro Sekunde von ganz vorne nach ganz hinten.

1. Wie viele Sekunden benötigt Lucy für die gesamte Zuglänge?
2. Welche Geschwindigkeit (in Meter pro Sekunde) hat Lucy bezogen auf die Umgebung?
3. Welche Entfernung (in Meter) legt der Zug während der Fahrradfahrt zurück?
4. Berechne auf zwei verschiedene Arten, welche Entfernung Lucy während ihrer Fahrradfahrt bezogen auf die Umgebung zurücklegt.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}x,y\geq 0$. Zeige, dass ${}x\geq y$ genau dann gilt, wenn ${}x^{2}\geq y^{2}$ gilt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien ${}x,y$ rationale Zahlen. Zeige, dass

${}x-\left\lfloor x\right\rfloor =y-\left\lfloor y\right\rfloor \,$

genau dann gilt, wenn es ein ${}n\in \mathbb {Z}$ mit ${}y=x+n$ gibt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise die Bernoulli-Ungleichung für einen angeordneten Körper.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme vom achten Teil des Dezimalbruches

$760982393473{,}90354771045729$

die dritte Nachkommaziffer.

Aufgabe * (3 Punkte)

Im Bruch

${\frac {3024}{1312}}$

sind Zähler und Nenner im Fünfersystem gegeben. Rechne ihn ins Zehnersystem um.