Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/17/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	${}\sum$
Punkte	3	3	4	9	3	3	5	6	7	2	1	8	2	8	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Gerade in Punktvektorform im ${}K^{n}$.
2. Die beschreibende Matrix zu einer linearen Abbildung

   $\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m}$

   bezüglich der Standardbasen.

3. Eine Äquivalenzrelation ${}\sim$ auf einer Menge ${}M$.
4. Ein Dedekindscher Schnitt.
5. Der trigonometrische Punkt ${}P(\alpha )$ zu einem Winkel ${}\alpha$.
6. Ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Exponentialreihe.
2. Die Additionstheoreme für die trigonometrischen Funktionen.
3. Der Satz über die vollständige Unabhängigkeit im Produktraum.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise das Eliminationslemma für ein inhomogenes lineares Gleichungssystem in ${}n$ Variablen über einem Körper ${}K$.

Aufgabe * (9 (1+1+7) Punkte)

Aus den Rohstoffen ${}R_{1},R_{2}$ und ${}R_{3}$ werden verschiedene Produkte ${}P_{1},P_{2},P_{3},P_{4}$ hergestellt. Die folgende Tabelle gibt an, wie viel von den Rohstoffen jeweils nötig ist, um die verschiedenen Produkte herzustellen (jeweils in geeigneten Einheiten).

	${}R_{1}$	${}R_{2}$	${}R_{3}$
${}P_{1}$	${}6$	${}2$	${}3$
${}P_{2}$	${}4$	${}1$	${}2$
${}P_{3}$	${}0$	${}5$	${}2$
${}P_{4}$	${}2$	${}1$	${}5$

a) Erstelle eine Matrix, die aus einem Vierertupel von Produkten die benötigten Rohstoffe berechnet.

b) Die folgende Tabelle zeigt, wie viel von welchem Produkt in einem Monat produziert werden soll.

	${}P_{1}$	${}P_{2}$	${}P_{3}$	${}P_{4}$
	${}6$	${}4$	${}7$	${}5$

Welche Rohstoffmengen werden dafür benötigt?

c) Die folgende Tabelle zeigt, wie viel von welchem Rohstoff an einem Tag angeliefert wird.

	${}R_{1}$	${}R_{2}$	${}R_{3}$
	${}12$	${}9$	${}13$

Welche Produkttupel kann man daraus ohne Abfall produzieren?

Aufgabe * (3 Punkte)

Für ein doppelverpacktes Geschenk soll eine würfelförmige Schachtel in eine etwas größere würfelförmige Schachtel hineingelegt werden. Bestimme auf unterschiedliche Arten, wie viele Möglichkeiten es dafür gibt.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme das inverse Element zu ${}{\overline {35}}$ in ${}\mathbb {Z} /(101)$.

Aufgabe * (5 Punkte)

Vergleiche

${\sqrt {3}}+{\sqrt {10}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\sqrt {5}}+{\sqrt {7}}.$

Aufgabe * (6 Punkte)

Untersuche die Folge

${}x_{n}={\sqrt {n}}\cdot {\sqrt {n+1}}-n\,$

auf Konvergenz.

Aufgabe * (7 (1+3+3) Punkte)

Wir beschreiben eine Konstruktion von ineinander enthaltenen Intervallen, und gehen vom Einheitsintervall ${}[0,1]$ aus. Das Intervall wird in zehn gleichlange Teilintervalle zerlegt und davon nehmen wir das achte Teilintervall. Das entstehende Intervall teilen wir ebenfalls in zehn gleichlange Teilintervalle und nehmen davon wieder das achte Teilintervall. Dieser Teilungsprozess wird unendlich oft durchgeführt, wobei eine Folge von Intervallen ${}I_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, entsteht (${}I_{0}$ ist das Einheitsintervall, das als Startintervall dient).

1. Bestimme die Intervallgrenzen des Intervalls, das im zweiten Schritt konstruiert wird.
2. Erstelle eine Formel, die die untere und die obere Intervallgrenze des Intervalls ${}I_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, ausdrückt.
3. Es gibt genau eine rationale Zahl ${}c$, die in jedem Intervall ${}I_{n}$ enthalten ist. Bestimme ${}c$ als Bruch.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei

${}\varphi (x)=3x^{2}-7x+5\,.$

Bestimme ${}\varphi {\left(u^{2}-2v\right)}$.

Aufgabe * (1 Punkt)

Es sei

${}z^{2}+pz+q=0\,$

eine quadratische Gleichung mit ${}p,q\in \mathbb {R}$. Zeige, dass die Koordinaten der Schnittpunkte der Geraden

${}x+y=-p\,$

und des Kreises

${}x^{2}+y^{2}=p^{2}-2q\,$

die Lösungen der quadratischen Gleichung sind.

Aufgabe * (8 Punkte)

Es sei ${}b$ eine positive reelle Zahl und

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto b^{x},$

die zugehörige Exponentialfunktion. Zeige

${}{\left(b^{x}\right)}^{x'}=b^{xx'}\,$

für alle ${}x,x'\in \mathbb {R}$ unter Bezug auf die entsprechende Gleichung für rationale Argumente.

Aufgabe * (2 Punkte)

Gibt es eine reelle Zahl, die in ihrer dritten Potenz, vermindert um das Fünffache ihrer zweiten Potenz, gleich der siebten Wurzel von ${}17$ ist?

Aufgabe * (8 (2+2+4) Punkte)

Wir betrachten, analog zum Pascalschen Dreieck, die folgende Rekursionsvorschrift und das dadurch erzeugte Dreieck. Die Zahlen darin seien mit ${}b_{n,k}$ bezeichnet, wobei sich ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ auf die Zeilennummer und ${}k$ auf die Position in der Zeile bezieht. Rekursionsanfang: In der nullten Zeile steht an der mittleren Stelle eine ${}1$ (alle Zeilen kann man sich durch beliebig viele Nullen nach links und nach rechts aufgefüllt denken). Rekursionsschritt: Aus einer Zeile ergibt sich die nächste Zeile, indem man

${}b_{n+1,k}:={\frac {1}{3}}b_{n,k-1}+{\frac {2}{3}}b_{n,k}\,$

setzt. Dies legt rekursiv jede Zeile fest.

1. Bestimme die ersten fünf Zeilen (also Zeile ${}0$ bis Zeile ${}4$).
2. Begründe induktiv, dass in jeder Zeile die Summe aller Einträge gleich ${}1$ ist.
3. Zeige, dass in der ${}n$-ten Zeile die Zahlen ${}B_{{\frac {2}{3}},n}(k)$, ${}k=0,1,\ldots ,n$, der Binomialverteilung zur Wahrscheinlichkeit ${}{\frac {2}{3}}$ und zur Stichprobenlänge ${}n$ stehen.