Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil I/Arbeitsblatt 12/kontrolle
- Die Pausenaufgabe
Bestimme die Anzahl der Teiler der Zahlen
- Übungsaufgaben
Es sei eine natürliche Zahl. Zeige, dass ungerade oder aber durch teilbar ist.
Es sei eine natürliche Zahl. Zeige, dass stets gerade ist.
Skizziere ein Teilerdiagramm für die Zahlen sowie all ihrer positiven Teiler.
Es sei eine Menge von Äpfeln und eine Menge von Personen. Begründe, dass man die Apfelmenge genau dann gerecht auf die Personen aufteilen kann, wenn ein Teiler von ist.
Bringe die Teilbarkeit einer natürlichen Zahl durch eine natürliche Zahl mit dem Begriff der Produktmenge in Zusammenhang.
Es seien natürliche Zahlen und es gelte, dass ein Vielfaches von sei. Ferner sei . Zeige, dass dann ein Vielfaches von ist.
Es seien natürliche Zahlen, die beide von geteilt werden. Zeige, dass auch die Differenz von geteilt wird.
Es sei eine natürliche Zahl und sei die kleinste natürliche Zahl mit . Zeige, dass bei einer Faktorzerlegung stets oder gilt.
Es seien positive natürliche Zahlen. Stifte eine Bijektion zwischen der Menge aller Vielfachen von und der Menge aller Vielfachen von .
Es seien drei verschiedene Zahlen gegeben. Wie viele Teiler besitzt das Produkt minimal?
Es sei
die Menge aller Zweierpotenzen. Definiere eine Bijektion
derart, dass genau dann gilt, wenn die Zahl teilt.
Beschreibe Analogien zwischen der Größergleichbeziehung und der Teilerbeziehung auf den natürlichen Zahlen.
Die folgende Aufgabe beschreibt, wie sich in
Lemma 12.3
unter den gegebenen Teilbarkeitsvoraussetzungen die Brüche verhalten.
- Für jede natürliche Zahl gilt und bei gilt auch .
- Für jede natürliche Zahl gilt .
- Gilt
und ,
so gilt auch und es ist
(bei )
- Gilt
und ,
so gilt auch und es ist
(bei )
- Gilt , so gilt auch für jede natürliche Zahl , und es ist
(bei )
- Gilt
und ,
so gilt auch für beliebige natürliche Zahlen , und es ist
(bei )
Die folgende Aufgabe sollte man in Analogie zu
Lemma 10.12
sehen.
Es seien natürliche Zahlen. Zeige die folgenden Aussagen.
- Es sei ein Teiler von . Dann ist
für .
- Es sei ein Teiler von und ein Teiler von mit
.
Dann ist
Insbesondere gelten, wenn ein Teiler von ist, die Beziehungen (mit )
und
- Es sei ein Teiler von und ein Teiler von . Dann ist ein Teiler von und es ist
Es gibt Schokoriegel und Äpfel. Auf wie viele Kinder kann man diese Sachen gerecht verteilen?
Bestimme den größten gemeinsamen Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache von und .
Es sei ein Teiler von . Was ist der größte gemeinsame Teiler von und und was ist das kleinste gemeinsame Vielfache von und ?
Zeige, dass man jede natürliche Zahl als Summe
schreiben kann, wobei sowohl als auch zusammengesetzte Zahlen sind.
Bestimme die Primfaktorzerlegung von .
Bestimme die Primfaktorzerlegung von .
Es sei eine natürliche Zahl. Wann ist die Zahl eine Primzahl?
Finde die kleinste Zahl der Form , die keine Primzahl ist, wobei die ersten Primzahlen sind.
Finde einen Primfaktor der Zahl .
Finde einen Primfaktor der folgenden drei Zahlen
Man gebe zwei Primfaktoren von an.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Skizziere ein Teilerdiagramm für die Zahlen sowie all ihrer positiven Teiler.
Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei eine natürliche Zahl mit zwei Faktorzerlegungen
Es sei . Zeige, das dann sein muss.
Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein Teiler von und ein Teiler von . Zeige, dass ein Teiler von ist und dass
gilt.
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Man bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Finde einen Primfaktor der Zahl .
Zeige, dass es außer kein weiteres Zahlentripel der Form gibt, in dem alle drei Zahlen Primzahlen sind.
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