Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)/Teil I/Vorlesung 25/latex
\setcounter{section}{25}
\epigraph { Wenn ich weiter geblickt habe, so deshalb, weil ich auf den Schultern von Riesen stehe } { Isaac Newton }
\zwischenueberschrift{Das Archimedes-Axiom für die rationalen Zahlen}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Archimedes_(Idealportrait).jpg} }
\end{center}
\bildtext {Archimedes (ca. 287 -212 v. C.)} }
\bildlizenz { Archimedes (Idealportrait).jpg } {} {Ixitixel} {Commons} {PD} {}
\inputfaktbeweis
{Rationale Zahlen/Archimedes-Axiom/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Zu jeder
\definitionsverweis {rationalen Zahl}{}{}
$q$}
\faktfolgerung {gibt es eine natürliche Zahl $n$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{q
}
{ \leq} {n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{q
}
{ =} { { \frac{ a }{ b } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit positivem $b$. Wenn $a$ negativ ist, kann man jede natürliche Zahl nehmen. Wenn $a$ nicht negativ ist, so ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a
}
{ \leq} {ba
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und damit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{q
}
{ \leq} {a
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gemäß der Definition der Ordnung auf den rationalen Zahlen.
Vor der folgenden Definition erinnern wir daran, dass jeder angeordnete Körper
\zusatzklammer {und jeder angeordnete Ring $\neq 0$} {} {}
die ganzen Zahlen $\Z$ enthält.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.} Dann heißt $K$ \definitionswort {archimedisch angeordnet}{,} wenn das folgende \definitionswort {Archimedische Axiom}{} gilt, d.h. wenn es zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine natürliche Zahl $n$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq} {x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}
Gemäß Lemma 25.1 sind die rationalen Zahlen archimedisch angeordnet. Die reellen Zahlen bilden ebenfalls, wie wir später in Lemma 46.7 sehen werden, einen archimedisch angeordneten Körper. Man kann sich darüber streiten, ob jeder angeordnete Körper, für den die Zahlengerade ein sinnvolles Modell ist, bereits archimedisch angeordnet ist. Da die Zahlengerade eine geometrisch-intuitives Konstrukt ist, lässt sich dies nicht endgültig entscheiden. Es geht um die Frage, ob die Vorstellung einer Zahlengeraden umfasst, dass es jenseits eines jeden Punktes auf der Geraden noch größere natürliche Zahlen gibt. Unabhängig davon sei bemerkt, dass es angeordnete Körper gibt, die nicht archimedisch angeordnet sind, siehe Aufgabe 50.30.
\inputfaktbeweis
{Archimedisch angeordneter Körper/Ganzzahlige Intervalle/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {In einem
\definitionsverweis {archimedisch angeordneten Körper}{}{}
$K$}
\faktfolgerung {gibt es zu jedem Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine eindeutig bestimmte
\definitionsverweis {ganze Zahl}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ n
}
{ \leq} { x
}
{ <} { n+1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dass es ganze Zahlen
\mathl{a,b}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a
}
{ \leq} {x
}
{ <} {b
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt folgt unmittelbar aus der Definition bzw. für die untere Grenze aus
Aufgabe 25.5.
Da es nur endlich viele ganze Zahlen zwischen
\mathkor {} {a} {und} {b} {}
gibt, findet man auch die zu $x$ nächstliegenden ganzen Zahlen.
Die letzte Aussage lässt sich gut mit Intervallen formulieren.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.}
Zu
\mathbed {a,b \in K} {}
{a \leq b} {}
{} {} {} {,}
nennt man
\auflistungvier{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ [a,b]
}
{ = }{ { \left\{ x \in K \mid a \leq x \text{ und } x \leq b \right\} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das \definitionswort {abgeschlossene Intervall}{.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ ]a,b[
}
{ = }{ { \left\{ x \in K \mid a < x \text{ und } x < b \right\} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das \definitionswort {offene Intervall}{.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ ]a,b]
}
{ = }{ { \left\{ x \in K \mid a < x \text{ und } x \leq b \right\} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das \definitionswort {linksseitig offene Intervall}{.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ [a,b[
}
{ = }{ { \left\{ x \in K \mid a \leq x \text{ und } x < b \right\} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das \definitionswort {rechtsseitig offene Intervall}{.}
}
}
Die Differenz
\mathl{b-a}{} nennt man die \stichwort {Intervalllänge} {.} Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b
}
{ \in }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
spricht man von einem ganzzahligen Intervall, das Intervall
\mathl{[0,1]}{} heißt das
\zusatzklammer {abgeschlossene} {} {}
\stichwort {Einheitsintervall} {.} Die obige Aussage bedeutet, dass jedes Element $x$ in einem archimedisch angeordneten Körper in einem eindeutig bestimmten Intervall der Form
\mathl{[n,n+1[}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
liegt.
\zwischenueberschrift{Gemischte Brüche}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Floor_function.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Floor function.svg } {} {Omegatron} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
\inputdefinition
{}
{
Zu einer rationalen Zahl $x$ ist die \definitionswort {Gaußklammer}{}
\mathl{\left \lfloor x \right \rfloor}{} durch
\mathdisp {\left \lfloor x \right \rfloor = n, \text{ falls } x \in [n,n+1[ \text{ und } n \in \Z} { , }
definiert.
}
Diese ganze Zahl $n$ existiert nach
Lemma 25.3,
da wir uns in einem archimedisch angeordneten Körper befinden. Ein damit verwandtes Konzept ist die \stichwort {Rundung} {.} Die Rundung einer rationalen
\zusatzklammer {oder reellen} {} {}
Zahl $x$ ist durch
\mathl{\left \lfloor x + { \frac{ 1 }{ 2 } } \right \rfloor}{} definiert. Sie gibt an, welche Ganze Zahl der Zahl am nächsten ist, wobei man die ${ \frac{ 1 }{ 2 } }$-Werte abrundet.
\inputdefinition
{}
{
Unter einem
\definitionswort {gemischten Bruch}{}
versteht man einen Ausdruck der Form
\mathdisp {n { \frac{ a }{ b } }} { }
mit einer natürlichen Zahl $n$ und einer rationalen Zahl
\mathl{{ \frac{ a }{ b } }}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ < }{b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Der Wert eines gemischten Bruches ist
\mathdisp {n + { \frac{ a }{ b } }} { . }
}
Die natürliche Zahl $n$ heißt der \stichwort {ganzzahlige Anteil} {} und
\mathl{{ \frac{ a }{ b } }}{} heißt der \stichwort {Bruchanteil} {.} Ein gemischter Bruch ist eine besondere Darstellung für eine rationale Zahl, sie ist vor allem bei Mengen-, Zeit- und bei Längenangaben gebräuchlich, wie wenn man sagt, dass die Oper dreieinviertel Stunden gedauert hat. Vorteile sind, dass durch den ganzzahligen Anteil die Größenordnung der Zahl unmittelbar ersichtlich ist und dass sich diese Darstellung ergibt, wenn man bei einem gegebenen Bruch die Division mit Rest von Zähler durch Nenner durchführt. Ein Nachteil ist die Verwechslungsgefahr von
\mathl{7 { \frac{ 1 }{ 4 } }}{} mit dem Produkt
\mathl{7 \cdot { \frac{ 1 }{ 4 } }}{.} In einem Kontext, in dem man mit gemischten Brüchen arbeitet, muss man auf die Konvention, dass man das Produktzeichen weglassen darf, verzichten. Was gemischte Brüche für negative Zahlen sind ist auch heikel.
Jede positive rationale Zahl besitzt eine Darstellung als gemischter Bruch, die bis auf das Kürzen des Bruchanteils eindeutig bestimmt ist. Zu einem Bruch
\mathl{{ \frac{ c }{ b } }}{} erhält man die Darstellung als gemischter Bruch, indem man die Division mit Rest
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c
}
{ =} {nb+a
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \leq }{a
}
{ < }{b
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
durchführt und die Umformung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ c }{ b } }
}
{ =} { { \frac{ nb+a }{ b } }
}
{ =} { n + { \frac{ a }{ b } }
}
{ =} { n { \frac{ a }{ b } }
}
{ } {
}
}
{}{}{}
vornimmt. Insbesondere ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{ \left \lfloor { \frac{ c }{ b } } \right \rfloor
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Bei der Weiterverarbeitung eines gemischten Bruches
\mathl{n { \frac{ a }{ b } }}{} arbeitet man mit
\mathl{n +{ \frac{ a }{ b } }}{.} Dies kann man in einen ungemischten Bruch zurückrechnen, was aber nicht immer von Vorteil ist. Wenn man beispielsweise die beiden gemischten Brüche
\mathkor {} {n +{ \frac{ a }{ b } }} {und} {m +{ \frac{ c }{ d } }} {}
miteinander addieren und das Ergebnis als gemischten Bruch haben möchte, so kann man von
\mathl{(n+m) + { \left( { \frac{ a }{ b } } + { \frac{ c }{ d } } \right) }}{} ausgehen und muss für die Summe der Brüche hinten nur überprüfen, ob diese $1$ übertrifft oder nicht und gegebenenfalls $1$ zum ganzen Anteil dazuschlagen.
\zwischenueberschrift{Das Archimedes-Prinzip für kleine Zahlen}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Zandlineaal-schuin.jpg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Zandlineaal-schuin.jpg } {} {Tom Meijer} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Dune 7 in the Namib Desert.jpeg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Dune 7 in the Namib Desert.jpeg } {} {Ævar Arnfjörð Bjarmason} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
Die folgende wichtige Aussage sollte man so lesen: Egal wie groß $y$ ist und egal wie klein ein positives $x$ ist, man kann stets mit hinreichend vielen $x$ die Zahl $y$ übertreffen. Egal wie klein eine Strecke ist, wenn man sie hinreichend oft hintereinander legt, übertrifft man damit jede gegebene Strecke. Mit Sandkörnern beliebig kleiner Größe kann man eine beliebig große Sanddüne aufbauen.
\inputfaktbeweis
{Angeordneter Körper/Archimedisch/Formulierung mit zwei Elementen/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {archimedisch angeordneter Körper}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x,y
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
stets ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{nx
}
{ > }{y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir betrachten
\mathl{y/x}{.} Aufgrund des Archimedes-Axioms gibt es ein $n$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{ y/x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Da $x$ positiv ist, gilt
nach Lemma 19.13
auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{nx
}
{ \geq }{y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\inputfaktbeweis
{Angeordneter Körper/Archimedisch/Stammbrucheigenschaft/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein \definitionsverweis {archimedisch angeordneter Körper}{}{.}}
\faktvoraussetzung {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine natürliche Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ n } }
}
{ \leq }{ x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es ist $x^{-1}$ eine
nach Lemma 24.5 (1)
positive Zahl und daher gibt es eine natürliche Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{ x^{-1}
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dies ist
nach Lemma 24.5 (4)
äquivalent zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ n } }
}
{ =} { n^{-1}
}
{ \leq} { { \left( x^{-1} \right) }^{-1}
}
{ =} { x
}
{ } {}
}
{}{}{.}
Bei den beiden folgenden Aussagen denke man bei $B$ an eine sehr große und bei $\epsilon$ an eine sehr kleine Zahl.
\inputfaktbeweis
{Archimedisch angeordneter Körper/x größer 1/x^n unbeschränkt/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein \definitionsverweis {archimedisch angeordneter Körper}{}{}}
\faktvoraussetzung {und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ > }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{B
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine natürliche Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^n
}
{ \geq} {B
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir schreiben
\mathbed {x=1+u} {mit}
{u>0} {}
{} {} {} {.} Aufgrund von
Lemma 25.7
gibt es eine natürliche Zahl $n$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{nu
}
{ \geq }{ B-1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Damit gilt
unter Verwendung der Bernoulli-Ungleichung
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^n
}
{ =} { (1+u)^n
}
{ \geq} { 1+nu
}
{ \geq} { 1+ B-1
}
{ =} { B
}
}
{}{}{.}
\inputfaktbeweis
{Archimedisch angeordneter Körper/x kleiner 1/x^n unterbietet/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein \definitionsverweis {archimedisch angeordneter Körper}{}{}}
\faktvoraussetzung {und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ < }{x
}
{ < }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es zu jedem positiven
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine natürliche Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^n
}
{ \leq} { \epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ \defeq }{x^{-1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{B
}
{ \defeq }{ \epsilon^{-1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Nach
Lemma 25.9
gibt es ein $n$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y^n
}
{ \geq} {B
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Durch Übergang zu den inversen Elementen erhält man
gemäß Lemma 24.5 (4)
die Behauptung.
\zwischenueberschrift{Monotone Abbildungen}
Abbildungen eines angeordneten Körpers in sich kann man dahingehend untersuchen, ob sie die Ordnung beibehalten oder verändern.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge. Eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbdisp {f} {T} {K
} {}
heißt
\definitionswort {wachsend}{,}
wenn für je zwei Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,x'
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \leq }{x'
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ \leq }{f(x')
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge. Eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbdisp {f} {T} {K
} {}
heißt
\definitionswort {streng wachsend}{,}
wenn für je zwei Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,x'
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ < }{x'
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ < }{f(x')
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge. Eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbdisp {f} {T} {K
} {}
heißt
\definitionswort {fallend}{,}
wenn für je zwei Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,x'
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \leq }{x'
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ \geq }{f(x')
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge. Eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbdisp {f} {T} {K
} {}
heißt
\definitionswort {streng fallend}{,}
wenn für je zwei Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,x'
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ < }{x'
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ > }{f(x')
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
Als gemeinsame Bezeichnung spricht man von \zusatzklammer {streng} {} {} monotonen Funktionen.
\inputfaktbeweis
{Angeordneter Körper/Streng wachsend/Injektiv/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge und
\maabbdisp {f} {T} {K
} {}
eine
\definitionsverweis {streng wachsende}{}{}
\zusatzklammer {oder
\definitionsverweis {streng fallende}{}{}} {} {}
Funktion.}
\faktfolgerung {Dann ist $f$
\definitionsverweis {injektiv}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,y
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
verschieden. Da wir in einem angeordneten Körper sind, ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ > }{y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ > }{x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei wir ohne Einschränkung den ersten Fall annehmen können. Bei streng wachsender Monotonie folgt daraus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ >} {f(y)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und insbesondere sind
\mathkor {} {f(x)} {und} {f(y)} {}
verschieden, also ist die Abbildung injektiv.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.}
Eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
der Form
\maabbeledisp {f} {K} {K
} {x} { c x
} {,}
mit einem festen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt
\definitionswort {lineare Funktion}{.}
}
Lineare Funktionen drücken eine Proportionalität aus.
\inputfaktbeweis
{Angeordneter Körper/Lineare Funktion/Wachstum/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\maabbeledisp {f} {K} {K
} {x} {cx
} {,}
die zugehörige
\definitionsverweis {lineare Funktion}{}{.}}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist $f$
\definitionsverweis {streng wachsend}{}{.}
}{Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist $f$
\definitionsverweis {konstant}{}{}
und damit
\zusatzklammer {nicht streng} {} {}
\definitionsverweis {wachsend}{}{}
und
\definitionsverweis {fallend}{}{.}
}{Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ < }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist $f$
\definitionsverweis {streng fallend}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Aussagen folgen aus
Lemma 19.13,
wenn man dort $\geq$ durch $>$ ersetzt. Wir führen dies für (1) aus. Sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c
}
{ >} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ > }{y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x-y
}
{ >} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und damit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c(x-y)
}
{ >} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{cx-cy
}
{ >} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{cx
}
{ >} {cy
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Insbesondere ist die Negation \maabbeledisp {} {K} {K } {x} {-x } {,} streng fallend.
Die Funktionen, deren Monotonieverhalten in der folgenden Aussage besprochen wird, heißen \stichwort {Potenzfunktionen} {.}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Kegs-n-ausg-p.png} }
\end{center}
\bildtext {Die zweite Potenz ist im Positiven streng wachsend und im Negativen streng fallend.} }
\bildlizenz { Kegs-n-ausg-p.png } {} {Ag2gaeh} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Function x3.svg} }
\end{center}
\bildtext {Die dritte Potenz ist auf ganz $\Q$ bzw. $\R$ streng wachsend.} }
\bildlizenz { Function x3.svg } {} {LennyWikidata} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
\inputfaktbeweis
{Angeordneter Körper/Potenzierung/Wachstumsverhalten/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{Die Abbildung
\maabbeledisp {} {K_{\geq 0}} {K
} {x} {x^n
} {,}
ist
\definitionsverweis {streng wachsend}{}{.}
}{Die Abbildung
\maabbeledisp {} {K_{\leq 0}} {K
} {x} {x^n
} {,}
ist bei $n$ ungerade
\definitionsverweis {streng wachsend}{}{.}
}{Die Abbildung
\maabbeledisp {} {K_{\leq 0}} {K
} {x} {x^n
} {,}
ist bei $n$ gerade
\definitionsverweis {streng fallend}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Der erste Teil folgt unmittelbar durch $n$-fache Anwendung von Lemma 19.13 (6), die beiden weiteren Teile ergeben sich daraus durch Berücksichtigung der Negation und Lemma 25.17 (3).
\zwischenueberschrift{Antiproportionale Zusammenhänge}
In einem Körper sind zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ \neq} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und einer negativen ganzen Zahl
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n
}
{ =} {-m
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ m
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auch die Ausdrücke
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^n
}
{ =} { { \left( x^{-1} \right) }^{m}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
sinnvoll definiert und ergeben sinnvolle Funktionen
\maabbeledisp {} {K \setminus \{0\}} {K \setminus \{0\}
} {x} { x^n
} {,}
die man, wenn ein geordneter Körper vorliegt, ähnlich zu
Lemma 25.18
auf das Monotonieverhalten hin untersuchen kann. Hierbei muss man hauptsächlich die Invertierungsfunktion
\maabbeledisp {} {K \setminus \{0\}} {K \setminus \{0\}
} {x} { x^{-1}
} {,}
verstehen.
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Rectangular hyperbola.svg} }
\end{center}
\bildtext {Den Graphen der Invertierungsfunktion nennt man auch \stichwort {Hyperbel} {.}} }
\bildlizenz { Rectangular hyperbola.svg } {} {Qef} {Commons} {gemeinfrei} {}
\inputfaktbeweis
{Angeordneter Körper/Invertierungsfunktion/Monotonieverhalten/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die Abbildung
\maabbeledisp {} {K_{+}} {K_{+}
} {x} {x^{-1}
} {,}
\definitionsverweis {streng fallend}{}{}
und ebenso ist
\maabbeledisp {} {K_{-}} {K_{-}
} {x} {x^{-1}
} {,}
\definitionsverweis {streng fallend}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt direkt aus Lemma 24.5 (4) und Lemma 19.13 (2).
Obwohl die Invertierungsfunktionen auf den beiden Abschnitten, auf denen sie definiert ist, streng fallend ist, ist sie insgesamt nicht streng fallend. Wenn zwischen zwei Größen die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} {c x^{-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einer Konstanten $c$ besteht, so spricht man von einem \stichwort {antiproportionalen Zusammenhang} {} oder einem \stichwort {reziproken Zusammenhang} {.}
\inputfaktbeweis
{Angeordneter Körper/Potenzierung/Negative Exponenten/Wachstumsverhalten/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{-m
}
{ \in }{ \Z_-
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{Die Abbildung
\maabbeledisp {} {K_{+}} {K
} {x} {x^n
} {,}
ist
\definitionsverweis {streng fallend}{}{.}
}{Die Abbildung
\maabbeledisp {} {K_{-}} {K
} {x} {x^n
} {,}
ist bei $n$ ungerade
\definitionsverweis {streng fallend}{}{.}
}{Die Abbildung
\maabbeledisp {} {K_{-}} {K
} {x} {x^n
} {,}
ist bei $n$ gerade
\definitionsverweis {streng wachsend}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^{-m}
}
{ =} { { \left( x^{-1} \right) }^m
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
Lemma 24.5 (4)
aus
Lemma 25.18.