Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 10

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Ordne die folgenden natürlichen Zahlen gemäß ihrer Größe.

$2^{10},\,10^{3},\,50\cdot 20+13,\,33^{2},\,3\cdot 334,\,9^{3}+7^{3},\,1005,\,2\cdot 5\cdot 101,\,31^{2},\,3^{3}\cdot 37,\,11\cdot 10\cdot 9.$

Übungsaufgaben

Aufgabe

Erstelle das „kleine Einsgrößergleicheins“.

Aufgabe

Skizziere die Menge der Paare ${}(x,y)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N}$, die ${}x\geq y$ erfüllen, als Teilmenge der Produktmenge ${}\mathbb {N} \times \mathbb {N}$.

Aufgabe

Es seien ${}m\leq n$ natürliche Zahlen. Zeige

${}\{m,\ldots ,n\}={\left\{x\in \mathbb {N} \mid m\leq x{\text{ und }}x\leq n\right\}}\,.$

Aufgabe *

Es seien ${}k,n$ natürliche Zahlen. Zeige, dass ${}k\leq n$ genau dann gilt, wenn

${}\{1,\ldots ,k\}\subseteq {\{1,\ldots ,n\}}\,$

gilt.

Aufgabe

Es seien ${}a,b$ natürliche Zahlen mit ${}a\geq b$. Zeige, dass ${}a=b$ oder ${}a\geq b+1$ gilt.

Aufgabe

Für natürliche Zahlen gelte ${}a\geq b$ und ${}b>c$. Zeige ${}a>c$.

Aufgabe *

Zeige, dass für jede natürliche Zahl ${}n\geq 1$ die Abschätzung

${}3^{n}\geq n^{3}\,$

gilt.

Aufgabe

Bestimme die minimale Potenzzahl echt oberhalb von ${}1000000$ und die maximale Potenzzahl echt unterhalb von ${}1000000$.

Aufgabe *

Beweise Lemma 9.4 mit Hilfe von Lemma 10.6 und Satz 10.8.

Aufgabe *

Beweise Lemma 9.5 mit Hilfe von Satz 10.8.

Aufgabe

Es sei ${}A$ eine endliche total geordnete Menge. Es sei ${}I=\{1,2,\ldots ,n\}$ eine endliche Indexmenge. Definiere auf der Produktmenge

${}A^{I}=\underbrace {A\times \cdots \times A} _{n{\text{-mal}}}\,$

die „lexikographische Ordnung“, und zeige, dass es sich dabei ebenfalls um eine totale Ordnung handelt.

Aufgabe

Modelliere Aussagen wie „diese Person ist größer (schwerer, intelligenter) als jene Person“ mit Hilfe von Abbildungen und der Größergleich-Relation auf den natürlichen Zahlen. Besteht eine Ordnungsrelation auf der Personenmenge?

Aufgabe

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {N}$ eine nichtleere Teilmenge der natürlichen Zahlen. Zeige, dass ${}T$ genau dann endlich ist, wenn ${}T$ ein Maximum besitzt.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine endliche Menge mit ${}m$ Elementen und es sei ${}T\subseteq M$ eine Teilmenge. Zeige, dass ${}T$ ebenfalls eine endliche Menge ist, und dass für ihre Anzahl ${}k$ die Abschätzung

${}k\leq m\,$

gilt. Zeige ferner, dass ${}T$ genau dann eine echte Teilmenge ist, wenn

${}k<m\,$

ist.

Aufgabe

In die Klasse kommt ein neues Kind. Es stellt sich heraus, dass es auf die Frage, ob ${}13$ oder ob ${}17$ größer ist, keine Antwort weiß. Die Lehrkraft möchte genauer wissen, was das Kind über die Ordnung weiß oder nicht weiß, um es besser fördern zu können. Betrachte die folgenden möglichen Nachfragen der Lehrkraft.

1. „Weißt du, ob ${}44$ oder ob ${}49$ größer ist?“
2. „Weißt du, ob ${}13$ oder ob ${}14$ größer ist?“
3. „Weißt du, ob ${}3$ oder ob ${}7$ größer ist?“
4. „Weißt du, ob ${}1$ oder ob ${}10$ größer ist?“
5. (nachdem die Lehrkraft zwei Mengen mit unterschiedlich vielen Plättchen hingelegt hat) „Welche der beiden Mengen ist größer?“

An welchem mathematischen Sachverhalt orientiert sich vermutlich die Lehrkraft bei den einzelnen Nachfragen?

Aufgabe

Es seien ${}S$ und ${}T$ endliche Mengen. Zeige, dass es genau dann eine injektive Abbildung ${}\psi \colon S\rightarrow T$ gibt, wenn ${}{\#\left(S\right)}\leq {\#\left(T\right)}$ gilt.

Aufgabe

Es seien ${}S$ und ${}T$ endliche Mengen. Es gebe zwei injektive Abbildungen ${}\psi \colon S\rightarrow T$ und ${}\varphi \colon T\rightarrow S$. Zeige, dass dann die beiden Mengen die gleiche Anzahl besitzen.

Aufgabe *

Winnetou und Old Shatterhand liegen nachts am Strand des Rio Pecos und halten ihre vom harten Tagesritt müden Füße in den Fluss. Dabei schauen sie in den Himmel und zählen Sternschnuppen. Winnetou sieht ${}117$ und Old Shatterhand sieht ${}94$ Sternschnuppen. Old Shatterhand sieht von den von Winnetou gesichteten Sternschnuppen ${}39$ nicht. Wie viele der Sternschnuppen, die von Old Shatterhand gesichtet wurden, sieht Winnetou nicht?

Aufgabe *

Professor Knopfloch kommt gelegentlich mit verschiedenen Socken und/oder mit verschiedenen Schuhen in die Universität. Er legt folgende Definitionen fest.

1. Ein Tag heißt sockenzerstreut, wenn er verschiedene Socken anhat.
2. Ein Tag heißt schuhzerstreut, wenn er verschiedene Schuhe anhat.
3. Ein Tag heißt zerstreut, wenn er sockenzerstreut oder schuhzerstreut ist.
4. Ein Tag heißt total zerstreut, wenn er sowohl sockenzerstreut als auch schuhzerstreut ist.

a) Vom Jahr ${}2015$ weiß man, dass ${}17$ Tage sockenzerstreut und ${}11$ Tage schuhzerstreut waren. Wie viele Tage waren in diesem Jahr maximal zerstreut und wie viele Tage waren minimal zerstreut? Wie viele Tage waren in diesem Jahr maximal total zerstreut und wie viele Tage waren minimal total zerstreut?

b) Vom Jahr ${}2013$ weiß man, dass ${}270$ Tage sockenzerstreut und ${}120$ Tage schuhzerstreut waren. Wie viele Tage waren in diesem Jahr maximal zerstreut und wie viele Tage waren minimal total zerstreut?

c) Erstelle eine Formel, die die Anzahl der sockenzerstreuten, der schuhzerstreuten, der zerstreuten und der total zerstreuten Tage in einem Jahr miteinander in Verbindung bringt.

Aufgabe

Es seien ${}a\geq b$ natürliche Zahlen. Begründe, dass ${}a-b$ der ${}b$-te Vorgänger von ${}a$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}m$ eine natürlich Zahl. Zeige ${}m'-1=m$.

Aufgabe

Es seien ${}m\geq n$ natürliche Zahlen. Zeige, dass dann auch ${}m'\geq n'$ und dass

${}m'-n'=m-n\,$

gilt.

Aufgabe *

Berechne die Differenz mit Aufgabe 10.23

${|}{|}{|}{|}{|}{|}{|}-{|}{|}{|}{|}.$

Aufgabe *

Beweise die folgenden Eigenschaft für die Differenz zwischen natürlichen Zahlen.

1. Für natürliche Zahlen ${}a,b,c$ mit

   ${}a\geq b\,$

   ist

   ${}b+c+(a-b)=c+a\,.$

   Insbesondere ist ${}(a+c)-(b+c)=a-b$ und ${}(a+c)-(a-b)=b+c$.

2. Für natürliche Zahlen ${}a,b,c,d$ mit

   ${}a\geq b\,$

   und

   ${}c\geq d\,$

   ist

   ${}(a+c)-(b+d)=(a-b)+(c-d)\,.$

   Insbesondere ist bei ${}a\geq b$ stets ${}(a+c)-b=(a-b)+c$.

3. Bei

   ${}b+c\geq a\geq b\,$

   ist ${}c\geq a-b$ und es ist

   ${}c-(a-b)=(c+b)-a\,.$

Aufgabe *

Es seien ${}a,b,c$ natürliche Zahlen mit ${}a,b\geq c$. Zeige

${}(a-c)+b=a+(b-c)\,.$

Gilt

${}(8-5)+3=8+(3-5)\,$

in ${}\mathbb {N}$?

Aufgabe

Es seien ${}a,b,c$ natürliche Zahlen mit ${}a\leq b\leq c$. Zeige

${}c-b\leq c-a\,.$

Aufgabe *

Es seien ${}a,b,c$ natürliche Zahlen mit ${}a\geq b$ und ${}a-b\geq c$. Zeige, dass dann ${}a\geq b+c$ ist und dass

${}(a-b)-c=a-(b+c)\,$

ist.

Aufgabe

Es seien ${}a,b,c$ natürliche Zahlen mit ${}a\geq b+c$. Zeige, dass dann ${}a\geq b$ und ${}a-b\geq c$ gilt, und dass

${}(a-b)-c=a-(b+c)\,$

ist.

Aufgabe *

Es seien ${}a,b,c,d$ natürliche Zahlen mit

${}a+b=c+d\,.$

Es sei ${}a\geq c$. Zeige, dass dann ${}d\geq b$ ist und dass

${}a-c=d-b\,$

gilt.

Aufgabe *

Es seien ${}a,b,c,d$ natürliche Zahlen mit ${}a\geq b$ und ${}c\geq d$.

1. Zeige

   ${}ac+bd\geq bc+ad\,.$

2. Zeige (in ${}\mathbb {N}$)

   ${}(a-b)\cdot (c-d)=ac+bd-(bc+ad)\,.$

Aufgabe

Wir haben schon mehrfach Beziehungen zwischen mengentheoretischen Operationen und arithmetischen Operationen hergestellt, siehe Satz 8.14, Satz 9.6, Aufgabe 9.30, Satz 10.13. Gibt es sowas auch für den Durchschnitt von endlichen Mengen?

Aufgabe

Wir zählen

${\text{ heute}},\,{\text{ morgen}},\,{\text{ übermorgen}},\,{\text{überübermorgen}},\,{\text{überüberübermorgen}},\ldots .$

Wir kennen zwar nur die Tage ab heute, wir kennen aber die Wörter

$\ldots {\text{ vorvorvorgestern}},\,{\text{ vorvorgestern}},\,{\text{ vorgestern}},\,{\text{ gestern}},$

(wenn sie sich letzlich auf einen Tag ab heute beziehen).

1. Bestimme gestern von morgen.
2. Bestimme vorvorgestern von überüberübermorgen.
3. Bestimme gestern von vorgestern von überüberüberübermorgen.
4. Ist vorgestern von morgen in diesem System benennbar?

Aufgabe *

Die offizielle Berechtigung für die Klausurteilnahme werde durch mindestens ${}200$ Punkte im Übungsbetrieb erworben. Professor Knopfloch sagt, dass es aber auf einen Punkt mehr oder weniger nicht ankomme. Zeige durch eine geeignete Induktion, dass man mit jeder Punkteanzahl zur Klausur zugelassen wird.

Aufgabe *

Anfang März beträgt die Zeitdifferenz zwischen Deutschland und Paraguay ${}4$ Stunden (in Paraguay wurde es ${}4$ Stunden später hell). Am 25. März 2018 wurde in Deutschland die Uhr von der Winterzeit auf die Sommerzeit umgestellt, die Uhr wurde also um eine Stunde nachts von ${}2$ auf ${}3$ vorgestellt. In der gleichen Nacht wurde die Uhr in Paraguay umgestellt. Wie groß war die Zeitdifferenz nach der Umstellung?

Aufgabe

Bringe die folgenden Berechnungen mit Lemma 10.14 in Verbindung.

1. In der ersten Halbzeit schießt Borussia Dortmund ${}3$ Tore mehr als Bayern München. In der zweiten Halbzeit schießt Borussia Dortmund ${}4$ Tore mehr als Bayern München. Wie viele Tore schießt Borussia Dortmund insgesamt mehr als Bayern München?
2. Mustafa Müller hat ${}7$ Fußballbildchen mehr als Heinz Ngolo. Beide bekommen ${}12$ neue hinzu. Was ist jetzt die Differenz?
3. Gestern hatte Mustafa Müller mindestens so viele Fußballbildchen wie Heinz Ngolo. Heute hat Heinz Geburtstag und bekommt neue Bildchen dazu, sodass er nun mindestens so viele Bildchen wie Mustafa hat. Wie lautet die neue Differenz, wenn man die alte Differenz und die Anzahl der geschenkten Bildchen kennt?

Für natürliche Zahlen ${}a,b$ setzt man

${}\vert {a-b}\vert :={\begin{cases}a-b,\,{\text{ falls }}a\geq b\,,\\b-a,\,{\text{ falls }}a<b\,,\end{cases}}\,$

und nennt dies den Differenzbetrag der beiden Zahlen.

Die Idee zu den folgenden Aufgaben stammt von http://jwilson.coe.uga.edu/emt725/Challenge/Challenge.html, siehe auch http://www.vier-zahlen.bplaced.net/raetsel.php .

Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung

$\Psi \colon \mathbb {N} ^{4}\longrightarrow \mathbb {N} ^{4},$

die einem Vierertupel ${}(a,b,c,d)$ das Vierertupel

$(\vert {b-a}\vert ,\vert {c-b}\vert ,\vert {d-c}\vert ,\vert {a-d}\vert )$

zuordnet. Es bezeichne ${}\Psi ^{n}$ die ${}n$-fache Hintereinanderschaltung von ${}\Psi$.

1. Berechne

   $\Psi (6,5,2,8),\,\Psi ^{2}(6,5,2,8),\,\Psi ^{3}(6,5,2,8),\,\Psi ^{4}(6,5,2,8)\,...,$

   bis das Ergebnis das Nulltupel ${}(0,0,0,0)$ ist.

2. Berechne

   $\Psi (1,10,100,1000),\,\Psi ^{2}(1,10,100,1000),\,\Psi ^{3}(1,10,100,1000),\,\Psi ^{4}(1,10,100,1000)\,...,$

   bis das Ergebnis das Nulltupel ${}(0,0,0,0)$ ist.

3. Zeige ${}\Psi ^{4}(0,0,n,0)=(0,0,0,0)$ für jedes ${}n\in \mathbb {N}$.

Aufgabe *

Wir betrachten die Abbildung

$\Psi \colon \mathbb {N} ^{4}\longrightarrow \mathbb {N} ^{4},$

die einem Vierertupel ${}(a,b,c,d)$ das Vierertupel

$(\vert {b-a}\vert ,\vert {c-b}\vert ,\vert {d-c}\vert ,\vert {a-d}\vert )$

zuordnet. Bestimme, ob ${}\Psi$ injektiv und ob ${}\Psi$ surjektiv ist.

Aufgabe *

Wir betrachten die Abbildung

$\Psi \colon \mathbb {N} ^{4}\longrightarrow \mathbb {N} ^{4},$

die einem Vierertupel ${}(a,b,c,d)$ das Vierertupel

$(\vert {b-a}\vert ,\vert {c-b}\vert ,\vert {d-c}\vert ,\vert {a-d}\vert )$

zuordnet. Zeige, dass sich bei jedem Starttupel ${}(a,b,c,d)$ nach endlich vielen Iterationen dieser Abbildung stets das Nulltupel ergibt.

Wir erinnern hier nochmal an Aufgabe 6.24.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)

Gabi Hochster findet Verknüpfungen toll und Relationen doof. Deshalb führt sie die Verknüpfung

$*\colon \mathbb {N} \times \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N}$

ein, mit der sie die Größergleichrelation ${}\geq$ auf den natürlichen Zahlen ausdrücken möchte. Sie definiert

${}m*n:={\begin{cases}0,\,{\text{ wenn }}m=n\,,\\1,\,{\text{ wenn }}m>n\,,\\2,\,{\text{ wenn }}m<n\,.\end{cases}}\,$

1. Ist die Verknüpfung ${}*$ kommutativ?
2. Berechne ${}(1*1)*0$ und ${}1*(1*0)$.
3. Ist die Verknüpfung ${}*$ assoziativ?

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass es keine Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N}$

gibt, die die folgende Eigenschaft erfüllt: Es ist ${}k\geq n$ genau dann, wenn ${}\varphi (k)\leq \varphi (n)$.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}M$ eine endliche Menge mit ${}m$ Elementen und es sei

$M\longrightarrow N$

eine surjektive Abbildung in eine weitere Menge ${}N$. Zeige, dass dann auch ${}N$ endlich ist, und dass für ihre Anzahl ${}n$ die Abschätzung

${}n\leq m\,$

gilt.

Die folgende Aussage verwendet, dass sich jede natürliche Zahl ${}n\geq 1$ eindeutig als Produkt ${}n=2^{k}u$ mit ${}k\in \mathbb {N}$ und ${}u\in \mathbb {N}$ ungerade schreiben lässt.

Aufgabe (5 (2+2+1) Punkte)

Wir definieren auf ${}\mathbb {N} _{+}$ eine neue Relation ${}R$ durch folgende Vorschrift: Für zwei Zahlen ${}n,m\in \mathbb {N} _{+}$ mit ${}n=2^{k}t$ und ${}m=2^{\ell }u$ mit ${}t,u$ ungerade sei

$nRm{\text{ falls }}t<u{\text{ gilt oder falls zugleich }}t=u{\text{ und }}k\leq \ell {\text{ gilt}}$

(rechts wird auf die natürliche Ordnung in ${}\mathbb {N}$ Bezug genommen).

1. Zeige, dass ${}R$ eine totale Ordnung auf ${}\mathbb {N} _{+}$ ergibt und beschreibe exemplarisch diese Ordnung.
2. Zeige, dass es zu jedem ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ ein wohldefiniertes Element ${}n^{\star }\in \mathbb {N} _{+}$, ${}n^{\star }\neq n$, derart gibt, dass ${}nRn^{\star }$ gilt und dass es zwischen ${}n$ und ${}n^{\star }$ keine weiteren Elemente gibt (diese Formulierung ist zu präzisieren).
3. Erfüllt die Menge ${}(\mathbb {N} _{+},1,\star )$ die Dedekind-Peano-Axiome?

Bei dieser Szene ruft Mustafa: „Nicht die Oma schlagen!“

Aufgabe (2 Punkte)

Das Kasperletheater „Le Caspère“ verfügt über fünfzehn Stuhlreihen mit jeweils zwölf Sitzen. Für eine Vorstellung sind die Reihen ${}3,4,5$ von der Klasse ${}1c$ schon besetzt. Ferner sind die erste und die letzte Reihe wegen Renovierung gesperrt. Die Sitze ganz links und ganz rechts will man wegen der eingeschränkten Sicht nicht anbieten. Wie viele Sitzplätze des Theaters kommen nicht in den freien Verkauf?

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}a,b$ natürliche Zahlen. Zeige

${}a^{2}+b^{2}\geq 2ab\,.$

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass mit der einzigen Ausnahme ${}n=3$ die Beziehung

${}2^{n}\geq n^{2}\,$

gilt.