Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 20/kontrolle

Die Pausenaufgabe

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es stehen zwei Eimer ohne Markierungen zur Verfügung, ferner eine Wasserquelle. Der eine Eimer hat ein Fassungsvermögen von ${}5$ und der andere ein Fassungsvermögen von ${}7$ Litern. Zeige, dass man allein durch Auffüllungen, Ausleerungen und Umschüttungen erreichen kann, dass in einem Eimer genau ein Liter Wasser enthalten ist.

Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Interpretiere das Lemma von Bezout als eine Lösungsaussage über eine Gleichung.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Finde eine Darstellung der ${}1$ für das Zahlenpaar ${}11$ und ${}13$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Man gebe eine Darstellung des ${}\operatorname {ggT}$ von ${}5$ und ${}7$ an. Wie viele solche Darstellungen gibt es?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Finde eine Darstellung der ${}1$ für die folgenden Zahlenpaare: ${}5$ und ${}7$; ${}20$ und ${}27$; ${}23$ und ${}157$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Die Wasserspedition „Alles im Eimer“ verfügt über ${}77$-, ${}91$- und ${}143$-Liter Eimer, die allerdings keine Markierungen haben. Sie erhält den Auftrag, insgesamt genau einen Liter Wasser von der Nordsee in die Ostsee zu transportieren. Wie kann sie den Auftrag erfüllen?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien ${}a$ und ${}b$ teilerfremde natürliche Zahlen. Es stehen beliebig viele Eimer ohne Markierungen zur Verfügung, deren Fassungsvermögen ${}a$ bzw. ${}b$ ist. Zeige, dass man allein durch Auffüllungen, Ausleerungen und Umschüttungen erreichen kann, dass in einem Eimer genau ein Liter Wasser enthalten ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es stehen zwei Eimer ohne Markierungen zur Verfügung, ferner eine Wasserquelle. Der eine Eimer hat ein Fassungsvermögen von ${}a$ und der andere ein Fassungsvermögen von ${}b$ Litern, wobei ${}a$ und ${}b$ teilerfremd seien. Zeige, dass man allein durch Auffüllungen, Ausleerungen und Umschüttungen erreichen kann, dass in einem Eimer genau ein Liter Wasser enthalten ist.

Aufgabe * Aufgabe 20.9 ändern

Zeige, dass es zu ganzen Zahlen ${}d,n$ mit ${}d>0$ eindeutig bestimmte ganze Zahlen ${}q,r$ mit ${}0\leq r<d$ und mit

${}n=dq+r\,$

gibt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien ${}n,d$ positive Zahlen und es sei

${}n=qd+r\,$

mit ${}q\in \mathbb {N}$ und ${}r$ zwischen ${}0$ und ${}d-1$. Wie erhält man daraus die Division mit Rest von ${}-n$ durch ${}d$?

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Zeige, dass es zu ganzen Zahlen ${}d,n$ mit ${}d>0$ eindeutig bestimmte ganze Zahlen ${}k,s$ mit

${}n=kd+s\,$

und mit

${}-{\frac {d}{2}}<s\leq {\frac {d}{2}}\,$

gibt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass für zwei ganze Zahlen ${}a,b\in \mathbb {Z}$ die folgenden Beziehungen äquivalent sind.

1. ${}a$ teilt ${}b$ (also ${}a{|}b$).
2. ${}b\in \mathbb {Z} a$.
3. ${}\mathbb {Z} b\subseteq \mathbb {Z} a$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Beweise das folgende Untergruppenkriterium. Eine nichtleere Teilmenge ${}H\subseteq G$ einer Gruppe ${}G$ ist genau dann eine Untergruppe, wenn gilt:

${\text{ für alle }}g,h\in H{\text{ ist }}gh^{-1}\in H.$

Aufgabe Aufgabe 20.14 ändern

Es sei ${}G$ eine Gruppe und es seien ${}H_{1}$ und ${}H_{2}$ Untergruppen von ${}G$. Zeige, dass der Durchschnitt

$H_{1}\cap H_{2}$

ebenfalls eine Untergruppe von ${}G$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien (beliebige viele) gemalte Pfeile der Länge ${}7$ und der Länge ${}12$ gegeben. Wie muss man die Pfeile hintereinanderlegen (wobei immer ein Pfeilende an der Pfeilspitze des Vorgängerpfeils anliegt), damit insgesamt ein Gesamtpfeil der Länge ${}-1$ entsteht?

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Auf einer Baustelle gibt es eine große Waage mit zwei Schalen und (beliebig viele) Gewichte der Schwere ${}12$ bzw. ${}50$ Kilogramm.

1. Erläutere, wie man damit sechs Kilogramm Sand abwiegen kann.
2. Bestimme, welche Massen man damit abwiegen kann.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Auf den ganzen Zahlen ${}\mathbb {Z}$ lebe eine Kolonie von Flöhen, und jeder Flohsprung geht fünf Einheiten weit (in beide Richtungen). Wie viele Flohpopulationen gibt es? Wie kann man einfach charakterisieren, ob zwei Flöhe zur gleichen Population gehören oder nicht?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme in ${}\mathbb {Z}$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von ${}5439$ und ${}3871$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme in ${}\mathbb {Z}$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von ${}2956$ und ${}2444$.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme in ${}\mathbb {Z}$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von ${}1085$ und ${}806$ und schreibe die beiden Zahlen als Vielfache des größten gemeinsamen Teilers.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

${}p\neq 2,5\,$

eine Primzahl. Zeige, dass es eine natürliche Zahl der Form (im Dezimalsystem)

$111\ldots 111$

gibt, die ein Vielfaches von ${}p$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Kaninchen werden bekanntlich immer zur Monatsmitte geboren, die Tragzeit beträgt einen Monat und die Geschlechtsreife erreichen sie im Alter von zwei Monaten. Jeder Wurf besteht aus genau einem Paar, und alle leben ewig.

Wir starten im Monat ${}1$ mit einem Paar, das einen Monat alt ist. Es sei ${}f_{n}$ die Anzahl der Kaninchenpaare im ${}n$-ten Monat, also ${}f_{1}=1$, ${}f_{2}=1$. Beweise durch Induktion die Rekursionsformel

${}f_{n+2}=f_{n+1}+f_{n}\,.$

Diese Zahlfolge nennt man die Folge der Fibonacci-Zahlen. Wie viele der ${}f_{n}$ Paare sind im ${}n$-ten Monat reproduktionsfähig?

Die Fibonacci-Zahlen sind somit ${}1,1,2,3,5,8,13,21,34,\ldots$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Wende auf zwei aufeinander folgende Fibonacci-Zahlen den euklidischen Algorithmus an. Welche Gesetzmäßigkeit tritt auf?

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Beweise durch Induktion die Simpson-Formel oder Simpson-Identität für die Fibonacci-Zahlen ${}f_{n}$. Sie besagt (für $n\geq 2$)

${}f_{n+1}f_{n-1}-f_{n}^{2}=(-1)^{n}\,.$

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme in ${}\mathbb {Z}$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von ${}1983$ und ${}1528$.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von ${}4199,2431$ und ${}3553$, sowie eine Darstellung desselben als eine Linearkombination der gegebenen Zahlen.

Aufgabe (2 Punkte)Aufgabe 20.27 ändern

Es seien ${}a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k}$ ganze Zahlen. Zeige, dass die Menge

${}H:={\left\{n_{1}a_{1}+n_{2}a_{2}+\cdots +n_{k}a_{k}\mid n_{j}\in \mathbb {Z} \right\}}\,$

eine Untergruppe von ${}\mathbb {Z}$ ist.

Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien ${}a,b$ teilerfremde natürliche Zahlen. Zeige, dass jede natürliche Zahl

${}n\geq ab\,$

eine Darstellung

${}n=xa+yb\,$

mit ${}x,y\in \mathbb {N}$ besitzt.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Alle Flöhe leben auf einem unendlichen Zentimeter-Band. Ein Flohmännchen springt bei jedem Sprung ${}78$ cm und die deutlich kräftigeren Flohweibchen springen mit jedem Sprung ${}126$ cm. Die Flohmännchen Florian, Flöhchen und Carlo sitzen in den Positionen ${}-123,55$ und ${}-49$. Die Flohweibchen Flora und Florentina sitzen in Position ${}17$ bzw. ${}109$. Welche Flöhe können sich treffen?

Aufgabe (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten eine digitale Uhr, die ${}24$ Stunden, ${}60$ Minuten und ${}60$ Sekunden anzeigt. Zur Karnevalszeit läuft sie aber nicht in Sekundenschritten, sondern addiert, ausgehend von der Nullstellung, in jedem Zählschritt immer ${}11$ Stunden, ${}11$ Minuten und ${}11$ Sekunden dazu. Wird bei dieser Zählweise jede mögliche digitale Anzeige erreicht? Nach wie vielen Schritten kehrt zum ersten Mal die Nullstellung zurück?