Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 23

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Löse in ${}\mathbb {Q}$ die Gleichung

${}{\frac {2}{3}}x-{\frac {1}{5}}={\frac {3}{2}}-{\frac {1}{4}}x\,.$

Übungsaufgaben

Aufgabe

Artikuliere die beiden folgenden Brüche mit „tel“

1. ${}{\frac {500}{19}}$,
2. ${}{\frac {509}{10}}$.

Aufgabe

Sind die beiden rationalen Zahlen

${\frac {25746}{32987}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\frac {47556}{60931}}$

gleich oder verschieden?

Aufgabe

Finde die gekürzte Darstellung für den Bruch

${\frac {1517}{1591}}.$

Aufgabe

Finde die gekürzte Darstellung (ausgerechnet) für den Bruch

${\frac {2^{4}\cdot 3^{4}\cdot 5^{3}\cdot 151}{2^{7}\cdot 3^{2}\cdot 5^{4}\cdot 7^{2}\cdot 151^{2}}}.$

Aufgabe

Bestimme die Darstellung der Zahlen

${\frac {41}{125}},\,-{\frac {91}{350}},\,{\frac {69}{222}},\,$

mit dem kleinstmöglichen Hauptnenner.

Aufgabe *

Im Bruch

${\frac {{|}{|}{|}{|}{|}{|}{|}{|}{|}}{{|}{|}{|}{|}{|}{|}{|}{|}{|}{|}{|}{|}}}$

sind Zähler und Nenner im Strichsystem angegeben. Man gebe die entsprechende gekürzte Darstellung an.

Aufgabe

Rechne den im Fünfersystem gegebenen Bruch

${\frac {214}{303}}$

in das Zehnersystem um.

Aufgabe

Rechne den Bruch

${\frac {219}{95}}$

in das Dreiersystem um.

Aufgabe *

Berechne im Vierersystem

${\frac {321}{203}}+{\frac {131}{301}}$

(das Ergebnis muss nicht gekürzt sein).

Aufgabe

Addiere die ersten fünf Stammbrüche.

Aufgabe

Zeige, dass die Gleichung

${}{\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}=1\,$

nur die einzige ganzzahlige Lösung ${}(a,b)=(2,2)$ besitzt.

Aufgabe

Bestimme die Lösungen der Gleichung

${}{\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}=1\,$

mit ${}a,b,c\in \mathbb {N}$.

Eine natürliche Zahl ${}n$ heißt vollkommen, wenn sie mit der Summe all ihrer von ${}n$ verschiedenen Teiler übereinstimmt.

Aufgabe

1. Zeige

   ${}{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{6}}=1\,.$

2. Zeige

   ${}{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{14}}+{\frac {1}{28}}=1\,.$

Aufgabe

Es sei ${}n$ eine vollkommene Zahl. Zeige, dass

${}\sum _{k\neq 1,\,k{\text{ Teiler von }}n}{\frac {1}{k}}=1\,.$

Aufgabe

Welche Modelle (Veranschaulichungen, inhaltliche Interpretationen) kennen Sie für die rationalen Zahlen? Vermittelt das Modell eine sinnvolle Größenvorstellung der rationalen Zahlen, lassen sich im Modell sowohl die Addition als auch die Multiplikation sinnvoll interpretieren?

Aufgabe

Es sei eine Menge von Zahnrädern unterschiedlicher Größe (Zackenanzahl) gegeben, die zueinander passen (Zackengröße und Zackenabstände seien also so, dass die Zahnräder miteinander verkoppelt werden können). Inwiefern stellen zwei miteinander verbundene Zahnräder einen proportionalen Zusammenhang dar? Inwiefern eine rationale Zahl? Wie kann man die Hintereinanderschaltung von drei Zahnrädern mit rationalen Zahlen interpretieren? Kann man eine solche Hintereinanderschaltung (abgesehen vom Drehsinn) durch zwei Zahnräder realisieren?

Aufgabe

Lucy Sonnenschein legt mit ihrem Fahrrad ${}15$ Meter pro ${}2$ Sekunden zurück, ihre Schwester Veronika ${}20$ Meter pro ${}3$ Sekunden. Besitzt die Summe bzw. das Produkt der beiden Geschwindigkeiten eine sinnvolle inhaltliche Interpretation?

Aufgabe

Finde physikalische Interpretationen, die die Multiplikation von rationalen Zahlen widerspiegeln. Was passiert dabei mit den Einheiten? (Beispiel: Geschwindigkeit mal Benzinverbrauch pro Streckeneinheit ist Benzinverbrauch pro Zeiteinheit).

Aufgabe

Zeige, dass die natürliche Abbildung

$\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Q} ,\,n\longmapsto {\frac {n}{1}},$

injektiv ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Multiplikation von rationalen Zahlen wohldefiniert ist.

Aufgabe

Man gebe die Antworten als Bruch (bezogen auf das angegebene Vergleichsmaß): Um wie viel ist eine Dreiviertelstunde länger als eine halbe Stunde, und um wie viel ist eine halbe Stunde kürzer als eine Dreiviertelstunde?

Aufgabe

Man erläutere die Uhrzeitangaben „halb fünf“, „viertel fünf“, „drei viertel fünf“. Was würde „ein sechstel fünf“ und „drei siebtel fünf“ bedeuten?

Aufgabe

Berechne

$3^{2}\cdot 5^{-1}\cdot 7^{-2}+2^{-4}\cdot 5^{-2}\cdot 7.$

Aufgabe

Berechne

${\frac {\,\,\,\,{\frac {-7}{11}}\,\,\,\,}{\,\,\,\,{\frac {13}{-9}}\,\,\,\,}}.$

Aufgabe

Beweise durch Induktion die folgende Formel.

${}1+\sum _{i=1}^{n}{\frac {2^{2(i-1)}}{3^{i}}}={\left({\frac {4}{3}}\right)}^{n}\,.$

Aufgabe

Löse in ${}\mathbb {Q}$ die Gleichung

${}{\frac {7}{11}}+x={\frac {5}{9}}\,.$

Aufgabe

Löse in ${}\mathbb {Q}$ die Gleichung

${}{\frac {3}{5}}x-{\frac {2}{7}}={\frac {4}{3}}-{\frac {5}{6}}x+{\frac {1}{2}}x\,.$

Aufgabe *

Zwei Personen, ${}A$ und ${}B$, liegen unter einer Palme, ${}A$ besitzt ${}2$ Fladenbrote und ${}B$ besitzt ${}3$ Fladenbrote. Eine dritte Person ${}C$ kommt hinzu, die kein Fladenbrot besitzt, aber ${}5$ Taler. Die drei Personen werden sich einig, für die ${}5$ Taler die Fladenbrote untereinander gleichmäßig aufzuteilen. Wie viele Taler gibt ${}C$ an ${}A$ und an ${}B$?

Aufgabe

Lucy Sonnenschein fährt fünf Stunden lang Fahrrad. In den ersten zwei Stunden schafft sie ${}30$ km und in den folgenden drei Stunden schafft sie auch ${}30$ km. Was ist insgesamt ihre Durchschnittsgeschwindigkeit?

Aufgabe *

Es soll Holz unterschiedlicher Länge (ohne Abfall) in Stücke zerlegt werden, die zwischen ${}30$ und ${}40$ cm lang sein sollen (jeweils einschließlich). Für welche Holzlängen ist dies möglich?

Aufgabe *

Ein Metallarbeiter hat zwei Metallstäbe zur Verfügung. Wenn er den kleinen siebenmal hintereinanderlegt, erhält er genau drei Meter. Wenn er den großen achtmal hintereinanderlegt, erhält er genau fünf Meter.

1. Wie kann er allein mit diesen Stäben eine Länge von einem Meter bestimmen?
2. Was ist die kleinste positive Strecke, die er mit den Stäben messen kann?
3. Welche Streckenlängen kann er mit seinen beiden Metallstäben messen?

Aufgabe *

Zwei Schwimmer, ${}A$ und ${}B$, schwimmen auf einer ${}50$-Meter-Bahn einen Kilometer lang. Schwimmer ${}A$ schwimmt ${}3m/s$ (das ist besser als der Weltrekord) und Schwimmer ${}B$ schwimmt ${}2m/s$.

1. Erstelle in einem Diagramm für beide Schwimmer den Graphen der jeweiligen Abbildung, die für die Zeit zwischen ${}0$ und ${}100$ Sekunden angibt, wie weit der Schwimmer von der Startlinie zu diesem Zeitpunkt (wirklich, also unter Berücksichtigung der Wenden) entfernt ist.
2. Wie weit von der Startlinie entfernt befindet sich Schwimmer ${}A$ (und Schwimmer ${}B$) nach ${}30$ Sekunden?
3. Nach wie vielen Sekunden begegnen sich die beiden Schwimmer zum ersten Mal (abgesehen vom Start)?
4. Wie oft begegnen sich die beiden Schwimmer (Start mitzählen)?
5. Wie oft überrundet Schwimmer ${}A$ den Schwimmer ${}B$?

Aufgabe

Eine Gitarrensaite schwingt beim Ton c ca. ${}131$ mal pro Sekunde hin und her (also ${}131$ Hertz). Wie oft schwingt die Große Septime dazu pro Sekunde? Wie oft schwingt die Quarte zu c pro Minute?

Aufgabe

Der Preis für eine Maß Bier auf der Münchner Wiesn steht zum Vorjahrespreis im Verhältnis ${}14:13$. In welchem Verhältnis steht der heutige Preis zum Preis von vor zehn Jahren?

Aufgabe

Zeige, dass es ganze Zahlen ${}a,b$ derart gibt, dass

${}{\frac {1}{100}}=a{\frac {1}{4}}+b{\frac {1}{25}}\,$

gilt. Finde solche Zahlen.

Aufgabe

Finde ganze Zahlen ${}a,b$ derart, dass

${}{\frac {1}{15}}=a{\frac {1}{3}}+b{\frac {1}{5}}\,$

gilt.

Aufgabe *

Es seien ${}a,b$ positive natürliche Zahlen. Die Summe der Stammbrüche ist dann

${}{\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}={\frac {b+a}{ab}}\,.$

1. Zeige, dass bei ${}a,b$ teilerfremd diese Darstellung gekürzt ist.
2. Zeige, dass im Allgemeinen diese Darstellung nicht gekürzt sein muss.

Aufgabe *

Beweise die Nichtnullteilereigenschaft für einen Körper ${}K$.

Aufgabe

Zeige direkt, dass für rationale Zahlen ${}{\frac {a}{b}}$ und ${}{\frac {c}{d}}$ das Produkt nur dann ${}0$ sein kann, wenn eine der Zahlen ${}0$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper. Zeige, dass man jeder natürlichen Zahl ${}n\in \mathbb {N}$ ein Körperelement ${}n_{K}$ zuordnen kann, derart, dass ${}0_{K}$ das Nullelement in ${}K$ und ${}1_{K}$ das Einselement in ${}K$ ist und dass

${}(n+1)_{K}=n_{K}+1_{K}\,$

gilt. Zeige, dass diese Zuordnung die Eigenschaften

$(n+m)_{K}=n_{K}+m_{K}{\text{ und }}(nm)_{K}=n_{K}\cdot m_{K}$

besitzt.

Erweitere diese Zuordnung auf die ganzen Zahlen ${}\mathbb {Z}$ und zeige, dass die angeführten strukturellen Eigenschaften ebenfalls gelten.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}a,b\neq 0$ Elemente aus ${}K$. Beweise die folgenden Potenzgesetze für ganzzahlige Exponenten ${}m,n\in \mathbb {Z}$. Dabei darf man die entsprechenden Gesetze für Exponenten aus ${}\mathbb {N}$ sowie die Tatsachen, dass das Inverse des Inversen wieder das Ausgangselement ist und dass das Inverse von ${}u^{k}$ gleich ${}{\left(u^{-1}\right)}^{k}$ ist, verwenden.

1. ${}a^{m+n}=a^{m}\cdot a^{n}\,.$

2. ${}{\left(a^{m}\right)}^{n}=a^{mn}\,.$

3. ${}(a\cdot b)^{n}=a^{n}\cdot b^{n}\,.$

Aufgabe *

Zeige, dass jede rationale Zahl ${}z\neq 0$ eine eindeutige Darstellung der Form

${}z=\pm \prod _{p}p^{\nu _{p}(z)}\,$

besitzt, wobei das (endliche) Produkt sich über Primzahlen erstreckt und die Exponenten ${}{\nu _{p}(z)}\in \mathbb {Z}$ sind.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Finde die gekürzte Darstellung von

${\frac {8586305}{7190755}}.$

Aufgabe (2 Punkte)

Eine lineare Funktion

$\varphi \colon \mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {Q}$

hat an der Stelle ${}{\frac {11}{13}}$ den Wert ${}{\frac {7}{17}}$. Welchen Wert hat sie an der Stelle ${}{\frac {3}{19}}$?

Aufgabe (3 (1+2) Punkte)

Zum Geburtstag von Mustafa hat Oma Müller drei Kuchen gebacken. Die Kuchen wurden schon gerecht auf die erwarteten sieben Kinder (Mustafa eingeschlossen) aufgeteilt. Alle Kinder kommen, allerdings bringt Lucy noch ihre Schwester Veronika und Heinz bringt Carmen und Conchita mit.

1. Freunde mitbringen ist kein Problem, allerdings muss man diese vom eigenen Kuchenanteil mitversorgen. Welchen Anteil an Kuchen bekommt Veronika und welchen Anteil Carmen, wenn Lucy bzw. Heinz fair teilt?
2. Freunde mitbringen ist kein Problem, da wird halt nochmal völlig neu und gerecht aufgeteilt. Welchen Kuchenanteil bekommt jedes Kind? Welchen Anteil von seinem eigentlichen Anteil muss Heinz abgegeben?

Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten eine Uhr mit Stunden- und Minutenzeiger. Es ist jetzt 6 Uhr, sodass die beiden Zeiger direkt gegenüber stehen. Um wie viel Uhr stehen die beiden Zeiger zum nächsten Mal direkt gegenüber?

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die „Rechenregel“

${}{\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {a+c}{b+d}}\,$

bei ${}a,c\in \mathbb {N} _{+}$ (und ${}b,d,b+d\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}$) niemals gilt. Man gebe ein Beispiel mit ${}a,b,c,d,b+d\neq 0$, wo diese Regel gilt.

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}p$ und ${}q$ verschiedene Primzahlen. Zeige, dass es ganze Zahlen ${}a,b$ derart gibt, dass

${}{\frac {1}{pq}}=a{\frac {1}{p}}+b{\frac {1}{q}}\,$

gilt.