Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 24

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Ordne die folgenden rationalen Zahlen gemäß ihrer Größe.

$2,\,{\left({\frac {5}{3}}\right)}^{2},\,4,\,5-{\frac {11}{12}},\,3+{\frac {11}{10}},\,{\frac {7}{3}}\cdot {\frac {5}{3}},\,{\frac {21}{12}}+{\frac {19}{9}},\,{\frac {407}{100}},\,3,\,{\frac {15}{4}}.$

Übungsaufgaben

Aufgabe *

Bestimme, welche der beiden rationalen Zahlen ${}p$ und ${}q$ größer ist.

$p={\frac {573}{-1234}}{\text{ und }}q={\frac {-2007}{4322}}.$

Aufgabe

Man gebe fünf rationale Zahlen an, die (echt) zwischen ${}{\frac {3}{8}}$ und ${}{\frac {7}{8}}$ liegen.

Aufgabe

Warum braucht man in der Definition 24.1 die Bedingung, dass beide Nenner positiv sind?

Aufgabe *

Unterteile die Strecke von ${}{\frac {2}{7}}$ nach ${}{\frac {3}{4}}$ rechnerisch in drei gleichlange Strecken.

Aufgabe *

Es stehen zwei Gläser auf einem Tisch, wobei das eine mit Rotwein und das andere mit Weißwein gefüllt ist, und zwar gleichermaßen. Nun wird ein kleineres leeres Glas (ein Fingerhut oder ein Schnapsglas) in das Rotweinglas voll eingetaucht und der Inhalt in das Weißweinglas überführt und dort gleichmäßig vermischt (insbesondere gibt es Platz für diese Hinzugabe). Danach wird das kleinere Glas in das Weißweinglas voll eingetaucht und der Inhalt in das Rotweinglas überführt. Befindet sich zum Schluss im Rotweinglas mehr Rotwein als im Weißweinglas Weißwein?

Aufgabe *

Eine Bahncard ${}25$, mit der man ein Jahr lang ${}25$ Prozent des Normalpreises einspart, kostet ${}62$ Euro und eine Bahncard ${}50$, mit der man ein Jahr lang ${}50$ Prozent des Normalpreises einspart, kostet ${}255$ Euro. Für welchen Jahresgesamtnormalpreis ist keine Bahncard, die Bahncard ${}25$ oder die Bahncard ${}50$ die günstigste Option?

Aufgabe *

Zwei Fahrradfahrer, ${}A$ und ${}B$, fahren auf ihren Fahrrädern eine Straße entlang. Fahrer ${}A$ macht pro Minute ${}40$ Pedalumdrehungen, hat eine Übersetzung von Pedal zu Hinterrad von ${}1$ zu ${}6$ und Reifen mit einem Radius von ${}39$ Zentimetern. Fahrer ${}B$ braucht für eine Pedaldrehung ${}2$ Sekunden, hat eine Übersetzung von ${}1$ zu ${}7$ und Reifen mit einem Radius von ${}45$ Zentimetern.

Wer fährt schneller?

Aufgabe *

Wir wollen (ohne den Strahlensatz zu benutzen) begründen, dass die geometrische Multiplikation von rationalen Zahlen auf dem Zahlenstrahl korrekt ist, also mit der algebraisch eingeführten Multiplikation übereinstimmt. Wir beschränken uns auf positive rationale Zahlen und bezeichnen die geometrische Multiplikation mit ${}\star$.

1. Zeige, dass für positive natürliche Zahlen ${}n$ und rationale Zahlen ${}x$ die Gleichheit

   ${}n\star x=nx\,$

   gilt.

2. Zeige, dass für positive natürliche Zahlen ${}n$ und rationale Zahlen ${}x,y$ die Gleichheit

   ${}{\left(nx\right)}\star y=n{\left(x\star y\right)}\,$

   gilt.

3. Zeige, dass generell für rationale Zahlen ${}x,y$ die Gleichheit

   ${}x\star y=xy\,$

   gilt.

Aufgabe *

Der Flächeninhalt eines Quadrates mit Seitenlänge ${}1$ (das Einheitsquadrat) wird als ${}1$ festgelegt.

1. Begründe, dass ein Rechteck, dessen Seitenlängen ${}a,b\in \mathbb {N}$ sind, den Flächeninhalt ${}ab$ besitzt. Welche naheliegenden Gesetzmäßigkeiten für den Flächeninhalt werden dabei verwendet?
2. Begründe, dass ein Rechteck, dessen Seitenlängen ${}x,y\in \mathbb {Q} _{+}$ sind, den Flächeninhalt ${}xy$ besitzt.

Das folgende Konzept reicht historisch weiter zurück als das der rationalen Zahlen.

Zwei Strecken ${}s$ und ${}t$ heißen kommensurabel, wenn es eine Strecke ${}g$ mit der Eigenschaft gibt, dass beide Strecken ganzzahlige Vielfache von ${}g$ sind.

Aufgabe

Zeige, dass zwei Strecken ${}a$ und ${}b$ genau dann kommensurabel sind, wenn es eine Strecke ${}v$ mit der Eigenschaft gibt, dass ${}v$ von beiden Strecken ein ganzzahliges Vielfaches ist.

Aufgabe

Es sei ${}a\neq 0$ ein rationale Zahl auf der Zahlengeraden. Zeige, dass ${}a$ zu einem weiteren Punkt ${}b\neq 0$ genau dann kommensurabel ist, wenn ${}b$ ebenfalls rational ist.

Im Stern-Brocot-Baum ergeben sich die gekürzten positiven Brüche, indem man zwei je in der ${}x$-Richtung benachbarte Brüche „falsch“ addiert, nämlich ${}{\frac {a}{b}}\oplus {\frac {c}{d}}={\frac {a+c}{b+d}}$ rechnet, und in die darüberliegende Zeile dazwischen platziert. An der Links-Rechtsausrichtung kann man die Größenverhältnisse ablesen.

Aufgabe

Gabi Hochster hat die Addition und die Multiplikation der rationalen Zahlen verstanden und möchte jetzt die Operation verstehen, bei der man

${}{\frac {a}{b}}\oplus {\frac {c}{d}}:={\frac {a+c}{b+d}}\,$

setzt. Sie beschränkt sich auf positive ${}a,b,c,d$. Überprüfe ihre Behauptungen:

1. Bei

   ${}{\frac {a}{b}}\leq {\frac {c}{d}}\,$

   gilt

   ${}{\frac {a}{b}}\leq {\frac {a+c}{b+d}}\leq {\frac {c}{d}}\,.$

   Dies kann man algebraisch und geometrisch beweisen.

2. Die Verknüpfung ist für rationale Zahlen nicht wohldefiniert.
3. Wenn man für rationale Zahlen stets ihre teilerfremde Darstellung nimmt, so ist die Verknüpfung wohldefiniert.
4. Die Verknüpfung ist kommutativ.
5. Die Verknüpfung ist nicht assoziativ.

Die in der vorstehenden Aufgabe eingeführte Verknüpfung auf den Bruchzahlen nennt man Mediant-Addition.

Aufgabe

Man finde sinnvolle Interpretationen für die Mediant-Addition

${}{\frac {a}{b}}\oplus {\frac {c}{d}}:={\frac {a+c}{b+d}}\,$

auf den Bruchzahlen. Man betrachte beispielsweise Aufgabe 23.30.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}x>0$. Zeige, dass auch das inverse Element ${}x^{-1}$ positiv ist.

Man folgere daraus, dass die positiven Elemente in einem angeordneten Körper bezüglich der Multiplikation eine Gruppe bilden.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}x<0$. Zeige, dass auch das inverse Element ${}x^{-1}$ negativ ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}x\geq 1$. Zeige, dass für das inverse Element ${}x^{-1}\leq 1$ gilt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}x>y>0$. Zeige, dass für die inversen Elemente ${}x^{-1}<y^{-1}$ gilt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und seien ${}x,y$ positive Elemente. Zeige, dass ${}x\geq y$ zu ${}{\frac {x}{y}}\geq 1$ äquivalent ist.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}b\in K$, ${}b>1$. Zeige, dass es dann Elemente ${}c,d>1$ mit ${}b=cd$ gibt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, bei dem eine Teilmenge ${}P\subseteq K$ ausgezeichnet sei, die den folgenden Bedingungen genügt.

1. Für ${}x\in K$ ist entweder ${}x\in P$ oder ${}-x\in P$ oder ${}x=0$.
2. Aus ${}x,y\in P$ folgt ${}x+y\in P$.
3. Aus ${}x,y\in P$ folgt ${}x\cdot y\in P$.

Zeige, dass durch die Festlegung

$x\geq y{\text{ genau dann, wenn }}x=y{\text{ oder }}x-y\in P$

ein angeordneter Körper entsteht.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Zeige, dass für ${}x\geq 3$ die Beziehung

${}x^{2}+(x+1)^{2}\geq (x+2)^{2}\,$

gilt.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und seien ${}a>b>0$ Elemente aus ${}K$. Zeige

${}{\frac {1}{a-b}}+{\frac {1}{a+b}}\geq {\frac {2}{a}}\,.$

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Zeige, dass die in Aufgabe 23.41 eingeführte Abbildung

$\mathbb {Z} \longrightarrow K,\,n\longmapsto n_{K},$

injektiv ist.

Aufgabe

Zeige die Abschätzung

${}n!\leq {\left({\frac {n+1}{2}}\right)}^{n}\,$

für ${}n\in \mathbb {N} _{+}$.

Aufgabe *

Bestimme die ganzzahligen Lösungen ${}x\neq 0$ der Ungleichung

${}{\frac {\,\,{\frac {3}{x}}\,\,}{\,\,{\frac {-7}{4}}\,\,}}>-1\,.$

Aufgabe

Beweise die folgenden Eigenschaften für die Betragsfunktion

$K\longrightarrow K,\,x\longmapsto \vert {x}\vert ,$

in einem angeordneten Körper (dabei seien ${}x,y$ beliebige Elemente in ${}K$).

1. Es ist ${}\vert {x}\vert \geq 0$.
2. Es ist ${}\vert {x}\vert =0$ genau dann, wenn ${}x=0$ ist.
3. Es ist ${}\vert {x}\vert =\vert {y}\vert$ genau dann, wenn ${}x=y$ oder ${}x=-y$ ist.
4. Es ist ${}\vert {y-x}\vert =\vert {x-y}\vert$.
5. Es ist ${}\vert {xy}\vert =\vert {x}\vert \vert {y}\vert$.
6. Für ${}x\neq 0$ ist ${}\vert {x^{-1}}\vert =\vert {x}\vert ^{-1}$.
7. Es ist ${}\vert {x+y}\vert \leq \vert {x}\vert +\vert {y}\vert$ (Dreiecksungleichung für den Betrag).
8. Es ist ${}\vert {x+y}\vert \geq \vert {x}\vert -\vert {y}\vert$.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Zeige, dass für ${}x,y\in K$ die Identität

${}\operatorname {max} (x,y)={\frac {1}{2}}{\left(x+y+\vert {x-y}\vert \right)}\,$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Man untersuche die Verknüpfung

$K\times K\longrightarrow K,\,(x,y)\longmapsto \operatorname {min} \,(x,y),$

auf Assoziativität, Kommutativität, die Existenz von einem neutralen Element und die Existenz von inversen Elementen.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und es seien ${}x<y$ Elemente in ${}K$. Zeige, dass für das arithmetische Mittel ${}{\frac {x+y}{2}}$ die Beziehung

${}x<{\frac {x+y}{2}}<y\,$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper mit ${}2=1+1\neq 0$. Zeige, dass die Verknüpfung, die zwei Elementen ${}a$ und ${}b$ ihr arithmetisches Mittel ${}{\frac {a+b}{2}}$ zuordnet, nicht assoziativ ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Zeige, dass für jedes ${}x>0$ die Ungleichung ${}x+{\frac {1}{x}}\geq 2$ erfüllt ist. Für welche ${}x$ gilt Gleichheit?

Aufgabe

Zeige die Abschätzung

${}2n^{n}\leq (n+1)^{n}\,$

für ${}n\in \mathbb {N} _{+}$.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}x\in K$ mit ${}0\leq x\leq {\frac {1}{2}}$. Zeige, dass für alle ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ die Abschätzung

${}1+x+x^{2}+\cdots +x^{n}\leq 2\,$

gilt.

Aufgabe

Bestimme die kleinste reelle Zahl, für die die Bernoullische Ungleichung zum Exponenten ${}n=3$ gilt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die Größergleichrelation auf den rationalen Zahlen eine totale Ordnung ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme, welche der beiden rationalen Zahlen ${}p$ und ${}q$ größer ist.

$p={\frac {-5549}{11092}}{\text{ und }}q={\frac {3615}{-7173}}.$

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige die Abschätzung

${}{\binom {d+n}{n}}\geq {\left({\frac {d}{n}}\right)}^{n}\,.$

Aufgabe (4 (1+3) Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Betrachte die in Aufgabe 23.41 konstruierte Zuordnung ${}\mathbb {Z} \rightarrow K$.

a) Zeige, dass diese Zuordnung injektiv ist.

b) Zeige, dass man diese Zuordnung zu einer injektiven Abbildung ${}\mathbb {Q} \rightarrow K$ fortsetzen kann, und zwar derart, dass die Verknüpfungen in ${}\mathbb {Q}$ mit den Verknüpfungen in ${}K$ übereinstimmen und die Ordnung auf ${}\mathbb {Q}$ mit der Ordnung auf ${}K$ übereinstimmt.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und seien ${}x_{1},\ldots ,x_{n}\in K$ Elemente. Zeige, dass dann

${}\vert {\sum _{i=1}^{n}x_{i}}\vert \leq \sum _{i=1}^{n}\vert {x_{i}}\vert \,$

gilt.

Aufgabe (3 Punkte)

Ergänze den Stern-Brocot-Baum um eine weitere Zeile.