Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 23/latex

\setcounter{section}{23}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{\zeta \in {\mathbb C}}{} eine $n$-te \definitionsverweis {primitive Einheitswurzel}{}{.} Zeige, dass die zyklische Gruppe
\mathdisp {Z_n = { \left\{ \begin{pmatrix} \zeta^{j} & 0 \\ 0 & \zeta^{-j} \end{pmatrix} \mid j = 0 , \ldots , n-1 \right\} } \subseteq \operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( {\mathbb C} \right) }} { }
auf der Punktmenge
\mathdisp {{ \left\{ \begin{pmatrix} \zeta^{j} \\ \zeta^{-j} \end{pmatrix} \mid j =0 , \ldots , n-1 \right\} }} { }
\definitionsverweis {treu operiert}{}{,} dass sie bei $n$ ungerade auf der Geradenmenge
\mathdisp {{ \left\{ \langle \begin{pmatrix} \zeta^{j} \\ \zeta^{-j} \end{pmatrix} \rangle \mid j =0 , \ldots , n-1 \right\} }} { }
ebenfalls treu operiert und dass sie bei $n$ gerade auf der Geradenmenge
\mathdisp {{ \left\{ \langle \begin{pmatrix} \zeta^{j} \\ \zeta^{-j} \end{pmatrix} \rangle \mid j =0 , \ldots , { \frac{ n }{ 2 } }-1 \right\} }} { }
operiert, aber nicht treu. Was ist in diesem Fall der \definitionsverweis {Kern der Operation}{}{?}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {binäre Diedergruppe}{}{}
\mathl{BD_1}{} eine \definitionsverweis {zyklische Gruppe}{}{} der \definitionsverweis {Ordnung}{}{} $4$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die \definitionsverweis {binäre Diedergruppe}{}{}
\mathl{BD_n}{.} Zeige, dass bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \geq }{3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{B }
{ =} {\begin{pmatrix} 0 & { \mathrm i} \\ { \mathrm i} & 0 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} erzeugte Untergruppe kein \definitionsverweis {Normalteiler}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{\zeta \in {\mathbb C}}{} eine $2n$-te \definitionsverweis {primitive Einheitswurzel}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {binäre Diedergruppe}{}{}
\mathl{BD_n}{} auf der Geradenmenge
\mathdisp {{ \left\{ \langle \begin{pmatrix} \zeta^j \\\zeta^{-j} \end{pmatrix} \rangle \mid j = 0 , \ldots , n-1 \right\} } \cup \{ \langle \begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix} \rangle ,\, \langle \begin{pmatrix} 0 \\1 \end{pmatrix} \rangle\}} { }
operiert.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die in Beispiel 23.1, Beispiel 23.2, Beispiel 23.3 und Beispiel 23.4 beschriebenen Gruppen bereits Untergruppen der
\mathl{\operatorname{SU}_{ 2 } \! { \left( {\mathbb C} \right) }}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Matrix
\mathdisp {F= { \frac{ 1 }{ \sqrt{5} } } \begin{pmatrix} - \xi + \xi^4 & \xi^2-\xi^3 \\ \xi^2-\xi^3 & \xi -\xi^4 \end{pmatrix}} { }
zu
\mathl{\operatorname{SU}_{ 2 } \! { \left( {\mathbb C} \right) }}{} gehört.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{G \subseteq \operatorname{GL}_{ n } \! { \left( {\mathbb C} \right) }}{} eine \definitionsverweis {endliche Untergruppe}{}{} und es sei
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} das \definitionsverweis {Standardskalarprodukt}{}{} auf dem ${\mathbb C}^n$. Zeige, dass durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Phi(w,z) }
{ \defeq} { { \frac{ 1 }{ { \# \left( G \right) } } } \sum_{ \sigma \in G} \left\langle \sigma w , \sigma z \right\rangle }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{} auf ${\mathbb C}^n$ definiert wird.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{M \in \operatorname{Mat}_{ n } ({\mathbb C})}{} eine \definitionsverweis {Matrix}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {{\mathbb C}^n} {{\mathbb C}^n } {} die zugehörige \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige, dass $\varphi$ genau dann \definitionsverweis {unitär}{}{} ist, wenn
\mathl{{}^t M \cdot \overline{M}}{} die \definitionsverweis {Einheitsmatrix}{}{} ist.

}
{} {}

In den folgenden Aufgaben rekapitulieren wir einige Eigenschaften der Einheitswurzeln und der Kreisteilungspolynome.


\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die Koordinaten der fünften Einheitswurzeln in ${\mathbb C}$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{n \in \N_+}{.} Zeige, dass die $n$ Vektoren \zusatzklammer {im ${\mathbb C}^n$} {} {}
\mathbeddisp {(1,\zeta,\zeta^2 , \ldots , \zeta^{n-1})} {}
{\zeta \in \mu_n({\mathbb C})} {}
{} {} {} {,} \definitionsverweis {linear unabhängig}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $\zeta \in K$ eine $n$-te \definitionsverweis {primitive Einheitswurzel}{}{} in einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$. Zeige die \anfuehrung{Schwerpunktformel}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1 + \zeta + \zeta^2 + \cdots + \zeta^{n-1} }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Kreisteilungspolynome}{}{} $\Phi_{n}$ für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \leq }{15 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Eigenwerte}{}{} und die \definitionsverweis {Eigenvektoren}{}{} der \definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ \sqrt{2} } } \begin{pmatrix} \zeta^7 & \zeta^7 \\ \zeta^5 & \zeta \end{pmatrix}} { }
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\zeta }
{ = }{ { \frac{ 1+ { \mathrm i} }{ \sqrt{2} } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Matrix
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ \sqrt{2} } } \begin{pmatrix} { \mathrm i} & - { \mathrm i} \\ \zeta & - { \mathrm i} \end{pmatrix}} { }
zur \definitionsverweis {binären Oktaedergruppe}{}{} gehört \zusatzklammer {dabei ist $\zeta$ eine primitive achte Einheitswurzel} {} {.} Gehört sie auch zur \definitionsverweis {binären Tetraedergruppe}{}{?}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {binäre Ikosaedergruppe}{}{}
\mathl{120}{} Elemente besitzt.

}
{} {}