Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 10/kontrolle
- Aufwärmaufgaben
Aufgabe Referenznummer erstellen
Finde primitive Einheiten in den Restklassenkörpern , , , und .
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Bestimme sämtliche primitive Einheiten im Restklassenkörper .
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine ungerade Primzahl und der zugehörige Restklassenkörper. Zeige, dass das Produkt von zwei primitiven Einheiten niemals primitiv ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Konstruiere einen Körper mit Elementen.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestimme in für jedes Element die multiplikative Ordnung. Man gebe insbesondere die primitiven Einheiten an.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine Primzahl und ein Körper mit Elementen. Welche Ringhomomorphismen zwischen und gibt es? Man betrachte beide Richtungen.
Aufgabe Referenznummer erstellen
a) Es sei ein Körper. Zeige, dass die Einheitengruppe von nicht zyklisch unendlich ist.
b) Es sei ein kommutativer Ring, dessen Charakteristik nicht zwei ist. Zeige, dass die Einheitengruppe von nicht zyklisch unendlich ist.
c) Beschreibe einen kommutativen Ring, dessen Einheitengruppe zyklisch unendlich ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestimme den Rest von modulo .
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestimme die Zerlegung von in irreduzible Polynome im Polynomring . Beweise aus dieser Zerlegung den Satz von Wilson.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Finde primitive Einheiten in den Restklassenkörpern , und .
Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe (4 Punkte)Aufgabe 10.13 ändern
Konstruiere endliche Körper mit und Elementen.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei der Körper mit Elementen ( bezeichne die Restklasse von ). Führe in die Division mit Rest „ durch “ für die beiden Polynome und durch.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Finde einen Erzeuger der Einheitengruppe eines Körpers mit Elementen. Wie viele solche Erzeuger gibt es?
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