Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 16/latex

\setcounter{section}{16}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $p$ eine Primzahl. Erstelle Inklusionsdiagramme für die Zwischenkörper der Körpererweiterung
\mathl{{\mathbb F}_p \subseteq {\mathbb F}_{p^{ n } }}{} für
\mathl{n=4,6,8,12}{.} Wie sehen die zugehörigen Inklusionsdiagramme der Untergruppen der Galoisgruppe aus?

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien \mathkor {} {D_1} {und} {D_2} {} \definitionsverweis {kommutative Gruppen}{}{} und seien \mathkor {} {D_1^{ \vee }} {und} {D_2^{ \vee }} {} die zugehörigen \definitionsverweis {Charaktergruppen}{}{} zu einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$. \aufzaehlungzwei {Zeige, dass zu einem \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {\varphi} {D_1} {D_2 } {} durch die Zuordnung
\mathl{\chi \mapsto \chi \circ \varphi}{} ein Gruppenhomomorphismus \maabbdisp {\varphi^{ \vee }} { D_2^{ \vee } } { D_1^{ \vee } } {} definiert wird. } {Es sei $D_3$ eine weitere kommutative Gruppe und sei \maabbdisp {\psi} {D_2} {D_3 } {} ein Gruppenhomomorphismus. Zeige die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ( \psi \circ \varphi )^{ \vee } }
{ =} { \varphi ^{ \vee } \circ \psi ^{ \vee } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $D$ eine \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{} und $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.}

a) Zeige, dass durch \maabbeledisp {} {D} { ( D^{ \vee } )^{ \vee } } {d} { (\operatorname{ev}_d : \chi \mapsto \chi (d) ) } {,} ein natürlicher \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} von $D$ in das Doppeldual
\mathl{( D^{ \vee } )^{ \vee }}{} gegeben ist.

b) Es sei nun $D$ endlich und es sei vorausgesetzt, dass $K$ eine $m$-te \definitionsverweis {primitive Einheitswurzel}{}{} enthält, wobei
\mathl{m}{} der \definitionsverweis {Exponent}{}{} von $D$ sei. Zeige, dass dann die Abbildung aus a) ein \definitionsverweis {Isomorphismus}{}{} ist.

}
{} {} Die in der vorstehenden Aufgabe auftretende Abbildung
\mathl{\operatorname{ev}_d}{} heißt \stichwort {Evaluierungsabbildung} {} \zusatzklammer {zu $d$} {} {.}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $D$ eine \definitionsverweis {endliche}{}{} \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{} und es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} Wir betrachten die Zuordnung
\mathdisp {E \longmapsto E^{ { \perp } } = { \left\{ \chi \in D^{ \vee } \mid \chi(d) = 1 \text{ für alle } d \in E \right\} }} { , }
die einer Untergruppe von $D$ eine Untergruppe von $D^{ \vee }$ zuordnet. Zeige die folgenden Aussagen.

a) Die Zuordnung ist inklusionsumkehrend.

b) Unter der kanonischen Abbildung \maabbeledisp {} {D} { ( D^{ \vee } )^{ \vee } } {d} { (\operatorname{ev}_d: \chi \mapsto \chi(d) ) } {,} ist
\mathl{\operatorname{ev}_d (E) \subseteq (E^{ { \perp } }) ^{ { \perp } }}{.}

c) Es sei vorausgesetzt, dass $K$ eine $m$-te \definitionsverweis {primitive Einheitswurzel}{}{} enthält, wobei $m$ der \definitionsverweis {Exponent}{}{} von $D$ sei. Zeige, dass dann
\mathl{\operatorname{ev}_d (E) = (E^{ { \perp } }) ^{ { \perp } }}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $D$ eine \definitionsverweis {endliche}{}{} \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{} mit dem \definitionsverweis {Exponenten}{}{} $m$, und es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} der eine \definitionsverweis {primitive}{}{} $m$-te \definitionsverweis {Einheitswurzel}{}{} besitzt. Zeige, dass die Zuordnungen
\mathdisp {E \longmapsto E^{ { \perp } } = { \left\{ \chi \in D^{ \vee } \mid \chi(d) = 1 \text{ für alle } d \in E \right\} }} { }
und
\mathdisp {H \longmapsto H^{ { \perp } } = { \left\{ d \in D \mid \chi(d) = 1 \text{ für alle } \chi \in H \right\} }} { }
\zusatzklammer {zwischen den Untergruppen von $D$ und den Untergruppen von $D^{ \vee }$} {} {} zueinander \definitionsverweis {invers}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Zwischenkörper}{}{} in Beispiel 16.8.

}
{} {}

Ein Element
\mathl{f \in L}{} einer Körpererweiterung
\mathl{K \subseteq L}{} definiert durch Multiplikation eine $K$-lineare Abbildung \maabbeledisp {\mu_f} {L} {L } {y} {fy } {.}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{.} Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {} {L} {\operatorname{End}_{ K } \, (L) } {f} { \mu_f } {,} ein \definitionsverweis {injektiver}{}{} \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ \in }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gegeben mit der zugehörigen \definitionsverweis {Multiplikationsabbildung}{}{} $\mu_f$. Zeige, dass das \definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
\mathl{\chi_{\mu_f}}{} ein Vielfaches des \definitionsverweis {Minimalpolynoms}{}{} zu $f$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{.} Zeige, dass zwischen
\mathl{\varphi \in \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K )}{} und der Multiplikationsabbildung
\mathbed {\mu_f} {}
{f \in L} {}
{} {} {} {,} beide aufgefasst als $K$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} von $L$ nach $L$, weder die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \mu_{ \varphi(f)} }
{ =} { \mu_f \circ \varphi }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} noch die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\mu_{ \varphi(f)} }
{ =} { \varphi \circ \mu_f }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gelten muss.

}
{} {}

Über $\mu_f$ wird auch die Norm von $f \in L$ definiert.

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ \subseteq }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{.} Zu einem Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ \in }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} nennt man die \definitionsverweis {Determinante}{}{} der $K$-\definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\mu_f} {L} {L } {y} {fy } {,} die \definitionswort {Norm}{} von $f$. Sie wird mit
\mathl{N(f)}{} bezeichnet.

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{}
{ }{}
} {}{}{} eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Norm}{}{} \maabbeledisp {N} {L} {K } {f} {N(f) } {,} folgende Eigenschaften besitzt. \aufzaehlungdrei{Es ist
\mathl{N(fg)=N(f)N(g)}{.} }{Für
\mathl{f \in K}{} ist
\mathl{N(f)=f^n}{,} wobei $n$ den \definitionsverweis {Grad}{}{} der Körpererweiterung bezeichne. }{Es ist
\mathl{N(f)=0}{} genau dann, wenn
\mathl{f=0}{} ist.}

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {endliche}{}{} \definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{} und sei
\mathbed {M} {}
{K \subseteq M \subseteq L} {}
{} {} {} {,} ein Zwischenkörper. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind. \aufzaehlungzwei {Für alle
\mathl{\psi \in \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K )}{} ist
\mathl{\psi(M)= M}{.} } {Die Untergruppe
\mathl{\operatorname{Gal}\, ( L {{|}} M ) \subseteq \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K )}{} ist nur zu sich selbst \definitionsverweis {konjugiert}{}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{F \in K[X]}{} ein \definitionsverweis {irreduzibles}{}{} \definitionsverweis {separables Polynom}{}{.} Es sei vorausgesetzt, dass die \definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{} des \definitionsverweis {Zerfällungskörpers}{}{} $L$ von $F$ \definitionsverweis {kommutativ}{}{} sei. Zeige, dass dann
\mathl{L\cong K[X]/(F)}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein Körper und sei $D$ eine \definitionsverweis {endliche}{}{} \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{} mit dem Exponenten $m$. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind. \aufzaehlungvier{$K$ besitzt eine $m$-te \definitionsverweis {primitive Einheitswurzel}{}{.} }{Zu jedem Primpotenzteiler $p^r$ von $m$ besitzt $K$ eine $p^r$-te primitive Einheitswurzel. }{Zu jedem Teiler $n$ von $m$ besitzt $K$ eine $n$-te primitive Einheitswurzel. }{Zu jeder \definitionsverweis {Ordnung}{}{} $n$ eines Elementes
\mathl{d \in D}{} besitzt $K$ eine $n$-te primitive Einheitswurzel. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $D$ eine \definitionsverweis {endliche}{}{} \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{} und
\mathl{E \subseteq D}{} eine \definitionsverweis {Untergruppe}{}{.} Es sei $K$ ein Körper.

a) Zeige, dass der \definitionsverweis {Kern}{}{} des natürlichen \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabbeledisp {\psi} { D^{ \vee } } { E^{ \vee } } {\chi} { \chi {{|}}_E } {,} gleich $E^{ { \perp } }$ ist.

b) Es sei vorausgesetzt, dass $K$ eine $m$-te \definitionsverweis {primitive Einheitswurzel}{}{} besitzt, wobei $m$ der \definitionsverweis {Exponent}{}{} von $D$ sei. Zeige, dass $\psi$ \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist.

}
{} {}