Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 3/latex
\setcounter{section}{3}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{} und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Einsetzungsabbildung, also die Zuordnung
\maabbeledisp {\psi} { K[X] } { L
} { P } { P(a)
} {,}
folgende Eigenschaften erfüllt
\zusatzklammer {dabei seien
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ P,Q
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {.}
\aufzaehlungdrei{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (P + Q)(a)
}
{ = }{ P(a) +Q(a)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (P \cdot Q)(a)
}
{ = }{ P(a) \cdot Q(a)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 1(a)
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass ein \definitionsverweis {Unterring}{}{} eines \definitionsverweis {Körpers}{}{} ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Zu jedem
\mathl{f \in R}{} sei
\maabbeledisp {\mu_f} {R} {R } {g} {fg } {,}
die Multiplikation mit $f$. Zeige, dass $\mu_f$ genau dann bijektiv ist, wenn es surjektiv ist.
Man zeige durch ein Beispiel, dass in dieser Situation aus der Injektivität nicht die Bijektivität folgt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Charakterisiere mit Hilfe der Multiplikationsabbildung
\maabbeledisp {\mu_f} {R} {R
} {g} {fg
} {,}
wann $f$ ein
\definitionsverweis {Nichtnullteiler}{}{}
und wann $f$ eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Einheiten}{}{}
von $\Z$ und von
\mathl{K[X]}{,} wobei $K$ ein Körper sei.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}_1
}
{ \subseteq} { {\mathfrak a}_2
}
{ \subseteq} { {\mathfrak a}_3
}
{ \subseteq} {\ldots
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine aufsteigende Kette von
\definitionsverweis {Idealen}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Vereinigung}{}{}
\mathl{\bigcup_{n \in \N} {\mathfrak a}_n}{} ebenfalls ein Ideal ist. Zeige durch ein einfaches Beispiel, dass die Vereinigung von Idealen im Allgemeinen kein Ideal sein muss.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass ein reelles Polynom von ungeradem Grad nicht irreduzibel ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{F \in K[X]}{} ein von $0$ verschiedenes Polynom. Zeige, dass es eine
\zusatzklammer {bis auf die Reihenfolge der Faktoren} {} {}
eindeutige Produktdarstellung
\mathdisp {F = a F_1 \cdots F_r} { }
mit
\mathl{a \in K^{\times}}{} und
\definitionsverweis {irreduziblen}{}{}
\definitionsverweis {normierten}{}{} Polynomen
\mathbed {F_i} {}
{i=1 , \ldots , r} {}
{} {} {} {,}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass $\Z[X]$ und der
\definitionsverweis {Polynomring}{}{} in zwei Variablen
\mathl{K[X,Y]}{} über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ keine
\definitionsverweis {Hauptidealbereiche}{}{} sind.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{.}
Bestimme in
\mathl{K[X]}{} die
\definitionsverweis {irreduziblen Polynome}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Zeige, dass es unendlich viele normierte
\definitionsverweis {irreduzible}{}{}
Polynome in
\mathl{K[X]}{} gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ \R[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {nichtkonstantes}{}{}
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
mit
\definitionsverweis {reellen}{}{} Koeffizienten. Zeige, dass man $P$ als ein Produkt von reellen Polynomen vom Grad
\mathkor {} {1} {oder} {2} {}
schreiben kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{.} Zeige, dass man auf folgende Weise einen \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ konstruieren kann, der $R$ enthält.
Wir betrachten auf
\mathdisp {M= R \times (R \setminus{\{0\} })} { }
die durch
\mathdisp {(a,b) \sim (c,d), \text{ falls } ad = bc} { , }
definierte Relation.
a) Zeige, dass dies eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} ist.
b) Definiere auf der \definitionsverweis {Quotientenmenge}{}{} $Q(R)$ \definitionsverweis {Verknüpfungen}{}{} derart, dass $Q(R)$ zu einem \definitionsverweis {Körper}{}{} wird und dass \maabbeledisp {\varphi} {R} {Q(R) } {r} {[ (r,1)] } {,} mit Addition und Multiplikation verträglich ist und $\varphi(1)=1$ gilt.
}
{} {}
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