Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 5/latex

\setcounter{section}{5}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien \mathkor {} {G} {und} {H} {} \definitionsverweis {Gruppen}{}{} und sei \maabbdisp {\varphi} {G} {H } {} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.} Zeige, dass das Urbild
\mathl{\varphi^{-1}(N)}{} eines \definitionsverweis {Normalteilers}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ N }
{ \subseteq }{ H }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Normalteiler in $G$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass der Durchschnitt von \definitionsverweis {Normalteilern}{}{}
\mathbed {N_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} in einer \definitionsverweis {Gruppe}{}{} $G$ ein Normalteiler ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g }
{ \in }{ G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Element mit dem \zusatzklammer {nach Lemma 4.4} {} {} zugehörigen \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabbeledisp {\varphi} {\Z} {G } {n} {g^n } {.} Beschreibe die kanonische Faktorisierung von $\varphi$ gemäß Satz 5.12.

}
{} {}

In der folgenden Aufgabe wird das \stichwort {Zentrum} {} einer Gruppe verwendet.

Es sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{.} Das \definitionswort {Zentrum}{} $Z=Z(G)$ von $G$ ist die Teilmenge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Z }
{ =} { { \left\{ g \in G \mid gx=xg \text{ für alle } x \in G \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{.} Zeige, dass das \definitionsverweis {Zentrum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Z }
{ \subseteq }{ G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Normalteiler}{}{} in $G$ ist. Man bringe das Zentrum in Zusammenhang mit dem \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabbeledisp {\kappa} {G} { \operatorname{Aut} \, (G) } {g} {\kappa_g } {.} Was ist das \definitionsverweis {Bild}{}{} von diesem Homomorphismus, und was besagen die Homomorphiesätze in dieser Situation?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine Menge und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M }
{ = }{ \biguplus_{i \in I} M_i }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Partition von $M$, d.h. jedes $M_i$ ist eine Teilmenge von $M$ und $M$ ist die disjunkte Vereinigung der $M_i$. Zeige, dass die Produktgruppe
\mathdisp {\prod_{i \in I} \operatorname{Perm} \, (M_i)} { }
eine \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} von $\operatorname{Perm} \,(M)$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M }
{ = }{ { \{ 1 , \ldots , n \} } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und sei $\pi$ eine \definitionsverweis {Permutation}{}{} auf $M$. Die zugehörige
\betonung{Permutationsmatrix}{} $M_\pi$ ist dadurch gegeben, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_{ \pi (i),i} }
{ =} {1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist und alle anderen Einträge $0$ sind. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det M_\pi }
{ =} { \operatorname{sgn}(\pi ) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Man gebe eine Matrix
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M }
{ \in }{ \operatorname{GL}_{ 2 } \! { \left( \Q \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der \definitionsverweis {Ordnung}{}{} $4$ an.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{\operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) }}{} die Menge der \definitionsverweis {invertierbaren}{}{}
\mathl{n\times n}{-}Matrizen über einem Körper $K$. Zeige, dass für zueinander \definitionsverweis {konjugierte}{}{} Matrizen \mathkor {} {M} {und} {N} {} aus
\mathl{\operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) }}{} die folgenden Eigenschaften bzw. Invarianten übereinstimmen: Die \definitionsverweis {Determinante}{}{,} die \definitionsverweis {Eigenwerte}{}{,} die Dimension der \definitionsverweis {Eigenräume}{}{} zu einem Eigenwert, die \definitionsverweis {Diagonalisierbarkeit}{}{,} die \definitionsverweis {Trigonalisierbarkeit}{}{.}

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die Gruppe der $n$-ten \definitionsverweis {Einheitswurzeln}{}{} in ${\mathbb C}$ und die Gruppe
\mathl{\Z/(n)}{} \definitionsverweis {isomorph}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{.} Betrachte die \definitionsverweis {Relation}{}{} $R$ auf $G$, wobei $xRy$ bedeutet, dass es einen \definitionsverweis {inneren Automorphismus}{}{} $\kappa_g$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ = }{\kappa_g(y) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt. Zeige, dass diese Relation eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} ist.

}
{} {}

Die Äquivalenzklassen zu dieser Äquivalenzrelation bekommen einen eigenen Namen:

Zu einer \definitionsverweis {Gruppe}{}{} $G$ nennt man die \definitionsverweis {Äquivalenzklassen}{}{} zur \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{,} bei der zwei Elemente als äquivalent \zusatzklammer {oder \definitionswort {konjugiert}{}} {} {} gelten, wenn sie durch einen \definitionsverweis {inneren Automorphismus}{}{} ineinander überführt werden können, die \definitionswort {Konjugationsklassen}{.}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $S_3$ die Gruppe der bijektiven Abbildungen der Menge
\mathl{\{1,2,3\}}{} in sich selbst. Bestimme die \definitionsverweis {Konjugationsklassen}{}{} dieser Gruppe.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {G} {und} {H} {} \definitionsverweis {Gruppen}{}{} und sei \maabbdisp {\varphi} {G} {H } {} ein surjektiver \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.} Zeige, dass das \definitionsverweis {Bild}{}{} $\varphi(N)$ eines \definitionsverweis {Normalteilers}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ N }
{ \subseteq }{ G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Normalteiler in $H$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass jede \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} vom \definitionsverweis {Index}{}{} zwei in einer \definitionsverweis {Gruppe}{}{} $G$ ein \definitionsverweis {Normalteiler}{}{} in $G$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe eine Matrix
\mathl{M \in \operatorname{GL}_{ 2 } \! { \left( \Q \right) }}{} der \definitionsverweis {Ordnung}{}{} $3$ an.

}
{} {}