Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 12/latex
\setcounter{section}{12}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,} $D$ eine
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}
und $A$ eine
$D$-\definitionsverweis {graduierte}{}{}
\definitionsverweis {kommutative}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.} Zeige, dass zu einem
\definitionsverweis {Untermonoid}{}{}
\mathl{M\subseteq D}{} der
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
\mathdisp {\oplus_{d \in M} A_d} { }
ein
\definitionsverweis {Unterring}{}{}
von $A$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,} $D$ eine
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}
und $A$ eine
$D$-\definitionsverweis {graduierte}{}{}
\definitionsverweis {kommutative}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{,} die ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
sei. Zeige, dass die Menge
\mathdisp {M= { \left\{ d\in D \mid A_d \neq 0 \right\} }} { }
ein
\definitionsverweis {Untermonoid}{}{}
von $D$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
$D$ eine
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A
}
{ = }{ \bigoplus_{d \in D} A_d
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
$D$-\definitionsverweis {graduierte}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.}
Es sei
\mathl{f \in A}{} eine
\definitionsverweis {homogene}{}{}
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
vom Grad $d$. Zeige, dass das inverse Element $f^{-1}$ homogen vom Grad $-d$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die
$\Z/(10)$-\definitionsverweis {graduierte}{}{}
$\Q$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{L
}
{ =} { \Q[X]/ { \left( X^{10} - 5 \right) }
}
{ =} { \Q \oplus 5^{ { \frac{ 1 }{ 10 } } } \cdot \Q\oplus 5^{ { \frac{ 2 }{ 10 } } } \cdot \Q \oplus 5^{ { \frac{ 3 }{ 10 } } } \cdot \Q \oplus \cdots \oplus 5^{ { \frac{ 8 }{ 10 } } } \cdot \Q \oplus 5^{ { \frac{ 9 }{ 10 } } } \cdot \Q
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungvier{Berechne das Inverse von
\mathdisp {5^{ { \frac{ 1 }{ 10 } } }} { . }
}{Berechne
\mathdisp {{ \left( 5^{ { \frac{ 7 }{ 10 } } } \right) }^4} { . }
}{Berechne
\mathdisp {{ \left( { \frac{ 2 }{ 7 } } - { \frac{ 4 }{ 3 } } \cdot 5^{ { \frac{ 3 }{ 10 } } } - 5 \cdot 5^{ { \frac{ 8 }{ 10 } } } \right) } { \left( { \frac{ 2 }{ 3 } } +{ \frac{ 5 }{ 4 } } \cdot 5^{ { \frac{ 5 }{ 10 } } } + 4 \cdot 5^{ { \frac{ 7 }{ 10 } } } - { \frac{ 1 }{ 2 } } \cdot 5^{ { \frac{ 9 }{ 10 } } } \right) }} { . }
}{Bestimme graduierte Unterringe von $L$.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$D$ eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
$D$-\definitionsverweis {graduierte Körpererweiterung}{}{.} Zeige, dass zu einem Untermonoid
\mathl{M \subseteq D}{} der
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
\mathdisp {\oplus_{d \in M} A_d} { }
ein
\definitionsverweis {Unterkörper}{}{}
von $A$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
der
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
$\neq 2$. Zeige, dass eine
\definitionsverweis {quadratische Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {graduiert}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\epsilon
}
{ = }{ { \frac{ -1+ \sqrt{3} { \mathrm i} }{ 2 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die dritte komplexe Einheitswurzel. Zeige, dass die
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Q
}
{ \subseteq} {\Q[ \epsilon ]
}
{ =} {L
}
{ \subseteq} {{\mathbb C}
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {graduiert}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass eine $\Z/(n)$-\definitionsverweis {graduierte Körpererweiterung}{}{} \definitionsverweis {einfach}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
$D$-\definitionsverweis {graduierte Körpererweiterung}{}{,}
wobei $D$ nicht
\definitionsverweis {zyklisch}{}{}
sei. Zeige, dass die Körpererweiterung nicht von einem
\definitionsverweis {homogenen Element}{}{}
\definitionsverweis {erzeugt}{}{}
wird.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\mathl{p,q \in \Z}{} verschiedene
\definitionsverweis {Primzahlen}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq} { \Q[ \sqrt{p}, \sqrt{q}]
}
{ =} {L
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die zugehörige
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$4$. Bestimme, ob die folgenden Elemente die
$\Q$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
$L$ erzeugen oder nicht.
\aufzaehlungvier{
\mathl{\sqrt{p}}{,}
}{
\mathl{\sqrt{p} + \sqrt{q}}{,}
}{
\mathl{\sqrt{pq}}{,}
}{
\mathl{\sqrt{p} + \sqrt{pq}}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq} { \Q[ \sqrt[4]{7} { \mathrm i} ]
}
{ =} {L
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungfuenf{Bestimme das
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
von $\sqrt[4]{7} { \mathrm i}$.
}{Zeige, dass der
\definitionsverweis {Grad}{}{}
der Körpererweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gleich $4$ ist.
}{Finde einen echten Zwischenkörper
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subset} {M
}
{ \subset} {L
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Zeige, dass $L$ eine
$\Z/(4)$-\definitionsverweis {graduierte Körpererweiterung}{}{}
von $\Q$ ist.
}{Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L[ { \mathrm i} ]
}
{ = }{\Q[ \sqrt[4]{7}, { \mathrm i} ]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\mathl{\Z/(4) \times \Z/(2)}{-} graduierte Körpererweiterung von $\Q$ ist. Durch welche Untergruppe von
\mathl{\Z/(4) \times \Z/(2)}{} wird $L$ beschrieben?
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $D$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{,} $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{D^{ \vee } = \operatorname{Char} \, (D, K )}{} die
\definitionsverweis {Charaktergruppe}{}{} zu $D$. Beweise die folgenden Aussagen.
\aufzaehlungzwei {
\mathl{D^{ \vee }}{} ist eine kommutative Gruppe.
} {Bei einer
\definitionsverweis {direkten Gruppenzerlegung}{}{}
\mathl{D=D_1 \times D_2}{} ist
\mathl{(D_1 \times D_2)^{ \vee } = D_1 ^{ \vee } \times D_2^{ \vee }}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Sei $D$ eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {Gruppe}{}{,} $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
\mathl{\chi \in D^{ \vee } = \operatorname{Char} \, (D, K )}{} ein
\definitionsverweis {Charakter}{}{.}
Zeige, dass
\mathl{\chi (d)}{} für jedes
\mathl{d \in D}{} eine
\definitionsverweis {Einheitswurzel}{}{}
in $K$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\mathkor {} {D_1} {und} {D_2} {}
\definitionsverweis {kommutative Gruppen}{}{}
und seien
\mathkor {} {D_1^{ \vee }} {und} {D_2^{ \vee }} {}
die zugehörigen
\definitionsverweis {Charaktergruppen}{}{}
zu einem
\definitionsverweis {Körper}{}{} $K$.
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass zu einem
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {D_1} {D_2
} {}
durch die Zuordnung
\mathl{\chi \mapsto \chi \circ \varphi}{} ein Gruppenhomomorphismus
\maabbdisp {\varphi^{ \vee }} { D_2^{ \vee } } { D_1^{ \vee }
} {}
definiert wird.
} {Es sei $D_3$ eine weitere kommutative Gruppe und sei
\maabbdisp {\psi} {D_2} {D_3
} {}
ein Gruppenhomomorphismus. Zeige die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ( \psi \circ \varphi )^{ \vee }
}
{ =} { \varphi ^{ \vee } \circ \psi ^{ \vee }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $D$ eine \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{} und $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.}
a) Zeige, dass durch
\maabbeledisp {} {D} { ( D^{ \vee } )^{ \vee }
} {d} { (\operatorname{ev}_d : \chi \mapsto \chi (d) )
} {,}
ein natürlicher
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} von $D$ in das Doppeldual
\mathl{( D^{ \vee } )^{ \vee }}{} gegeben ist.
b) Es sei nun $D$ endlich und es sei vorausgesetzt, dass $K$ eine $m$-te
\definitionsverweis {primitive Einheitswurzel}{}{} enthält, wobei
\mathl{m}{} der
\definitionsverweis {Exponent}{}{}
von $D$ sei. Zeige, dass dann die Abbildung aus a) ein
\definitionsverweis {Isomorphismus}{}{}
ist.
}
{} {}
Die in der vorstehenden Aufgabe auftretende Abbildung
\mathl{\operatorname{ev}_d}{} heißt \stichwort {Evaluierungsabbildung} {}
\zusatzklammer {zu $d$} {} {.}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $D$ eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}
und es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.}
Wir betrachten die Zuordnung
\mathdisp {E \longmapsto E^{ { \perp } } = { \left\{ \chi \in D^{ \vee } \mid \chi(d) = 1 \text{ für alle } d \in E \right\} }} { , }
die einer Untergruppe von $D$ eine Untergruppe von $D^{ \vee }$ zuordnet. Zeige die folgenden Aussagen.
a) Die Zuordnung ist inklusionsumkehrend.
b) Unter der kanonischen Abbildung
\maabbeledisp {} {D} { ( D^{ \vee } )^{ \vee }
} {d} { (\operatorname{ev}_d: \chi \mapsto \chi(d) )
} {,}
ist
\mathl{\operatorname{ev}_d (E) \subseteq (E^{ { \perp } }) ^{ { \perp } }}{.}
c) Es sei vorausgesetzt, dass $K$ eine $m$-te
\definitionsverweis {primitive Einheitswurzel}{}{} enthält, wobei $m$ der
\definitionsverweis {Exponent}{}{}
von $D$ sei. Zeige, dass dann
\mathl{\operatorname{ev}_d (E) = (E^{ { \perp } }) ^{ { \perp } }}{} gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $D$ eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}
mit dem
\definitionsverweis {Exponenten}{}{}
$m$, und es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
der eine
\definitionsverweis {primitive}{}{}
$m$-te
\definitionsverweis {Einheitswurzel}{}{}
besitzt. Zeige, dass die Zuordnungen
\mathdisp {E \longmapsto E^{ { \perp } } = { \left\{ \chi \in D^{ \vee } \mid \chi(d) = 1 \text{ für alle } d \in E \right\} }} { }
und
\mathdisp {H \longmapsto H^{ { \perp } } = { \left\{ d \in D \mid \chi(d) = 1 \text{ für alle } \chi \in H \right\} }} { }
\zusatzklammer {zwischen den Untergruppen von $D$ und den Untergruppen von $D^{ \vee }$} {} {}
zueinander
\definitionsverweis {invers}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $D$ eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}
mit dem
\definitionsverweis {Exponenten}{}{}
$m$, und es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
der eine
\definitionsverweis {primitive}{}{}
$m$-te
\definitionsverweis {Einheitswurzel}{}{}
besitzt. Zeige, dass in der in
Aufgabe 12.17
beschriebenen Korrespondenz zwischen den Untergruppen von $D$ und von $D^{ \vee }$ Durchschnitte von Untergruppen in die Summe von Untergruppen überführt werden. Es gilt also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (E_1 \cap E_2)^{ { \perp } }
}
{ =} { E_1 ^{ { \perp } } + E_2^{ { \perp } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \in }{ K[X,Y]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {homogenes Polynom}{}{.}
Zeige: $F$ zerfällt in
\definitionsverweis {Linearfaktoren}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass es im
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
in $n$ Variablen genau
\mathl{\binom { d+n-1 } { n-1 }}{}
\definitionsverweis {Monome}{}{}
vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$d$ gibt.
}
{} {}
Vor der nächsten Aufgabe erwähnen wir die folgende Definition.
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,} $D$ eine
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}
und $A$ eine
$D$-\definitionsverweis {graduierte}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.} Ein
$K$-\definitionsverweis {Automorphismus}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {A} {A
} {}
heißt \definitionswort {homogen}{,} wenn für jedes
\definitionsverweis {homogene Element}{}{}
\mathl{a \in A_d}{} gilt
\mathl{\varphi(a ) \in A_d}{.}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,} $D$ eine
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}
und $A$ eine
$D$-\definitionsverweis {graduierte}{}{}
\definitionsverweis {kommutative}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.} Zeige, dass der in
Lemma 12.15
zu einem
\definitionsverweis {Charakter}{}{}
\mathl{\chi \in D^{ \vee }}{} eingeführte Automorphismus
\maabbdisp {\varphi_\chi} {A} {A
} {}
\definitionsverweis {homogen}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die
$\Z/(2) \times \Z/(2) \times \Z/(2)$-\definitionsverweis {graduierte Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq} { \Q[ \sqrt{3} , \sqrt{5}, \sqrt{7} ]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und den durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\chi (e_1)
}
{ = }{-1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\chi (e_2)
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\chi (e_3)
}
{ = }{-1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
gegebenen
\definitionsverweis {Charakter}{}{.}
Bestimme
\mathdisp {\varphi_\chi { \left( 3- 2\sqrt{3} -2 \sqrt{5} +6 \sqrt{7} + \sqrt{15} -4 \sqrt{21}+3 \sqrt{35} -5 \sqrt{105} \right) }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq} {L
}
{ \defeq} {\Q[ { \mathrm i} , \sqrt{2} ]
}
{ =} { \Q[\zeta_8]
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \zeta_8
}
{ = }{ { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( \sqrt{2} + \sqrt{2} { \mathrm i} \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gemäß
Beispiel 12.9.
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{}
\definitionsverweis {isomorph}{}{}
zu
\mathl{\Z/(2) \times \Z/(2)}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die Körpererweiterung
\mathdisp {\Q \subseteq \Q [\sqrt{3}, { \mathrm i} ] =L} { . }
a) Bestimme den Grad der Körpererweiterung
\mathl{\Q \subseteq L}{.}
b) Beschreibe eine möglichst einfache $\Q$-Basis von $L$.
c) Zeige, dass eine graduierte Körpererweiterung vorliegt. Was ist die graduierende Gruppe?
d) Bestimme die $\Q$-Automorphismen von $L$.
e) Bestimme das Minimalpolynom von
\mathl{\sqrt{3} + { \mathrm i}}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{G}{} die Menge der
\definitionsverweis {stetigen}{}{}
\definitionsverweis {geraden Funktionen}{}{}
und $U$ die Menge der stetigen
\definitionsverweis {ungeraden Funktionen}{}{}
von $\R$ nach $\R$. Zeige, dass
\mathdisp {\operatorname{C}^0 \, (\R, \R) = G \oplus U} { }
eine
$\Z/(2)$-\definitionsverweis {graduierte}{}{}
$\R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{}
des fünften
\definitionsverweis {Kreisteilungskörpers}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq} { \Q[ \zeta_5]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\zeta_5
}
{ = }{ e^{ 2 \pi { \mathrm i}/ 5 }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass der fünfte
\definitionsverweis {Kreisteilungskörper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{ \Q[ \zeta_5]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\zeta_5
}
{ = }{ e^{ 2 \pi { \mathrm i}/ 5 }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nicht
\definitionsverweis {graduierbar}{}{}
ist.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,} $D$ eine
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}
und $A$ eine
$D$-\definitionsverweis {graduierte}{}{}
\definitionsverweis {kommutative}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.} Es sei
\maabbdisp {\varphi} {A} {A
} {}
ein
\definitionsverweis {homogener Automorphismus}{}{.}
Zeige, dass es einen
\definitionsverweis {Charakter}{}{}
\mathl{\chi \in D^{ \vee }}{} mit
\mathl{\varphi=\varphi_\chi}{} gibt, wobei $\varphi_\chi$ der gemäß
Lemma 12.15
zu $\chi$ gehörige Automorphismus ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Betrachte die
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subset} {\Q[\sqrt{5}, \sqrt{7}]
}
{ =} {L
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass einerseits
\mathl{1, \sqrt{5}, \sqrt{7}, \sqrt{35}}{} und andererseits
\mathbed {(\sqrt{5}+ \sqrt{7})^{i}} {}
{i=0,1,2,3} {}
{} {} {} {,}
eine
$\Q$-\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $L$ bildet. Berechne die
\definitionsverweis {Übergangsmatrizen}{}{}
für diese Basen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Es sei
\maabbdisp {f} {{\mathbb C}} {{\mathbb C}
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.}
Zeige, dass die beiden folgenden Aussagen äquivalent sind.
\aufzaehlungzwei {Es gibt eine stetige Funktion
\maabbdisp {g} {\R_{\geq 0}} {{\mathbb C}
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(z)
}
{ = }{g ( \betrag { z })
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ \in }{{\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
} {Für alle $n$-ten Einheitswurzeln
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \zeta
}
{ \in }{{\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {alle
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{n
}
{ \in }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f (\zeta z)
}
{ = }{ f(z)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ \in }{{\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $K$ ein Körper und sei $D$ eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}
mit dem Exponenten $m$. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.
\aufzaehlungvier{$K$ besitzt eine $m$-te
\definitionsverweis {primitive Einheitswurzel}{}{.}
}{Zu jedem Primpotenzteiler $p^r$ von $m$ besitzt $K$ eine $p^r$-te primitive Einheitswurzel.
}{Zu jedem Teiler $n$ von $m$ besitzt $K$ eine $n$-te primitive Einheitswurzel.
}{Zu jeder
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
$n$ eines Elementes
\mathl{d \in D}{} besitzt $K$ eine $n$-te primitive Einheitswurzel.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4 (1+3)}
{
Es sei $D$ eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{} und
\mathl{E \subseteq D}{} eine
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{.}
Es sei $K$ ein Körper.
a) Zeige, dass der \definitionsverweis {Kern}{}{} des natürlichen \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabbeledisp {\psi} { D^{ \vee } } { E^{ \vee } } {\chi} { \chi {{|}}_E } {,} gleich $E^{ { \perp } }$ ist.
b) Es sei vorausgesetzt, dass $K$ eine $m$-te \definitionsverweis {primitive Einheitswurzel}{}{} besitzt, wobei $m$ der \definitionsverweis {Exponent}{}{} von $D$ sei. Zeige, dass $\psi$ \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist.
}
{} {}