Kurs:Kommutative Algebra/Teil I/Vorlesung 23

Normale Integritätsbereiche

Definition

Ein Integritätsbereich heißt normal, wenn er ganz-abgeschlossen in seinem Quotientenkörper ist.

Wichtige Beispiele für normale Ringe werden durch faktorielle Ringe geliefert.

Satz

Es sei ${}R$ ein faktorieller Integritätsbereich.

Dann ist ${}R$ normal.

Beweis

Sei ${}K=Q(R)$ der Quotientenkörper von ${}R$ und ${}q\in K$ ein Element, das die Ganzheitsgleichung

${}q^{n}+r_{n-1}q^{n-1}+r_{n-2}q^{n-2}+\cdots +r_{1}q+r_{0}=0\,$

mit ${}r_{i}\in R$ erfüllt. Wir schreiben ${}q=a/b$ mit ${}a,b\in R$, ${}b\neq 0$, wobei wir annehmen können, dass die Darstellung gekürzt ist, dass also ${}a$ und ${}b\in R$ keinen gemeinsamen Primteiler besitzen. Wir haben zu zeigen, dass ${}b$ eine Einheit in ${}R$ ist, da dann ${}q=ab^{-1}$ zu ${}R$ gehört.

Wir multiplizieren die obige Ganzheitsgleichung mit ${}b^{n}$ und erhalten in ${}R$

${}a^{n}+{\left(r_{n-1}b\right)}a^{n-1}+{\left(r_{n-2}b^{2}\right)}a^{n-2}+\cdots +{\left(r_{1}b^{n-1}\right)}a+{\left(r_{0}b^{n}\right)}=0\,.$

Wenn ${}b$ keine Einheit ist, dann gibt es einen Primteiler ${}p$ von ${}b$. Dieser teilt alle Summanden ${}{\left(r_{n-i}b^{i}\right)}a^{n-i}$ für ${}i\geq 1$ und daher auch den ersten, also ${}a^{n}$. Das bedeutet aber, dass ${}a$ selbst ein Vielfaches von ${}p$ ist im Widerspruch zur vorausgesetzten Teilerfremdheit.

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Satz

Es sei ${}R$ ein normaler Integritätsbereich und sei ${}S\subseteq R$ ein multiplikatives System.

Dann ist auch die Nenneraufnahme ${}R_{S}$ normal.

Beweis

Siehe Aufgabe 23.1.

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Definition

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich und ${}Q(R)$ sein Quotientenkörper. Dann nennt man den ganzen Abschluss von ${}R$ in ${}Q(R)$ die Normalisierung von ${}R$.

Die Normalisierung ist nach Korollar 22.7 ein Unterring des Quotientenkörpers. Es ist eine nichttriviale Tatsache, dass falls ${}R$ von endlichem Typ über einem Körper ist, dann auch die Normalisierung davon von endlichem Typ ist.

Lemma

Es sei ${}R$ ein normaler Integritätsbereich und ${}a\in R$. Wenn es ein Element ${}x\in Q(R)$ mit ${}x^{k}=a$ gibt, so ist bereits ${}x\in R$.

Beweis

Die Voraussetzung bedeutet, dass ${}x\in Q(R)$ ganz über ${}R$ ist, da es die Ganzheitsgleichung

${}X^{k}-a=0\,$

erfüllt. Also ist ${}x\in R$ wegen der Normalität.

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Dedekindbereiche

Satz

Hauptidealbereiche sind Dedekindbereiche.

Beweis

Die Normalität folgt aus Satz 6.5 und Satz 23.2. Die Eigenschaft noethersch folgt, da in einem Hauptidealbereich jedes Ideal sogar von einem Element erzeugt wird. Die Maximalität der von ${}0$ verschiedenen Primideale folgt aus Satz 6.9.

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