Kurs:Kommutative Algebra/Teil I/Vorlesung 24

Diskrete Bewertungsringe

Definition

Ein diskreter Bewertungsring ${}R$ ist ein Hauptidealbereich mit der Eigenschaft, dass es bis auf Assoziiertheit genau ein Primelement in ${}R$ gibt.

Lemma

Ein diskreter Bewertungsring ist

ein lokaler, noetherscher Hauptidealbereich mit genau zwei Primidealen, nämlich ${}0$ und dem maximalen Ideal ${}{\mathfrak {m}}$.

Beweis

Ein diskreter Bewertungsring ist kein Körper. In einem Hauptidealbereich, der kein Körper ist, wird jedes maximale Ideal von einen Primelement erzeugt, und die Primerzeuger zu verschiedenen maximalen Idealen können nicht assoziiert sein. Also gibt es genau ein maximales Ideal. Nach Satz 23.6 ist ein Hauptidealbereich insbesondere ein Dedekindbereich, sodass es als weiteres Primideal nur noch das Nullideal gibt.

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Definition

Zu einem Element $f\in R,\,f\neq 0$, in einem diskreten Bewertungsring mit Primelement ${}p$ heißt die Zahl ${}n\in \mathbb {N}$ mit der Eigenschaft ${}f=up^{n}$, wobei ${}u$ eine Einheit bezeichnet, die Ordnung von ${}f$. Sie wird mit ${}\operatorname {ord} \,(f)$ bezeichnet.

Die Ordnung ist also nichts anderes als der Exponent zum (bis auf Assoziiertheit) einzigen Primelement in der Primfaktorzerlegung. Sie hat folgende Eigenschaften.

Lemma

Es sei ${}R$ ein diskreter Bewertungsring mit maximalem Ideal ${}{\mathfrak {m}}=(p)$.

Dann hat die Ordnung

$R\setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {N} ,\,f\longmapsto \operatorname {ord} \,(f),$

folgende Eigenschaften.

1. ${}\operatorname {ord} \,(fg)=\operatorname {ord} \,(f)+\operatorname {ord} \,(g)$.
2. ${}\operatorname {ord} \,(f+g)\geq \operatorname {min} \left(\operatorname {ord} \,(f),\,\operatorname {ord} \,(g)\right)$.
3. Es ist ${}f\in {\mathfrak {m}}$ genau dann, wenn ${}\operatorname {ord} \,(f)\geq 1$ ist.
4. Es ist ${}f\in R^{\times }$ genau dann, wenn ${}\operatorname {ord} \,(f)=0$ ist.

Beweis

Siehe Aufgabe 24.1.

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Wir wollen eine wichtige Charakterisierung für diskrete Bewertungsringe beweisen, die insbesondere beinhaltet, dass ein normaler lokaler Integritätsbereich mit genau zwei Primidealen bereits ein diskreter Bewertungsring ist.

Satz

Es sei ${}R$ ein noetherscher lokaler Integritätsbereich mit der Eigenschaft, dass es genau zwei Primideale ${}0\subset {\mathfrak {m}}$ gibt. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}R$ ist ein diskreter Bewertungsring.
2. ${}R$ ist ein Hauptidealbereich.
3. ${}R$ ist faktoriell.
4. ${}R$ ist normal.
5. ${}{\mathfrak {m}}$ ist ein Hauptideal.

Beweis

${}(1)\Rightarrow (2)$ folgt direkt aus der Definition 24.1.

${}(2)\Rightarrow (3)$ folgt aus Satz 9.3.

${}(3)\Rightarrow (4)$ folgt aus Satz 23.2.

${}(4)\Rightarrow (5)$. Es sei ${}f\in {\mathfrak {m}}$, ${}f\neq 0$. Dann ist ${}R/(f)$ ein noetherscher lokaler Ring mit nur einem Primideal (nämlich ${}{\tilde {\mathfrak {m}}}={\mathfrak {m}}R/(f)$). Daher gibt es nach Lemma 22.1 ein ${}n\in \mathbb {N}$ mit ${}{\tilde {\mathfrak {m}}}^{n}=0$. Zurückübersetzt nach ${}R$ heißt das, dass ${}{\mathfrak {m}}^{n}\subseteq (f)$ gilt. Wir wählen ${}n$ minimal mit den Eigenschaften

${\mathfrak {m}}^{n}\subseteq (f)\,\,{\text{ und }}\,\,{\mathfrak {m}}^{n-1}\not \subseteq (f).$

Wähle $g\in {\mathfrak {m}}^{n-1}$ mit $g\not \in (f)$ und betrachte

${}h:={\frac {f}{g}}\in Q(R)\,$

(es ist ${}g\neq 0$). Das Inverse, also ${}h^{-1}={\frac {g}{f}}$, gehört nicht zu ${}R$, sonst wäre ${}g\in (f)$. Da ${}R$ nach Voraussetzung normal ist, ist ${}h^{-1}$ auch nicht ganz über ${}R$. Nach dem Modulkriterium Lemma 22.6 für die Ganzheit gilt insbesondere für das maximale Ideal ${}{\mathfrak {m}}\subset R$ die Beziehung

${}h^{-1}{\mathfrak {m}}\not \subseteq {\mathfrak {m}}\,$

ist. Nach Wahl von ${}g$ ist aber auch

${}h^{-1}{\mathfrak {m}}={\frac {g}{f}}{\mathfrak {m}}\subseteq {\frac {{\mathfrak {m}}^{n}}{f}}\subseteq R\,.$

Daher ist ${}h^{-1}{\mathfrak {m}}$ ein Ideal in ${}R$, das nicht im maximalen Ideal enthalten ist. Also ist ${}h^{-1}{\mathfrak {m}}=R$. Das heißt einerseits ${}h\in {\mathfrak {m}}$ und andererseits gilt für ein beliebiges ${}x\in {\mathfrak {m}}$ die Beziehung ${}h^{-1}x\in R$, also ${}x=h(h^{-1}x)$, also ${}x\in (h)$ und somit ${}(h)={\mathfrak {m}}$.

${}(5)\Rightarrow (1)$. Sei ${}{\mathfrak {m}}=(\pi )$. Dann ist ${}\pi$ ein Primelement und zwar bis auf Assoziiertheit das einzige. Es sei ${}f\in R$, ${}f\neq 0$ keine Einheit. Dann ist ${}f\in {\mathfrak {m}}$ und daher ${}f=\pi g_{1}$. Dann ist ${}g_{1}$ eine Einheit oder ${}g_{1}\in {\mathfrak {m}}$. Im zweiten Fall ist wieder ${}g_{1}=\pi g_{2}$ und ${}f=\pi ^{2}g_{2}$.

Wir behaupten, dass man ${}f=\pi ^{k}u$ mit einem ${}k\in \mathbb {N}$ und einer Einheit ${}u$ schreiben kann. Andernfalls könnte man ${}f=\pi ^{n}g_{n}$ mit beliebig großem ${}n$ schreiben. Nach Lemma 22.1 gibt es ein ${}m\in \mathbb {N}$ mit ${}(\pi ^{m})={\mathfrak {m}}^{m}\subseteq (f)$. Bei ${}n\geq m+1$ ergibt sich ${}\pi ^{m}=af=a\pi ^{m+1}b$ und der Widerspruch ${}1=ab\pi$.

Es lässt sich also jede Nichteinheit ${}\neq 0$ als Produkt einer Potenz des Primelements mit einer Einheit schreiben. Insbesondere ist ${}R$ faktoriell. Für ein beliebiges Ideal ${}{\mathfrak {a}}=(f_{1},\ldots ,f_{s})$ ist ${}f_{i}=\pi ^{n_{i}}u_{i}$ mit Einheiten ${}u_{i}$. Dann sieht man leicht, dass ${}{\mathfrak {a}}=(\pi ^{n})$ ist mit ${}n=\min _{i}\{n_{i}\}$.

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Beispiel

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}K[X]$ der Polynomring und ${}R=K[X]_{(X)}$ die Lokalisierung am maximalen Ideal ${}{\mathfrak {m}}=(X)$. Dann ist ${}R$ ein diskreter Bewertungsring. Die beiden einzigen Primideale von ${}R$ sind ${}(0)\subset (X)$, und ein Hauptidealbereich liegt vor, da ja ${}K[X]$ ein Hauptidealbereich ist. Da es nur ein maximales Ideal gibt, kann es bis auf Assoziiertheit auch nur ein Primelement geben, nämlich ${}X$.

Beispiel

Es sei ${}p$ eine Primzahl und sei ${}R=\mathbb {Z} _{(p)}$ die Lokalisierung am maximalen Ideal ${}{\mathfrak {m}}=(p)$. Dann ist ${}R$ ein diskreter Bewertungsring. Die beiden einzigen Primideale von ${}R$ sind ${}(0)\subset (p)$, und ein Hauptidealbereich liegt vor, da ja ${}\mathbb {Z}$ ein Hauptidealbereich ist. Da es nur ein maximales Ideal gibt, kann es bis auf Assoziiertheit auch nur ein Primelement geben, nämlich ${}p$.

Beispiel

Es sei ${}A$ ein Hauptidealbereich und ${}{\mathfrak {m}}\subseteq A$ ein maximales Ideal. Dieses ist ein Hauptideal und wird durch ein Primelement, sagen wir ${}{\mathfrak {m}}=(p)$, erzeugt. Die Lokalisierung

${}R=A_{\mathfrak {m}}={\left\{{\frac {f}{g}}\mid f\in A,\,g\not \in {\mathfrak {m}}\right\}}\,$

ist nach Satz 16.3 ein lokaler Ring mit dem maximalen Ideal ${}{\mathfrak {m}}A_{\mathfrak {m}}$, das ebenfalls von ${}p$ erzeugt wird. Alle Primelemente ${}q\in A$, die nicht zu ${}p$ assoziiert sind, werden in der Lokalisierung zu Einheiten. Daher gibt es in der Lokalisierung bis auf Assoziiertheit genau ein Primelement, und somit liegt ein diskreter Bewertungsring vor. Für ${}A=\mathbb {Z}$ und eine Primzahl ${}p$ ist ${}\mathbb {Z} _{(p)}\subseteq \mathbb {Q}$ der Unterring der rationalen Zahlen, deren Nenner kein Vielfaches von ${}p$ sind.

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