Kurs:Lineare Algebra/Teil I/12/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	3	9	4	4	4	4	4	2	4	6	6	2	3	3	1	65

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Verknüpfung ${}\circ$ auf einer Menge ${}M$.
2. Äquivalente (inhomogene) lineare Gleichungssysteme zur gleichen Variablenmenge über einem Körper ${}K$.
3. Die inverse Matrix zu einer invertierbaren Matrix ${}M\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ über einem Körper ${}K$.
4. Das Signum einer Permutation ${}\pi$ auf ${}{\{1,\ldots ,n\}}$.
5. Ein ${}\varphi$-invarianter Untervektorraum ${}U\subseteq V$ zu einem Endomorphismus

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   auf einem ${}K$- Vektorraum ${}V$.

6. Eine Matrix in jordanscher Normalform.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über den Rang von einer Matrix und einer linearen Abbildung.
2. Der Satz über die natürliche Abbildung ins Bidual.
3. Der Satz über die jordansche Normalform für einen nilpotenten Endomorphismus.

Aufgabe * (3 Punkte)

Eine Bahncard ${}25$, mit der man ein Jahr lang ${}25$ Prozent des Normalpreises einspart, kostet ${}62$ Euro und eine Bahncard ${}50$, mit der man ein Jahr lang ${}50$ Prozent des Normalpreises einspart, kostet ${}255$ Euro. Für welchen Jahresgesamtnormalpreis ist keine Bahncard, die Bahncard ${}25$ oder die Bahncard ${}50$ die günstigste Option?

Aufgabe * (9 (4+5) Punkte)

a) Zeige, dass die drei reellen Matrizen

${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\-{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}$

bezüglich der Matrizenmultiplikation eine Gruppe bilden.

b) Zeige, dass die sechs reellen Matrizen

${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\-{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\-{\frac {\sqrt {3}}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\{\frac {\sqrt {3}}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}$

bezüglich der Matrizenmultiplikation eine Gruppe bilden.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme, ob die drei Funktionen

$f,g,h\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

mit ${}f(x)=x$, ${}g(x)=\sin x$ und ${}h(x)=\cos x$ linear abhängig sind.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei eine lineare Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

mit

$\varphi {\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}},\,\varphi {\begin{pmatrix}1\\4\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}{\text{ und }}\varphi {\begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}7\\2\end{pmatrix}}$

gegeben. Berechne

$\varphi {\begin{pmatrix}3\\-5\\4\end{pmatrix}}.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}K$- Vektorräume. Zeige, dass ${}V$ und ${}W$ genau dann zueinander isomorph sind, wenn ihre Dimension übereinstimmt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}M$ eine ${}n\times n$- Matrix über dem Körper ${}K$. Es sei

${}NM=0\,$

für jede ${}n\times n$-Matrix ${}N$ vom Rang ${}1$. Zeige

${}M=0\,.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Matrixbeschreibung für die duale Abbildung.

Aufgabe * (2 Punkte)

Löse das lineare Gleichungssystem

${}{\begin{pmatrix}4&3\\-1&5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\7\end{pmatrix}}\,$

mit Hilfe der Cramerschen Regel.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}V$ der reelle Vektorraum der Polynome vom Grad ${}\leq 4$ mit der Basis

$x^{i},0\leq i\leq 4.$

Erstelle für die Ableitungsabbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow V,\,P\longmapsto P',$

die beschreibende Matrix bezüglich dieser Basis.

Bestimme den Kern und das Bild dieser Abbildung sowie deren Dimensionen.

Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei ${}I$ eine endliche Menge und

$\varphi \colon I\longrightarrow I$

eine Abbildung. Zeige, dass man ${}\varphi$ als die Hintereinanderschaltung

${}\varphi =\tau _{1}\circ \cdots \circ \tau _{k}\circ \rho _{1}\circ \cdots \circ \rho _{m}\,$

schreiben kann, wobei die ${}\tau _{i}$ Transpositionen und die ${}\rho _{j}$ Abbildungen derart sind, dass es ${}r,s\in I$ gibt mit

${}\rho {|}_{I\setminus \{r\}}=\operatorname {Id} _{I\setminus \{r\}}\,$

und

${}\rho (r)=s\,.$

Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}n$ verschiedene Elemente ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$ und ${}n$ Elemente ${}b_{1},\ldots ,b_{n}\in K$ gegeben. Zeige, dass es ein eindeutiges Polynom ${}P\in K[X]$ vom Grad ${}\leq n-1$ derart gibt, dass ${}P(a_{i})=b_{i}$ für alle ${}i$ ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

Berechne das Ergebnis, wenn man im Polynom

$X^{3}-4X+2$

die Variable ${}X$ durch die ${}2\times 2$- Matrix

${\begin{pmatrix}3&-2\\1&5\end{pmatrix}}$

ersetzt.

Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)

a) Man gebe ein Beispiel für eine ${}4\times 4$- Permutationsmatrix, bei der in jeder Diagonalen (Haupt-, Neben- und Gegendiagonalen) höchstens eine ${}1$ steht.

b) Zeige, dass es keine Lösung zu a) gibt, bei der ${}a_{11}=1$ ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme, ob die reelle Matrix

${\begin{pmatrix}-4&-1&-2&3\\6&7&7&1\\0&0&3&-2\\0&0&6&2\end{pmatrix}}$

trigonalisierbar ist oder nicht.

Aufgabe * (1 Punkt)

Es sei ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum, den wir auch als affinen Raum über sich selbst auffassen. Es seien ${}v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$. Zeige, dass die Familie dieser Vektoren genau dann linear unabhängig ist, wenn die Familie ${}0,v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$ affin unabhängig ist.