Kurs:Lineare Algebra/Teil I/22/Klausur/kontrolle
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | |
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Punkte | 3 | 3 | 3 | 5 | 6 | 8 | 3 | 2 | 4 | 3 | 4 | 2 | 6 | 4 | 4 | 4 | 64 |
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Löse das lineare Gleichungssystem
Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme die Übergangsmatrizen und für die Standardbasis und die durch die Vektoren
gegebene Basis im .
Aufgabe * (6 Punkte)Referenznummer erstellen
Man gebe ein Beispiel für einen Körper , eine kommutative Gruppe und eine Abbildung
derart, dass diese Struktur alle Vektorraumaxiome außer
erfüllt.
Aufgabe * (8 Punkte)Referenznummer erstellen
Beweise den Basisaustauschsatz.
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme, welche der folgenden elementargeometrischen Abbildungen linear, welche diagonalisierbar und welche trigonalisierbar sind.
- Die Achsenspiegelung durch die durch gegebene Achse.
- Die Verschiebung um den Vektor .
- Die Drehung um Grad gegen den Uhrzeigersinn um den Ursprung.
- Die Punktspiegelung mit dem Punkt als Zentrum.
Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme den Rang der Matrix
Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei eine untere Dreiecksmatrix. Zeige, ausgehend von der Definition der Determinante, dass die Determinante von das Produkt der Diagonaleinträge ist (es darf verwendet werden, dass die Determinante zu einer Matrix mit einer Nullzeile gleich ist).
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei . Zeige, dass es gleich viele gerade und ungerade Permutationen auf gibt.
Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Formuliere und beweise die Lösungsformel für eine quadratische Gleichung
mit , .
Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein Körper, und ein Polynom mit .
- Zeige, dass und teilerfremd sind.
- Es sei . Zeige, dass und teilerfremd sind.
Aufgabe * (6 (2+3+1) Punkte)Referenznummer erstellen
Wir betrachten die lineare Abbildung
die bezüglich der Standardbasis durch die Matrix
beschrieben wird.
a) Bestimme das charakteristische Polynom und die Eigenwerte von .
b) Berechne zu jedem Eigenwert einen Eigenvektor.
c) Stelle die Matrix für bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren auf.
Aufgabe (4 (2+1+1) Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum. Es sei
eine nilpotente lineare Abbildung. Der Kern von sei eindimensional. Es sei
und die minimale Zahl mit
- Zeige, dass alle
, ,
eine
direkte Zerlegung
mit eindimensional haben.
- Zeige, dass die Einschränkungen
für bijektiv sind.
- Zeige, dass mit der Dimension von übereinstimmt.
Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Wie viele jordansche Normalformen (bis auf Ähnlichkeit) zu -Matrizen gibt es, bei denen in der Diagonalen der konstante Wert steht?
Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Beweise den Festlegungssatz für affine Abbildungen.