Kurs:Lineare Algebra/Teil I/23/Klausur
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Punkte | 3 | 3 | 1 | 4 | 4 | 4 | 1 | 8 | 1 | 6 | 4 | 3 | 3 | 4 | 7 | 4 | 4 | 64 |
Aufgabe * (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Ein inverses Element zu einem Element bezüglich einer
Verknüpfung
mit einem neutralen Element .
- Ein kommutativer Ring .
- Die transponierte Matrix zu einer -Matrix .
- Der -te Standardvektor im .
- Eine
multilineare
Abbildung
wobei Vektorräume über einem Körper sind.
- Das
Minimalpolynom
zu einer
linearen Abbildung
auf einem endlichdimensionalen - Vektorraum .
Aufgabe * (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über Vektoren in einem - dimensionalen - Vektorraum .
- Der Satz über die universelle Eigenschaft der Determinante.
- Der Festlegungssatz für affine Abbildungen.
Aufgabe * (1 Punkt)
Aufgabe * (4 Punkte)
Beweise
Aufgabe * (4 Punkte)
Löse das inhomogene Gleichungssystem
Aufgabe * (4 Punkte)
Beweise den Satz über die Dimension eines Untervektorraum .
Aufgabe * (1 Punkt)
Bestimme den Rang der Matrix
zu .
Aufgabe * (8 Punkte)
Beweise den Satz über die natürliche Abbildung eines Vektorraumes in sein Bidual.
Aufgabe * (1 Punkt)
Berechne die Determinante der Matrix
Aufgabe * (6 Punkte)
Wir betrachten die durch die Wertetabelle
gegebene Permutation zu
Bestimme das Signum von auf möglichst viele unterschiedliche Arten.
Aufgabe * (4 Punkte)
Von einem Rechteck sind der Umfang und die Fläche bekannt. Bestimme die Längen der Seiten des Rechtecks.
Aufgabe * (3 (2+1) Punkte)
Es sei .
- Führe in die Division mit Rest „ durch “ für die beiden Polynome und durch.
- Finde eine Darstellung der mit diesen beiden Polynomen.
Aufgabe * (3 Punkte)
Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum. Es sei
eine lineare Abbildung und sei das Minimalpolynom von . Zeige, dass genau dann eine Nullstelle von ist, wenn nicht injektiv ist.
Aufgabe * (4 Punkte)
Zeige, dass das charakteristische Polynom zu einer linearen Abbildung auf einem endlichdimensionalen - Vektorraum wohldefiniert ist, also unabhängig von der gewählten Basis.
Aufgabe * (7 Punkte)
Es sei ein - dimensionaler - Vektorraum über einem Körper . Es sei
eine Fahne in . Zeige, dass es eine bijektive lineare Abbildung
derart gibt, dass diese Fahne die einzige - invariante Fahne ist.
Aufgabe * (4 Punkte)
Aufgabe * (4 Punkte)
Finde eine affine Basis für die Lösungsmenge der inhomogenen Gleichung