Kurs:Lineare Algebra/Teil I/25/Klausur/kontrolle
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | |
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Punkte | 3 | 3 | 2 | 2 | 8 | 1 | 4 | 8 | 5 | 6 | 1 | 2 | 3 | 4 | 3 | 4 | 2 | 3 | 64 |
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Bei der Onlinepartnervermittlung „e-Tarzan meets e-Jane“ verliebt sich alle elf Minuten ein Single. Wie lange (in gerundeten Jahren) dauert es, bis sich alle erwachsenen Menschen in Deutschland (ca. ) verliebt haben, wenn ihnen allein dieser Weg zur Verfügung steht.
Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Gilt für quadratische Matrizen die erste binomische Formel?
Aufgabe * (8 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein Vektorraum und
eine Familie von Vektoren in . Zeige, dass die Familie genau dann eine Basis von bildet, wenn es sich um ein minimales Erzeugendensystem handelt (d.h. sobald man einen Vektor weglässt, liegt kein Erzeugendensystem mehr vor).
Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen
Wie lautet die Matrix, die bezüglich der Standardbasis die Vierteldrehung im gegen den Uhrzeigensinn beschreibt?
Aufgabe * (4 (1+1+2) Punkte)Referenznummer erstellen
Die Zeitungen und verkaufen Zeitungsabos und konkurrieren dabei um einen lokalen Markt mit potentiellen Lesern. Dabei sind innerhalb eines Jahres folgende Kundenbewegungen zu beobachten.
- Die Abonnenten von bleiben zu bei , wechseln zu , wechseln zu und werden Nichtleser.
- Die Abonnenten von bleiben zu bei , wechseln zu , wechseln zu und werden Nichtleser.
- Die Abonnenten von bleiben zu bei , wechseln zu , wechseln zu und werden Nichtleser.
- Von den Nichtlesern entscheiden sich je für ein Abonnement von oder , die übrigen bleiben Nichtleser.
a) Erstelle die Matrix, die die Kundenbewegungen innerhalb eines Jahres beschreibt.
b) In einem bestimmten Jahr haben alle drei Zeitungen je Abonnenten und es gibt Nichtleser. Wie sieht die Verteilung ein Jahr später aus?
c) Die drei Zeitungen expandieren in eine zweite Stadt, wo es bislang überhaupt keine Zeitungen gibt, aber ebenfalls potentielle Leser. Wie viele Leser haben dort die einzelnen Zeitungen (und wie viele Nichtleser gibt es noch) nach drei Jahren, wenn dort die gleichen Kundenbewegungen zu beobachten sind?
Aufgabe * (8 Punkte)Referenznummer erstellen
Beweise die Dimensionsformel für eine lineare Abbildung
Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei eine lineare Abbildung auf einem endlichdimensionalen - Vektorraum . Es sei . Zeige, dass es genau dann eine direkte Summenzerlegung in invariante Untervektorräume der Dimension bzw. gibt, wenn es eine Basis von gibt, bezüglich der die beschreibende Matrix von die Gestalt
besitzt.
Aufgabe * (6 (4+1+1) Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei
und
a) Beschreibe den Untervektorraum der - Matrizen, die den Untervektorraum in den Untervektorraum abbilden, als Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems.
b) Beschreibe durch ein eliminiertes Gleichungssystem.
c) Bestimme die Dimension von .
Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen
Bestimme die Determinante zur Matrix
Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)Referenznummer erstellen
- Berechne das Produkt
im Polynomring .
- Berechne das Produkt
in auf zwei verschiedene Arten.
Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Es sei ein Polynom und . Zeige, dass genau dann eine Nullstelle von ist, wenn ein Vielfaches des linearen Polynoms ist.
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum und seien lineare Abbildungen, von denen die charakteristischen Polynome bekannt seien. Kann man daraus das charakteristische Polynom von bestimmen?
Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei eine nilpotente Abbildung mit . Beschreibe die Umkehrabbildung von .
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Eine lineare Abbildung
werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix
beschrieben. Finde eine Basis, bezüglich der durch die Matrix
beschrieben wird.