Kurs:Lineare Algebra/Teil I/5/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 3 }
\renewcommand{\avier}{ 2 }
\renewcommand{\afuenf}{ 12 }
\renewcommand{\asechs}{ 3 }
\renewcommand{\asieben}{ 3 }
\renewcommand{\aacht}{ 5 }
\renewcommand{\aneun}{ 5 }
\renewcommand{\azehn}{ 6 }
\renewcommand{\aelf}{ 5 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 6 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 3 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 1 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 64 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellefuenfzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Die \stichwort {Matrizenmultiplikation} {.}
}{Der von einer Familie von Vektoren
\mathl{v_i,\, i \in I}{,} aus einem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$
\stichwort {aufgespannte Untervektorraum} {.}
}{Die \stichwort {Elementarmatrizen} {.}
}{Eine \stichwort {Determinantenfunktion} {} \maabbdisp {\triangle} {V^n} {K } {,} wobei $V$ ein $n$-\definitionsverweis {dimensionaler}{}{} \definitionsverweis {Vektorraum}{}{} über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ ist.
}{Ein \stichwort {Gruppenhomomorphismus} {} zwischen \definitionsverweis {Gruppen}{}{} \mathkor {} {(G, \circ, e_G)} {und} {(H, \circ, e_H)} {.}
}{Ein \stichwort {affiner Raum} {} über einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$. }
}
{
\aufzaehlungsechs{Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und es sei $A$ eine
$m \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
und $B$ eine $n\times p$-Matrix über $K$. Dann ist das Matrixprodukt
\mathdisp {AB} { }
diejenige
\mathl{m\times p}{-}Matrix, deren Einträge durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ c_{ik}
}
{ =} {\sum_{j = 1}^n a_{ij} b_{jk}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben sind.
}{Man nennt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \langle v_i ,\, i \in I \rangle
}
{ =} { { \left\{ \sum_{i \in J} s_i v_i \mid s_i \in K , \, J \subseteq I \text{ endliche Teilmenge} \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
den von der Familie aufgespannten Untervektorraum.
}{Mit
\mathl{B_{ij}}{} bezeichnen wir diejenige
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{,}
die an der Stelle
\mathl{(i,j)}{} den Wert $1$ und sonst überall den Wert null hat. Dann nennt man die folgenden Matrizen Elementarmatrizen.
\aufzaehlungdrei{$V_{ij} \defeq E_{ n } - B_{ii} -B_{jj} + B_{ij} +B_{ji}$.
}{$S_k (s) \defeq E_{ n } + (s-1) B_{kk} \text{ für } s \neq 0$.
}{$A_{ij}(a) \defeq E_{ n } + a B_{ij} \text{ für } i \neq j \text{ und } a \in K$.
}
}{Die
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\triangle} {V^n} {K
} {}
heißt \stichwort {Determinantenfunktion} {,} wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind.
\aufzaehlungzwei {$\triangle$ ist multilinear.
} {$\triangle$ ist alternierend.
}
}{Eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\psi} {G} {H
} {}
heißt Gruppenhomomorphismus, wenn die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \psi( g \circ g')
}
{ =} { \psi (g) \circ \psi (g')
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mathl{g,g' \in G}{} gilt.
}{Ein
affiner Raum
über einem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$ ist
\zusatzklammer {die leere Menge oder} {} {}
eine nichtleere Menge $E$ zusammen mit einer Abbildung
\maabbeledisp {} {V \times E} {E
} {(v,P)} { P+v
} {,}
die den drei Bedingungen
\aufzaehlungdrei{
\mathl{P+0= P}{} für alle
\mathl{P \in E}{,}
}{
\mathl{(P+v)+w=P+(v+w)}{} für alle
\mathl{v,w \in V}{} und
\mathl{P \in E}{,}
}{ Zu je zwei Punkten
\mathl{P,Q \in E}{} gibt es genau einen Vektor
\mathl{v \in V}{} mit
\mathl{Q=P+v}{,}
}
genügt.
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze.
\aufzaehlungdrei{Der
\stichwort {Charakterisierungssatz} {}
für eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} in einem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$.}{Der Satz über Ideale in einem Polynomring
\mathl{K[X]}{} in einer Variablen über einem Körper $K$.}{Der Satz über Eigenwerte und das charakteristische Polynom.}
}
{
\aufzaehlungdrei{Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Es sei
\mathl{v_1 , \ldots , v_n \in V}{} eine Familie von Vektoren. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
\aufzaehlungvier{Die Familie ist eine Basis von $V$.
}{Die Familie ist ein minimales Erzeugendensystem, d.h. sobald man einen Vektor $v_i$ weglässt, liegt kein Erzeugendensystem mehr vor.
}{Für jeden Vektor
\mathl{u \in V}{} gibt es genau eine Darstellung
\mathdisp {u= s_1 v_1 + \cdots + s_n v_n} { . }
}{Die Familie ist maximal linear unabhängig, d.h. sobald man irgendeinen Vektor dazunimmt, ist die Familie nicht mehr linear unabhängig.
}}{In einem
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
ist jedes
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
ein
\definitionsverweis {Hauptideal}{}{.}}{Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es sei $V$ ein
$n$-\definitionsverweis {dimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Dann ist
\mathl{\lambda \in K}{} genau dann ein
\definitionsverweis {Eigenwert}{}{}
von $\varphi$, wenn $\lambda$ eine Nullstelle des
\definitionsverweis {charakteristischen Polynoms}{}{}
\mathl{\chi_{ \varphi }}{} ist.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
In einem Hörsaal befindet sich ein Tafelgestell mit drei hintereinander liegenden, vertikal verschiebbaren Tafeln. Diese seien mit $V$ \zusatzklammer {vordere Tafel} {} {,} $M$ \zusatzklammer {mittlere Tafel} {} {} und $H$ \zusatzklammer {hintere Tafel} {} {} bezeichnet. Aufgrund der Höhe des Gestells sind nur \zusatzklammer {maximal} {} {} zwei Tafeln gleichzeitig einsehbar. Die Lehrperson schreibt in der Vorlesung jede Tafel genau einmal voll. In welcher Reihenfolge \zusatzklammer {alle Möglichkeiten} {!} {} muss sie die Tafeln einsetzen, wenn beim Beschreiben einer Tafel stets die zuletzt beschriebene Tafel sichtbar sein soll.
}
{
Die Tafeln \mathkor {} {M} {und} {H} {} sind nicht gleichzeitig sichtbar, da \zusatzklammer {mindestens} {} {} eine davon durch $V$ verdeckt wird. Dagegen sind sowohl \mathkor {} {V} {und} {H} {} \zusatzklammer {$M$ wird hinter $V$ geschoben} {} {} als auch \mathkor {} {V} {und} {M} {} gleichzeitig einsehbar. Eine Beschreibungsreihenfolge erfüllt also genau dann die angegebene Bedingung, wenn \mathkor {} {M} {und} {H} {} nicht direkt hintereinander beschrieben werden. Dies wird genau dann erreicht, wenn $V$ als zweite Tafel beschrieben wird. Erlaubt sind also die beiden Reihenfolgen \mathkor {} {M-V-H} {und} {H-V-M} {.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Es seien $L,M,N$ Mengen und
\mathdisp {f:L \longrightarrow M \text{ und } g:M \longrightarrow N} { }
\definitionsverweis {Abbildungen}{}{}
mit der
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\maabbeledisp {g \circ f} {L} {N
} {x} {g(f(x))
} {.}
Zeige: Wenn $g \circ f$
\definitionsverweis {injektiv}{}{}
ist, so ist auch $f$ injektiv.
}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_1,x_2
}
{ \in }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(x_1)
}
{ = }{ f(x_2)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir müssen zeigen, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_1
}
{ = }{ x_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(g \circ f) (x_1)
}
{ =} {g( f(x_1))
}
{ =} {g( f(x_2))
}
{ =} {(g \circ f) (x_2)
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da nach Voraussetzung
\mathl{g \circ f}{} injektiv ist, folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_1
}
{ = }{ x_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wie gewünscht.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{12}
{
Beweise den
\stichwort {Charakterisierungssatz} {}
für eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} in einem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$.
}
{
Wir führen einen Ringschluss durch. $(1) \Rightarrow (2)$. Die Familie ist ein Erzeugendensystem. Nehmen wir einen Vektor, sagen wir $v_1$, aus der Familie heraus. Wir müssen zeigen, dass dann die verbleibende Familie, also
\mathl{v_2 , \ldots , v_n}{} kein Erzeugendensystem mehr ist. Wenn sie ein Erzeugendensystem wäre, so wäre insbesondere $v_1$ als
\definitionsverweis {Linearkombination}{}{}
der Vektoren darstellbar, d.h. man hätte
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v_1
}
{ =} { \sum_{i = 2}^n s_i v_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dann ist aber
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v_1- \sum_{i = 2}^n s_i v_i
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine nichttriviale Darstellung der $0$, im Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit der Familie.
$(2) \Rightarrow (3)$. Nach Voraussetzung ist die Familie ein Erzeugendensystem, sodass sich jeder Vektor als Linearkombination darstellen lässt. Angenommen, es gibt für ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine mehrfache Darstellung, d.h.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{u
}
{ =} {\sum_{i = 1}^n s_i v_i
}
{ =} {\sum_{i = 1}^n t_i v_i
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei mindestens ein Koeffizient verschieden sei. Ohne Einschränkung sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s_1
}
{ \neq }{ t_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann erhält man die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (s_1 - t_1)v_1
}
{ =} { \sum_{i = 2}^n (t_i- s_i) v_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s_1 - t_1
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
kann man durch diese Zahl dividieren und erhält eine Darstellung von $v_1$ durch die anderen Vektoren. Nach
Aufgabe 6.25 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
ist auch die Familie ohne $v_1$ ein Erzeugendensystem von $V$, im Widerspruch zur Minimalität.
$(3) \Rightarrow (4)$. Wegen der eindeutigen Darstellbarkeit besitzt insbesondere der Nullvektor nur die triviale Darstellung, d.h. die Vektoren sind
\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{.}
Nimmt man einen Vektor $u$ hinzu, so besitzt dieser eine Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ u
}
{ =} { \sum_{i = 1}^n s_i v_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 0
}
{ =} { u- \sum_{i = 1}^n s_i v_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine nichttriviale Darstellung der $0$, sodass die verlängerte Familie
\mathl{u,v_1 , \ldots , v_n}{} nicht linear unabhängig ist.
$(4) \Rightarrow (1)$. Die Familie ist linear unabhängig, wir müssen zeigen, dass sie auch ein Erzeugendensystem bildet. Es sei dazu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Nach Voraussetzung ist die Familie
\mathl{u,v_1 , \ldots , v_n}{} nicht linear unabhängig, d.h. es gibt eine nichttriviale Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 0
}
{ =} { s u + \sum_{i = 1}^n s_iv_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dabei ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
da andernfalls dies eine nichttriviale Darstellung der $0$ allein mit den linear unabhängigen Vektoren
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} wäre. Daher können wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ u
}
{ =} { - \sum _{i = 1}^n \frac{ s_i}{ s } v_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
schreiben, sodass eine Darstellung von $u$ möglich ist.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {inverse Matrix}{}{}
zu
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 5 & 2 & 1 \\0 & 0 & 2 \end{pmatrix}} { . }
}
{
\matabellezweifuenf {\leitzeilezwei {} {} } {\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 5 & 2 & 1 \\0 & 0 & 2 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
} }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 0 & -13 & 1 \\0 & 0 & 2 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
} }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & - { \frac{ 1 }{ 13 } } \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ { \frac{ 5 }{ 13 } } & - { \frac{ 1 }{ 13 } } & 0 \\0 & 0 & { \frac{ 1 }{ 2 } } \end{pmatrix}
} }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ { \frac{ 5 }{ 13 } } & - { \frac{ 1 }{ 13 } } & { \frac{ 1 }{ 26 } } \\0 & 0 & { \frac{ 1 }{ 2 } } \end{pmatrix}
} }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} -{ \frac{ 2 }{ 13 } } & { \frac{ 3 }{ 13 } } & - { \frac{ 3 }{ 26 } } \\ { \frac{ 5 }{ 13 } } & - { \frac{ 1 }{ 13 } } & { \frac{ 1 }{ 26 } } \\0 & 0 & { \frac{ 1 }{ 2 } } \end{pmatrix}
} }
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Drücke die Vektoren
\mathl{u_1^*,u_2^*}{} der
\definitionsverweis {Dualbasis}{}{}
zur Basis
\mathl{u_1 = \begin{pmatrix} 1 \\3 \end{pmatrix},\, u_2 = \begin{pmatrix} 2 \\-5 \end{pmatrix}}{} im $\R^2$ als
\definitionsverweis {Linearkombinationen}{}{}
bezüglich der Standarddualbasis
\mathl{e_1^*,e_2^*}{} aus.
}
{
Wir invertieren die Matrix
\mathl{\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -5 \end{pmatrix}}{.}
\matabellezweivier {\leitzeilezwei {} {} } {\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -5 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
} }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -11 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ - 3 & 1 \end{pmatrix}
} }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ { \frac{ 3 }{ 11 } } & - { \frac{ 1 }{ 11 } } \end{pmatrix}
} }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} { \frac{ 5 }{ 11 } } & { \frac{ 2 }{ 11 } } \\ { \frac{ 3 }{ 11 } } & - { \frac{ 1 }{ 11 } } \end{pmatrix}
} }
Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{u_1^*
}
{ =} { { \frac{ 5 }{ 11 } } e_1^* + { \frac{ 2 }{ 11 } } e_2^*
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{u_2^*
}
{ =} { { \frac{ 3 }{ 11 } } e_1^* - { \frac{ 1 }{ 11 } } e_2^*
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{
Zeige, dass im Polynomring
\mathl{K[X]}{} über einem Körper $K$ jedes
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
ein
\definitionsverweis {Hauptideal}{}{}
ist.
}
{
Es sei $I$ ein von $0$ verschiedenes
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
in
\mathl{K[X]}{.} Betrachte die nichtleere Menge
\mathdisp {{ \left\{ \operatorname{grad} \, (P) \mid P \in I, \, P \neq 0 \right\} }} { . }
Diese Menge hat ein Minimum
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
das von einem Element
\mathbed {F \in I} {}
{F \neq 0} {}
{} {} {} {,}
herrührt, sagen wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ = }{ \operatorname{grad} \, (F)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir behaupten, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ = }{(F)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Die Inklusion $\supseteq$ ist klar. Zum Beweis von $\subseteq$ sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben. Aufgrund
von Satz 19.4 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
gilt
\mathdisp {P = F Q + R \text{ mit } \operatorname{grad} \, (R) < \operatorname{grad} \, (F)
\text{ oder } R = 0} { . }
Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ \in }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und der Minimalität von
\mathl{\operatorname{grad} \, (F)}{} kann der erste Fall nicht eintreten. Also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und $P$ ist ein Vielfaches von $F$.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{.}
Es sei eine
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
$M$ über $K$ gegeben. Zeige, dass das
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit dem Minimalpolynom zu $M$ übereinstimmt, wenn man die Matrix über $L$ auffasst.
}
{
Das Polynom $P$ kann man direkt als
\mathl{P \in K[X] \subseteq L[X]}{} auffassen. Es sei $d$ der
\definitionsverweis {Grad}{}{}
von $P$. Es sei $P' \in L[X]$ das Minimalpolynom zu $M$, wenn man die Matrix über $L$ betrachtet. Die Eigenschaft
\mathl{P(M)=0}{} gilt über $K$ und auch über $L$, da die Matrizenoperationen unabhängig vom Körper sind. Daher ist $P$ ein Vielfaches $P'$ in
\mathl{L[X]}{} und der Grad von $P'$ kann allenfalls runtergehen. Da das Minimalpolynom über $K$ den Grad $d$ besitzt, sind die Potenzen
\mathdisp {M^0=E_n,\, M^1,\, M^2 , \ldots , M^{d-1}} { }
\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{}
als Elemente in
\mathl{\operatorname{Mat}_{ n } (K) \cong K^{n^2}}{.} Diese lineare Unabhängigkeit bleibt beim Übergang von $K$ nach $L$ erhalten, da man dies durch das Eliminationsverfahren überprüfen kann. Daher kann es auch über $L$ kein annullierendes Polynom kleineren Grades geben.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{6 (3+3)}
{
a) Es sei $M$ eine $2 \times 2$-\definitionsverweis {Matrix}{}{,} die \definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{,} aber weder \definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{} noch \definitionsverweis {invertierbar}{}{} ist. Zeige, dass $M$ \definitionsverweis {nilpotent}{}{} ist.
b) Man gebe ein Beispiel einer
$3 \times 3$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
$M$, die trigonalisierbar, aber weder diagonalisierbar noch invertierbar, noch nilpotent ist.
}
{
a) Da die Abbildung trigonalisierbar ist, können wir direkt von einer oberen Dreiecksmatrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix}} { }
ausgehen. Das charakteristische Polynom ist
\mathl{(X-a)(X-d)}{.} Bei verschiedenen Eigenwerten wäre die Abbildung nach
Korollar 22.10 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
diagonalisierbar, also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{d
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{d
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
wäre die Determinante nicht $0$ und die Matrix wäre invertierbar. Also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{d
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 0 & b \\ 0 & 0 \end{pmatrix}^2
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und die Matrix ist nilpotent.
b) Wir betrachten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Diese Matrix liegt in oberer Dreiecksform vor, ist also trigonalisierbar. Wegen der letzten Spalte wird $e_3$ auf $0$ abgebildet, die Abbildung ist also nicht invertierbar. Nach
Beispiel 22.12
ist
\mathl{N= \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}{} nicht diagonalisierbar, also ist auch $M$ nicht diagonalisierbar, da sie die direkte Summe von $N$ und der eindimensionalen Nullabbildung beschreibt. Ferner ist $e_1$ ein Eigenvektor von $M$ zum Eigenwert $1$, sodass $M$ nicht nilpotent sein kann.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{5 (3+2)}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.}
a) Charakterisiere die
\definitionsverweis {nilpotenten}{}{}
$2\times 2$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix}} { }
über $K$ mit Hilfe von zwei Gleichungen in den Variablen
\mathl{x,y,z,w}{.}
b) Sind die Gleichungen linear?
}
{
a) Nach
Lemma 27.7 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
ist eine
\mathl{2 \times 2}{-}Matrix genau dann nilpotent, wenn ihr
\definitionsverweis {charakteristisches Polynom}{}{}
gleich $T^2$ ist. Für die gegebene Matrix ist das charakteristische Polynom gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det TE_2 - \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix}
}
{ =} { \det \begin{pmatrix} T-x & -y \\ -z & T-w \end{pmatrix}
}
{ =} {T^2 - (x+w) T +xw-zy
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Matrix ist also genau dann nilpotent, wenn die beiden Gleichungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x+w
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{xw
}
{ =} {zy
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfüllt sind.
b) Die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x+w
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist offenbar linear
\zusatzklammer {die Koeffizienten bezüglich
\mathl{x,y,z,w}{} sind
\mathl{1,0,0,1}{}} {} {,}
die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{xw
}
{ =} {zy
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist nicht linear, da die Variablen nicht mit einem festen Element aus $K$ als Koeffizient in die Gleichung eingehen.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Beweise den Satz über die Beziehung zwischen geometrischer und algebra\-ischer Vielfachheit.
}
{
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ = }{ \dim_{ K } { \left( \operatorname{Eig}_{ \lambda } { \left( \varphi \right) } \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\mathl{v_1 , \ldots , v_m}{} eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von diesem
\definitionsverweis {Eigenraum}{}{,}
die wir durch
\mathl{w_1 , \ldots , w_{n-m}}{} zu einer Basis von $V$
ergänzen.
Bezüglich dieser Basis hat die
\definitionsverweis {beschreibende Matrix}{}{}
die Gestalt
\mathdisp {\begin{pmatrix} \lambda E_m & B \\ 0 & C \end{pmatrix}} { . }
Das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
ist daher
nach Aufgabe .
gleich
\mathl{(X- \lambda)^m \cdot \chi_{ C }}{,} sodass die
\definitionsverweis {algebraische Vielfachheit}{}{}
mindestens $m$ ist.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{6 (2+2+2)}
{
Wir betrachten die Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 4 & 0 & 1 \\ 0 & 4 & -1 \\0 & 0 & 4 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
über $\Q$.
a) Bestimme die \definitionsverweis {jordansche Normalform}{}{} von $M$.
b) Bestimme die kanonische Zerlegung von $M$ in einen \definitionsverweis {diagonalisierbaren}{}{} Anteil und einen \definitionsverweis {nilpotenten}{}{} Anteil.
c) Welche Eigenschaften der kanonischen Zerlegung erfüllt die Zerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 4 & 0 & 1 \\ 0 & 4 & -1 \\0 & 0 & 4 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\0 & 0 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
welche nicht?
}
{
a) Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M -4 E_3
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine Matrix mit Rang $1$, daher ist der
\definitionsverweis {Eigenraum}{}{}
zum
\definitionsverweis {Eigenwert}{}{}
$4$ zweidimensional. Daher hat die jordansche Normalform die Gestalt
\mathdisp {\begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 1 \\0 & 0 & 4 \end{pmatrix}} { . }
b) In der Basis, in der die jordansche Normalform vorliegt, ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 1 \\0 & 0 & 4 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\0 & 0 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dabei ist der Summand links in Diagonalgestalt, also insbesondere dia\-gonal\-isierbar, und der Summand rechts ist nilpotent. Ferner ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\0 & 0 & 4 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\0 & 0 & 4 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
sodass auch die Vertauschbarkeitsbeziehung gilt.
c) Die Summanden sind diagonalisierbar bzw. nilpotent. Ferner ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\0 & 0 & 4 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ =} {\begin{pmatrix} 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & -4 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\0 & 0 & 4 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & -4 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit ist dies ebenfalls die kanonische Zerlegung
\zusatzklammer {allerdings bezüglich einer anderen Basis} {} {.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {\Q^3} {\Q^3
} {}
werde bezüglich der Standardbasis durch die
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} -3 & -6 & -1 \\ 0 & -3 & -2 \\0 & 0 & -3 \end{pmatrix}} { }
beschrieben. Finde eine
\definitionsverweis {Basis}{}{,}
bezüglich der $\varphi$ durch die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} -3 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & 1 \\0 & 0 & -3 \end{pmatrix}} { }
beschrieben wird.
}
{
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} {\begin{pmatrix} -3 & -6 & -1 \\ 0 & -3 & -2 \\0 & 0 & -3 \end{pmatrix} + 3 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ =} {\begin{pmatrix} 0 & -6 & -1 \\ 0 & 0 & -2 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 0 & -6 & -1 \\ 0 & 0 & -2 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 0 & -6 & -1 \\ 0 & 0 & -2 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ =} {\begin{pmatrix} 0 & 0 & 12 \\ 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Der Vektor
\mathl{\begin{pmatrix} 0 \\0\\ 1 \end{pmatrix}}{} gehört nicht zum Kern von $M^2$, daher kann man aus den sukzessiven Bildern davon eine Basis wie gewünscht herstellen. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 1 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & -6 & -1 \\ 0 & 0 & -2 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 1 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} -1 \\-2\\ 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M^2 \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 1 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 12 \\0\\ 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher ist
\mathdisp {\begin{pmatrix} 12 \\0\\ 0 \end{pmatrix}\, , \begin{pmatrix} -1 \\-2\\ 0 \end{pmatrix} \, , \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 1 \end{pmatrix}} { }
eine Basis, bezüglich der die jordansche Normalform
\mathdisp {\begin{pmatrix} -3 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & 1 \\0 & 0 & -3 \end{pmatrix}} { }
vorliegt.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{1}
{
Es sei $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{,}
den wir auch als
\definitionsverweis {affinen Raum}{}{}
über sich selbst auffassen. Es seien
\mathl{v_1 , \ldots , v_n \in V}{.} Zeige, dass die Familie dieser Vektoren genau dann eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $V$ bildet, wenn die Familie
\mathl{0, v_1 , \ldots , v_n \in V}{} eine
\definitionsverweis {affine Basis}{}{}
bildet.
}
{
Nach der
Definition 29.6
ist eine Familie von Punkten
\mathl{P_0, P_1 , \ldots , P_n}{} eines affinen Raumes genau dann eine affine Basis, wenn die Vektorfamilie
\mathl{\overrightarrow{ P_0 P_1 } , \ldots , \overrightarrow{ P_0 P_n }}{} eine Basis ist. Die Aussage der Aufgabe ist mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P_0
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Spezialfall davon.
}