Kurs:Lineare Algebra/Teil I/8/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	${}\sum$
Punkte	3	3	3	5	2	4	5	4	4	5	2	7	10	6	1	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Produktmenge aus zwei Mengen ${}L$ und ${}M$.
2. Die durch eine ${}m\times n$-Matrix ${}M=(a_{ij})_{ij}\in \operatorname {Mat} _{m\times n}(K)$ festgelegte lineare Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow W$

   zwischen ${}K$- Vektorräumen ${}V$ und ${}W$ bezüglich einer Basis ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ von ${}V$ und einer Basis ${}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}$ von ${}W$.

3. Die Determinante eines Endomorphismus

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   auf einem endlichdimensionalen Vektorraum ${}V$.

4. Das Einheitsideal in einem kommutativen Ring ${}R$.
5. Die algebraische Vielfachheit von einem Eigenwert ${}\lambda$ zu einer linearen Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   auf einem endlichdimensionalen ${}K$- Vektorraum ${}V$.

6. Ein affiner Unterraum ${}F\subseteq E$ in einem affinen Raum ${}E$ über dem ${}K$- Vektorraum ${}V$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über isomorphe Vektorräume.
2. Der Nulltest mittels Linearformen.
3. Der Satz über die Beschreibung eines Eigenraums als Kern.

Aufgabe * (3 Punkte)

Erläutere das Prinzip Beweis durch Widerspruch für eine Aussage der Form „Aus ${}A$ folgt ${}B$“.

Aufgabe * (5 (3+2) Punkte)

Es seien ${}M_{1},\ldots ,M_{k}$ und ${}N_{1},\ldots ,N_{k}$ nichtleere Mengen und

$\varphi _{i}\colon M_{i}\longrightarrow N_{i}$

Abbildungen für ${}i=1,\ldots ,k$. Es sei ${}M=M_{1}\times \cdots \times M_{k}$, ${}N=N_{1}\times \cdots \times N_{k}$, und ${}\varphi$ die Produktabbildung, also

$\varphi \colon M\longrightarrow N,\,(x_{1},\ldots ,x_{k})\longmapsto (\varphi _{1}(x_{1}),\ldots ,\varphi _{k}(x_{k})).$

a) Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann surjektiv ist, wenn alle ${}\varphi _{i}$ surjektiv sind.

b) Zeige, dass a) nicht gelten muss, wenn die beteiligten Mengen leer sein dürfen.

Aufgabe * (2 Punkte)

Kevin zahlt für einen Winterblumenstrauß mit ${}3$ Schneeglöckchen und ${}4$ Mistelzweigen ${}2{,}50$ € und Jennifer zahlt für einen Strauß aus ${}5$ Schneeglöckchen und ${}2$ Mistelzweigen ${}2{,}30$ €. Wie viel kostet ein Strauß mit einem Schneeglöckchen und ${}11$ Mistelzweigen?

Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

Ein lineares Ungleichungssystem sei durch die Ungleichungen

${}x\geq 0\,,$

${}y+x\geq 0\,,$

${}-1-y\leq -x\,,$

${}5y-2x\leq 3\,,$

gegeben.

a) Skizziere die Lösungsmenge dieses Ungleichungssystems.

b) Bestimme die Eckpunkte der Lösungsmenge.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es seien ${}a,b,c\in \mathbb {R}$ reelle Zahlen. Wir betrachten die drei Vektoren

${}{\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}c\\a\\b\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}b\\c\\a\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}\,.$

Man gebe Beispiele für ${}a,b,c$ derart, dass der von diesen Vektoren erzeugte Untervektorraum die Dimension ${}0,1,2,3$ besitzt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme den Kern der durch die Matrix

${}M={\begin{pmatrix}2&3&0&-1\\4&2&2&5\end{pmatrix}}\,$

gegebenen linearen Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{4}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Für eine ${}n\times n$- Matrix ${}M=(a_{ij})_{ij}$ sei

${}\delta (M)=\sum _{\pi \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\pi )a_{1\pi (1)}\cdots a_{n\pi (n)}\,.$

Zeige die Gleichheit

${}\delta (M)=\delta {\left({M^{\text{tr}}}\right)}\,$

direkt, ohne die Gleichheit ${}\delta (M)=\det M$ zu verwenden (Eigenschaften des Signums von Permutationen dürfen verwendet werden).

Aufgabe * (5 (2+3) Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Es sei ${}a\in K$ ein fixiertes Element.

a) Zeige, dass

${}{\mathfrak {a}}={\left\{F\in K[X]\mid F(a)=0\right\}}\,$

ein Ideal ist.

b) Bestimme ein Polynom ${}P\in K[X]$ mit

${}{\mathfrak {a}}=(P)\,.$

Aufgabe * (2 Punkte)

Es seien ${}V_{1},\ldots ,V_{n}$ Vektorräume über dem Körper ${}K$ und

$\varphi _{i}\colon V_{i}\longrightarrow V_{i}$

lineare Abbildungen. Es sei ${}a\in K$ ein Eigenwert zu ${}\varphi _{k}$ für ein bestimmtes ${}k$. Zeige, dass ${}a$ auch ein Eigenwert zur Produktabbildung

$\varphi _{1}\times \cdots \times \varphi _{n}\colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow V_{1}\times \cdots \times V_{n}$

ist.

Aufgabe * (7 (3+4) Punkte)

Es sei

${}M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\,$

eine Matrix über einem Körper ${}K$.

a) Zeige, dass es eine zu ${}M$ ähnliche Matrix gibt, in der mindestens ein Eintrag gleich ${}0$ ist.

b) Zeige, dass es nicht unbedingt eine zu ${}M$ ähnliche Matrix geben muss, in der mindestens zwei Einträge gleich ${}0$ sind.

Aufgabe * (10 Punkte)

Beweise den Satz von Cayley-Hamilton.

Aufgabe * (6 (2+2+2) Punkte)

Wir betrachten die Matrix

${}M={\begin{pmatrix}5&2&3\\0&5&6\\0&0&4\end{pmatrix}}\,$

über ${}\mathbb {Q}$.

a) Bestimme die jordansche Normalform von ${}M$.

b) Bestimme die kanonische Zerlegung von ${}M$ in einen diagonalisierbaren Anteil und einen nilpotenten Anteil.

c) Welche Eigenschaften der kanonischen Zerlegung erfüllt die Zerlegung

${}{\begin{pmatrix}5&2&3\\0&5&6\\0&0&4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5&0&0\\0&5&0\\0&0&4\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&2&3\\0&0&6\\0&0&0\end{pmatrix}}\,,$

welche nicht?

Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme, ob im ${}\mathbb {R} ^{3}$ der Ausdruck

${\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}2\\7\\6\end{pmatrix}}+{\frac {1}{3}}{\begin{pmatrix}9\\0\\9\end{pmatrix}}+{\frac {1}{5}}{\begin{pmatrix}5\\5\\2\end{pmatrix}}$

eine baryzentrische Kombination ist.