Kurs:Lineare Algebra/Teil I/9/Klausur/kontrolle


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 1 5 4 3 4 4 8 8 2 2 2 9 3 3 64








Ist die Abbildung

injektiv oder nicht?



Es seien

Funktionen.

a) Zeige die Gleichheit


b) Zeige durch ein Beispiel, dass die Gleichheit

nicht gelten muss.



Löse das folgende lineare Gleichungssystem über dem Körper :



Bestimme die Dimension des von den Vektoren

erzeugten Untervektorraumes des .



Bestimme die inverse Matrix zu



Bestimme den Kern der linearen Abbildung



Beweise die Dimensionsformel für eine lineare Abbildung



Beweise den Satz über die natürliche Abbildung eines Vektorraumes in sein Bidual.



Es sei ein nichtkonstantes Polynom. Zeige, dass die Abbildung

surjektiv ist.



Zu einer - Matrix sei

Zeige, dass ist.



Es sei

mit . Zeige durch Induktion, dass

ist.



Es sei

ein Endomorphismus auf einem endlichdimensionalen - Vektorraum und sei ein Eigenvektor zu zum Eigenwert . Es sei

die duale Abbildung zu . Wir betrachten Basen von der Form mit der Dualbasis . Man gebe Beispiele für das folgende Verhalten.

a) ist Eigenvektor von zum Eigenwert unabhängig von .


b) ist Eigenvektor von zum Eigenwert bezüglich einer Basis , aber nicht bezüglich einer Basis .


c) ist bezüglich keiner Basis ein Eigenvektor von .



Es sei eine Matrix in jordanscher Normalform, wobei nur ein Eigenwert auftrete. Zeige, dass die Anzahl der Jordanblöcke in gleich der Dimension des Eigenraumes ist.



Es sei der Körper mit zwei Elementen und sei

der zweidimensionale Standardraum über . Zeige, dass jede zweielementige Teilmenge eine affine Gerade ist.