Kurs:Lineare Algebra/Teil I/9/Klausur/kontrolle
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | |
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Punkte | 3 | 3 | 1 | 5 | 4 | 3 | 4 | 4 | 8 | 8 | 2 | 2 | 2 | 9 | 3 | 3 | 64 |
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Es seien
Funktionen.
a) Zeige die Gleichheit
b) Zeige durch ein Beispiel, dass die Gleichheit
nicht gelten muss.
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Löse das folgende lineare Gleichungssystem über dem Körper :
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Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme die inverse Matrix zu
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Bestimme den Kern der linearen Abbildung
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Beweise die Dimensionsformel für eine lineare Abbildung
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Beweise den Satz über die natürliche Abbildung eines Vektorraumes in sein Bidual.
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Es sei ein nichtkonstantes Polynom. Zeige, dass die Abbildung
surjektiv ist.
Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen
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Es sei
mit . Zeige durch Induktion, dass
ist.
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Es sei
ein Endomorphismus auf einem endlichdimensionalen - Vektorraum und sei ein Eigenvektor zu zum Eigenwert . Es sei
die
duale Abbildung
zu . Wir betrachten Basen von der Form mit der Dualbasis . Man gebe Beispiele für das folgende Verhalten.
a) ist Eigenvektor von zum Eigenwert unabhängig von .
b) ist Eigenvektor von zum Eigenwert bezüglich einer Basis , aber nicht bezüglich einer Basis .
c) ist bezüglich keiner Basis ein Eigenvektor von .
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Es sei eine Matrix in jordanscher Normalform, wobei nur ein Eigenwert auftrete. Zeige, dass die Anzahl der Jordanblöcke in gleich der Dimension des Eigenraumes ist.
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Es sei der Körper mit zwei Elementen und sei
der zweidimensionale Standardraum über . Zeige, dass jede zweielementige Teilmenge eine affine Gerade ist.