Kurs:Lineare Algebra/Teil II/1/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	1	7	4	5	2	8	1	3	4	4	3	3	2	10	63

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Bestimme das orthogonale Komplement zu dem von ${}{\begin{pmatrix}-2\\8\\9\end{pmatrix}}$ erzeugten Untervektorraum im ${}\mathbb {R} ^{3}$.

Aufgabe * (7 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum und sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung mit der Eigenschaft, dass die Determinante von ${}\varphi$ gleich ${}1$ oder ${}-1$ ist. Ferner besitze ${}\varphi$ die Eigenschaft, dass zueinander orthogonale Vektoren stets auf orthogonale Vektoren abgebildet werden. Zeige, dass ${}\varphi$ eine Isometrie ist.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme den Abstand zwischen dem Punkt ${}{\begin{pmatrix}5\\-6\end{pmatrix}}$ und der durch

${}3x-7y=8\,$

gegebenen Geraden und den Lotfußpunkt des Punktes auf der Geraden.

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Kathetensatz vektoriell.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}V$ ein ${}n$- dimensionaler ${}\mathbb {R}$- Vektorraum mit einer Bilinearform vom Typ ${}(p,q)$ und es sei ${}U\subseteq V$ ein ${}d$-dimensionaler Untervektorraum. Die Einschränkung der Bilinearform sei vom Typ ${}(p',q')$. Zeige

${}p'\geq d+p-n\,.$

Aufgabe * (8 (4+4) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit Skalarprodukt und es sei

${}V=V_{1}\oplus V_{2}\,$

die direkte Summe der Untervektorräume ${}V_{1}$ und ${}V_{2}$. Es seien

$\varphi _{1}\colon V_{1}\longrightarrow V_{1}$

und

$\varphi _{2}\colon V_{2}\longrightarrow V_{2}$

lineare Abbildungen und

${}\varphi =\varphi _{1}\oplus \varphi _{2}\,$

die Summe davon.

1. Die Summenzerlegung sei zusätzlich orthogonal, d.h. ${}V_{1}$ und ${}V_{2}$ stehen senkrecht aufeinander. Zeige

   ${}{\hat {\varphi }}={\hat {\varphi _{1}}}\oplus {\hat {\varphi _{2}}}\,.$

2. Zeige, dass die Aussage aus Teil (1) nicht gilt, wenn die Summenzerlegung nicht orthogonal ist.

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Bestimme, ob die durch die Gaußklammer gegebene Abbildung

$\mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,q\longmapsto \lfloor q\rfloor ,$

ein Gruppenhomomorphismus ist oder nicht.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ eine Menge mit ${}n$ Elementen. Bestimme die Anzahl der Relationen auf ${}M$, die

1. reflexiv
2. symmetrisch
3. reflexiv und symmetrisch

sind.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}{\mathbb {F} }_{q}$ ein endlicher Körper (mit ${}q$ Elementen). Bestimme die Anzahl der Elemente in

$\operatorname {GL} _{n}\!{\left({\mathbb {F} }_{q}\right)}.$

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme, ob die beiden Basen des ${}\mathbb {R} ^{3}$,

${\begin{pmatrix}1\\0\\4\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}2\\4\\-3\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\3\\-5\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\begin{pmatrix}-3\\7\\2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-4\\5\\-1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-6\\0\\11\end{pmatrix}},$

die gleiche Orientierung repräsentieren oder nicht.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass ein Endomorphismus

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

mit endlicher Ordnung auf einem endlichdimensionalen ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum ${}V$ stabil ist.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ eine spaltenstochastische Matrix. Zeige, dass das Bild eines jeden Verteilungsvektors wieder ein Verteilungsvektor ist.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Drücke das Dachprodukt ${}{\begin{pmatrix}2\\3\\2\end{pmatrix}}\wedge {\begin{pmatrix}4\\-1\\5\end{pmatrix}}$ in der Standardbasis von ${}\bigwedge ^{2}\mathbb {R} ^{3}$ aus.

Aufgabe * (10 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über Basen in einem Dachprodukt zu einem endlichdimensionalen ${}K$- Vektorraum ${}V$.