Kurs:Lineare Algebra/Teil II/18/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	3	3	3	1	0	2	0	0	4	3	5	5	0	0	2	3	40

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Abstandsfunktion auf einem Vektorraum ${}V$ über ${}{\mathbb {K} }$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$.
2. Eine lineare Isometrie zwischen ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräumen ${}V$ und ${}W$ mit Skalarprodukt.
3. Der adjungierte Endomorphismus zu einem Endomorphismus

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   auf einem endlichdimensionalen ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum ${}V$ mit Skalarprodukt.

4. Eine Untergruppe ${}H$ in einer Gruppe ${}G$.
5. Die Stetigkeit einer Abbildung

   $f\colon L\longrightarrow M$

   zwischen metrischen Räumen ${}L$ und ${}M$ in einem Punkt ${}x\in L$.

6. Das Tensorprodukt zu einer Familie von ${}K$- Vektorräumen ${}V_{1},\ldots ,V_{n}$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Charakterisierung von reellen Isometrien mit Matrizen.
2. Der Charakterisierungssatz für stabile Endomorphismen.
3. Der Satz über die Dimension des Tensorproduktes.

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass ein normierter ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum durch

${}d(u,v):=\Vert {u-v}\Vert \,$

zu einem metrischen Raum wird.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}K$ der Kreis in ${}\mathbb {R} ^{2}$ mit Mittelpunkt ${}(0,0)$ und dem Radius ${}1$. Es sei ${}P={\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}$ ein Punkt außerhalb des Kreises. Bestimme den Abstand zwischen ${}K$ und ${}P$, und in welchem Kreispunkt er angenommen wird.

Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise den Kosinussatz.

Aufgabe * (1 Punkt)

Skizziere ein Dreieck, bei dem der Höhenschnittpunkt außerhalb des Dreiecks liegt.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}V$ ein Minkowski-Raum mit der Minkowski-Form ${}\left\langle -,-\right\rangle$ und es seien ${}v,w$ gleichgerichtete Beobachtervektoren. Zeige

${}\left\langle v,w\right\rangle <0\,.$

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (4 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

$\operatorname {GL} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)}\longrightarrow \operatorname {GL} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)},\,{\begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}8x-4y+14z-7w&-28x+16y-49z+28w\\2x-y+4z-2w&-7x+4y-14z+8w\end{pmatrix}}.$

Zeige, dass es sich dabei um einen inneren Automorphismus handelt.

Aufgabe * (3 Punkte)

Wie viele Elemente besitzt die von der Drehung um ${}45$ Grad, von der Drehung um ${}99$ Grad und von der Zwölfteldrehung erzeugte Untergruppe der Drehgruppe ${}\operatorname {SO} _{2}$?

Aufgabe * (5 Punkte)

Zeige, dass die Diedergruppen ${}D_{n}$, ${}n\geq 3$, nicht kommutativ sind.

Aufgabe (5 (2+1+1+1) Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}K[X]$ der Polynomring in der einen Variablen ${}X$ über ${}K$ und ${}Q=K(X)$ der Quotientenkörper davon, also der Körper der rationalen Funktionen. Auf ${}Q$ definieren wir die Relation

${}f\sim g\,,$

wenn es Polynome ${}R$ und ${}S$ vom gleichen Grad ${}\geq 1$ mit

${}g={\frac {R}{S}}f\,$

gibt.

1. Zeige, dass durch ${}\sim$ eine Äquivalenzrelation gegeben ist.
2. Bestimme die Äquivalenzklasse zu ${}0$.
3. Es seien ${}A,B,C,D\in K[X]$ Polynome ${}\neq 0$. Zeige, dass

   ${}{\frac {A}{B}}\sim {\frac {C}{D}}\,$

   genau dann gilt, wenn

   ${}\operatorname {grad} \,(A)-\operatorname {grad} \,(B)=\operatorname {grad} \,(C)-\operatorname {grad} \,(D)\,.$

4. Zeige, dass jedes ${}f\in Q$, ${}f\neq 0$, einen eindeutig bestimmten Repräsentanten der Form ${}X^{n}$ mit ${}n\in \mathbb {Z}$ besitzt.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (2 Punkte)

Erstelle die Adjazenzmatrix und die stochastische Matrix zum angegebenen gerichteten Graphen, wobei es für jeden Punkt auch einen Pfeil auf sich selbst gebe.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien ${}V,W$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum und

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung, die bezüglich der Basen ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ von ${}V$ und ${}w_{1},\ldots ,w_{m}$ von ${}W$ durch die Matrix ${}M$ beschrieben werde. Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung. Zeige, dass die ${}L$-lineare Abbildung

$\varphi _{L}\colon V_{L}\longrightarrow W_{L}$

bezüglich der ${}L$-Basen ${}1\otimes v_{1},\ldots ,1\otimes v_{n}$ von ${}V_{L}$ und ${}1\otimes w_{1},\ldots ,1\otimes w_{m}$ von ${}W_{L}$ ebenfalls durch die Matrix ${}M$ beschrieben wird.