Die Pausenaufgabe
Skizziere ein Mengendiagramm, das zu vier Mengen alle möglichen Schnittmengen darstellt.
Ein abstraktes und
Übungsaufgaben
Bestimme für die Mengen
M
=
{
a
,
b
,
c
,
d
,
e
}
,
N
=
{
a
,
c
,
e
}
,
P
=
{
b
}
,
R
=
{
b
,
d
,
e
,
f
}
{\displaystyle M=\{a,b,c,d,e\},\,N=\{a,c,e\},\,P=\{b\},\,R=\{b,d,e,f\}}
die Mengen
M
∩
N
{\displaystyle {}M\cap N}
M
∩
N
∩
P
∩
R
{\displaystyle {}M\cap N\cap P\cap R}
M
∪
R
{\displaystyle {}M\cup R}
(
N
∪
P
)
∩
R
{\displaystyle {}{\left(N\cup P\right)}\cap R}
N
∖
R
{\displaystyle {}N\setminus R}
(
M
∪
P
)
∖
(
R
∖
N
)
{\displaystyle {}{\left(M\cup P\right)}\setminus {\left(R\setminus N\right)}}
(
(
P
∪
R
)
∩
N
)
∩
R
{\displaystyle {}{\left({\left(P\cup R\right)}\cap N\right)}\cap R}
(
R
∖
P
)
∩
(
M
∖
N
)
{\displaystyle {}{\left(R\setminus P\right)}\cap {\left(M\setminus N\right)}}
Skizziere die folgenden Teilmengen im
R
2
{\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}}
{
(
x
,
y
)
∣
x
=
5
}
{\displaystyle {}{\left\{(x,y)\mid x=5\right\}}}
{
(
x
,
y
)
∣
x
≥
4
und
y
=
3
}
{\displaystyle {}{\left\{(x,y)\mid x\geq 4{\text{ und }}y=3\right\}}}
{
(
x
,
y
)
∣
y
2
≥
2
}
{\displaystyle {}{\left\{(x,y)\mid y^{2}\geq 2\right\}}}
{
(
x
,
y
)
∣
|
x
|
=
3
und
|
y
|
≤
2
}
{\displaystyle {}{\left\{(x,y)\mid \vert {x}\vert =3{\text{ und }}\vert {y}\vert \leq 2\right\}}}
{
(
x
,
y
)
∣
3
x
≥
y
und
5
x
≤
2
y
}
{\displaystyle {}{\left\{(x,y)\mid 3x\geq y{\text{ und }}5x\leq 2y\right\}}}
{
(
x
,
y
)
∣
x
y
=
0
}
{\displaystyle {}{\left\{(x,y)\mid xy=0\right\}}}
{
(
x
,
y
)
∣
x
y
=
1
}
{\displaystyle {}{\left\{(x,y)\mid xy=1\right\}}}
{
(
x
,
y
)
∣
x
y
≥
1
und
y
≥
x
3
}
{\displaystyle {}{\left\{(x,y)\mid xy\geq 1{\text{ und }}y\geq x^{3}\right\}}}
{
(
x
,
y
)
∣
0
=
0
}
{\displaystyle {}{\left\{(x,y)\mid 0=0\right\}}}
{
(
x
,
y
)
∣
0
=
1
}
{\displaystyle {}{\left\{(x,y)\mid 0=1\right\}}}
Welche geometrische Gestalt haben die Mengen, in deren Beschreibung nur eine (oder gar keine)
Variable vorkommt?
Es seien
A
,
B
{\displaystyle {}A,\,B}
C
{\displaystyle {}C}
A
∪
∅
=
A
,
{\displaystyle {}A\cup \emptyset =A\,,}
A
∩
∅
=
∅
,
{\displaystyle {}A\cap \emptyset =\emptyset \,,}
A
∩
B
=
B
∩
A
,
{\displaystyle {}A\cap B=B\cap A\,,}
A
∪
B
=
B
∪
A
,
{\displaystyle {}A\cup B=B\cup A\,,}
A
∩
(
B
∩
C
)
=
(
A
∩
B
)
∩
C
,
{\displaystyle {}A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C\,,}
A
∪
(
B
∪
C
)
=
(
A
∪
B
)
∪
C
,
{\displaystyle {}A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C\,,}
A
∩
(
B
∪
C
)
=
(
A
∩
B
)
∪
(
A
∩
C
)
,
{\displaystyle {}A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)\,,}
A
∪
(
B
∩
C
)
=
(
A
∪
B
)
∩
(
A
∪
C
)
,
{\displaystyle {}A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)\,,}
A
∖
(
B
∪
C
)
=
(
A
∖
B
)
∩
(
A
∖
C
)
.
{\displaystyle {}A\setminus (B\cup C)=(A\setminus B)\cap (A\setminus C)\,.}
Skizziere die Menge
M
=
{
(
x
,
y
)
∈
R
2
∣
4
x
−
7
y
=
3
}
{\displaystyle {}M={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid 4x-7y=3\right\}}}
N
=
{
(
x
,
y
)
∈
R
2
∣
3
x
+
2
y
=
5
}
{\displaystyle {}N={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid 3x+2y=5\right\}}}
Bestimme den Durchschnitt
M
∩
N
{\displaystyle {}M\cap N}
Wir betrachten die beiden Mengen
E
=
{
(
x
y
z
)
∈
R
3
∣
−
3
x
+
2
y
−
6
z
=
0
}
{\displaystyle {}E={\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}\mid -3x+2y-6z=0\right\}}\,}
und
F
=
{
(
x
y
z
)
∈
R
3
∣
7
x
−
5
y
−
4
z
=
0
}
.
{\displaystyle {}F={\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}\mid 7x-5y-4z=0\right\}}\,.}
Finde eine Beschreibung für den Durchschnitt
G
:=
E
∩
F
=
{
(
x
y
z
)
∈
R
3
∣
−
3
x
+
2
y
−
6
z
=
0
und
7
x
−
5
y
−
4
z
=
0
}
{\displaystyle {}G:=E\cap F={\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}\mid -3x+2y-6z=0{\text{ und }}7x-5y-4z=0\right\}}\,}
wie in
Beispiel ***** .
Zeige, dass die Menge
{
(
x
,
y
)
∈
Z
2
∣
3
x
+
5
y
=
6
}
{\displaystyle {\left\{(x,y)\in \mathbb {Z} ^{2}\mid 3x+5y=6\right\}}}
nicht leer ist.
Zeige, dass die Menge
{
(
x
,
y
)
∈
Z
2
∣
6
x
+
9
y
=
5
}
{\displaystyle {\left\{(x,y)\in \mathbb {Z} ^{2}\mid 6x+9y=5\right\}}}
leer ist.
Aufgaben zum Abgeben
Skizziere die folgenden Teilmengen im
R
2
{\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}}
{
(
x
,
y
)
∣
|
2
x
|
=
5
und
|
y
|
≥
3
}
{\displaystyle {}{\left\{(x,y)\mid \vert {2x}\vert =5{\text{ und }}\vert {y}\vert \geq 3\right\}}}
{
(
x
,
y
)
∣
−
3
x
≥
2
y
und
4
x
≤
−
5
y
}
{\displaystyle {}{\left\{(x,y)\mid -3x\geq 2y{\text{ und }}4x\leq -5y\right\}}}
{
(
x
,
y
)
∣
y
2
−
y
+
1
≤
4
}
{\displaystyle {}{\left\{(x,y)\mid y^{2}-y+1\leq 4\right\}}}
{
(
x
,
y
)
∣
x
y
=
2
oder
x
2
+
y
2
=
1
}
{\displaystyle {}{\left\{(x,y)\mid xy=2{\text{ oder }}x^{2}+y^{2}=1\right\}}}
Aufgabe (2 (1+1) Punkte)
Skizziere die Menge
M
=
{
(
x
,
y
)
∈
R
2
∣
−
5
x
+
2
y
=
6
}
{\displaystyle {}M={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid -5x+2y=6\right\}}}
N
=
{
(
x
,
y
)
∈
R
2
∣
7
x
−
5
y
=
4
}
{\displaystyle {}N={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid 7x-5y=4\right\}}}
Bestimme den Durchschnitt
M
∩
N
{\displaystyle {}M\cap N}
Gilt für die Vereinigung von Mengen die „Abziehregel“, d.h. kann man aus
A
∪
C
=
B
∪
C
{\displaystyle {}A\cup C=B\cup C}
A
=
B
{\displaystyle {}A=B}
