Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Arbeitsblatt 1

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Skizziere ein Mengendiagramm, das zu vier Mengen alle möglichen Schnittmengen darstellt.

Ein abstraktes und

ein konkretes Mengendiagramm.

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}LA$ die Menge der Großbuchstaben des lateinischen Alphabets, ${}GA$ die Menge der Großbuchstaben des griechischen Alphabets und ${}RA$ die Menge der Großbuchstaben des russischen Alphabets. Bestimme die folgenden Mengen.

1. ${}GA\setminus RA$.
2. ${}{\left(LA\cap GA\right)}\cup {\left(LA\cap RA\right)}$.
3. ${}RA\setminus {\left(GA\cup RA\right)}$.
4. ${}RA\setminus {\left(GA\cup LA\right)}$.
5. ${}{\left(RA\setminus GA\right)}\cap {\left({\left(LA\cup GA\right)}\setminus {\left(GA\cap RA\right)}\right)}$.

Aufgabe

Bestimme für die Mengen

$M=\{a,b,c,d,e\},\,N=\{a,c,e\},\,P=\{b\},\,R=\{b,d,e,f\}$

die Mengen

1. ${}M\cap N$,
2. ${}M\cap N\cap P\cap R$,
3. ${}M\cup R$,
4. ${}{\left(N\cup P\right)}\cap R$,
5. ${}N\setminus R$,
6. ${}{\left(M\cup P\right)}\setminus {\left(R\setminus N\right)}$,
7. ${}{\left({\left(P\cup R\right)}\cap N\right)}\cap R$,
8. ${}{\left(R\setminus P\right)}\cap {\left(M\setminus N\right)}$.

Aufgabe

Skizziere die folgenden Teilmengen im ${}\mathbb {R} ^{2}$.

1. ${}{\left\{(x,y)\mid x=5\right\}}$,
2. ${}{\left\{(x,y)\mid x\geq 4{\text{ und }}y=3\right\}}$,
3. ${}{\left\{(x,y)\mid y^{2}\geq 2\right\}}$,
4. ${}{\left\{(x,y)\mid \vert {x}\vert =3{\text{ und }}\vert {y}\vert \leq 2\right\}}$,
5. ${}{\left\{(x,y)\mid 3x\geq y{\text{ und }}5x\leq 2y\right\}}$,
6. ${}{\left\{(x,y)\mid xy=0\right\}}$,
7. ${}{\left\{(x,y)\mid xy=1\right\}}$,
8. ${}{\left\{(x,y)\mid xy\geq 1{\text{ und }}y\geq x^{3}\right\}}$,
9. ${}{\left\{(x,y)\mid 0=0\right\}}$,
10. ${}{\left\{(x,y)\mid 0=1\right\}}$.

Welche geometrische Gestalt haben die Mengen, in deren Beschreibung nur eine (oder gar keine) Variable vorkommt?

Aufgabe *

Es seien ${}A,\,B$ und ${}C$ Mengen. Beweise die Identität

${}A\setminus {\left(B\cap C\right)}={\left(A\setminus B\right)}\cup {\left(A\setminus C\right)}\,.$

Aufgabe

Es seien ${}A,\,B$ und ${}C$ drei Mengen. Man beweise die folgenden Identitäten.

1. ${}A\cup \emptyset =A$,
2. ${}A\cap \emptyset =\emptyset$,
3. ${}A\cap B=B\cap A$,
4. ${}A\cup B=B\cup A$,
5. ${}A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C$,
6. ${}A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C$,
7. ${}A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$,
8. ${}A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$,
9. ${}A\setminus (B\cup C)=(A\setminus B)\cap (A\setminus C)$.

Aufgabe

Es seien ${}M$ und ${}N$ disjunkte Mengen und ${}x\in M$. Zeige, dass auch ${}M\setminus \{x\}$ und ${}N\cup \{x\}$ disjunkt sind und dass

${}M\cup N={\left(M\setminus \{x\}\right)}\cup {\left(N\cup \{x\}\right)}\,$

gilt.

Aufgabe

1. Skizziere die Menge ${}M={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid 4x-7y=3\right\}}$ und die Menge ${}N={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid 3x+2y=5\right\}}$.
2. Bestimme den Durchschnitt ${}M\cap N$ zeichnerisch und rechnerisch.

Aufgabe

Wir betrachten die beiden Mengen

${}E={\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}\mid -3x+2y-6z=0\right\}}\,$

und

${}F={\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}\mid 7x-5y-4z=0\right\}}\,.$

Finde eine Beschreibung für den Durchschnitt

${}G:=E\cap F={\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}\mid -3x+2y-6z=0{\text{ und }}7x-5y-4z=0\right\}}\,$

wie in Beispiel *****.

Aufgabe

1. Zeige, dass die Menge

   ${\left\{(x,y)\in \mathbb {Z} ^{2}\mid 3x+5y=6\right\}}$

   nicht leer ist.

2. Zeige, dass die Menge

   ${\left\{(x,y)\in \mathbb {Z} ^{2}\mid 6x+9y=5\right\}}$

   leer ist.

Aufgabe

Beschreibe für je zwei (einschließlich dem Fall, dass das Produkt mit sich selbst genommen wird) der folgenden geometrischen Mengen ihre Produktmenge.

1. Eine Kreislinie ${}K$.
2. Ein Geradenstück ${}I$.
3. Eine Gerade ${}G$.
4. Eine Parabel ${}P$.

Welche Produktmengen lassen sich als eine Teilmenge im Raum realisieren, welche nicht?

Aufgabe *

Es seien ${}M$ und ${}N$ Mengen und seien ${}A\subseteq M$ und ${}B\subseteq N$ Teilmengen. Zeige die Gleichheit

${}{\left(A\times N\right)}\cap {\left(M\times B\right)}=A\times B\,.$

Aufgabe

Es seien ${}A$ und ${}B$ disjunkte Mengen und ${}C$ eine weitere Menge. Zeige die Gleichheit

${}C\times (A\uplus B)=(C\times A)\uplus (C\times B)\,.$

Aufgabe

Es seien ${}A$ und ${}B$ disjunkte Mengen. Zeige die Gleichheit

${}(A\uplus B)\times (A\uplus B)=(A\times A)\uplus (A\times B)\uplus (B\times A)\uplus (B\times B)\,.$

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Skizziere die folgenden Teilmengen im ${}\mathbb {R} ^{2}$.

1. ${}{\left\{(x,y)\mid \vert {2x}\vert =5{\text{ und }}\vert {y}\vert \geq 3\right\}}$,
2. ${}{\left\{(x,y)\mid -3x\geq 2y{\text{ und }}4x\leq -5y\right\}}$,
3. ${}{\left\{(x,y)\mid y^{2}-y+1\leq 4\right\}}$,
4. ${}{\left\{(x,y)\mid xy=2{\text{ oder }}x^{2}+y^{2}=1\right\}}$.

Aufgabe (2 (1+1) Punkte)

1. Skizziere die Menge ${}M={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid -5x+2y=6\right\}}$ und die Menge ${}N={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid 7x-5y=4\right\}}$.
2. Bestimme den Durchschnitt ${}M\cap N$ zeichnerisch und rechnerisch.

Aufgabe (1 Punkt)

Gilt für die Vereinigung von Mengen die „Abziehregel“, d.h. kann man aus ${}A\cup C=B\cup C$ auf ${}A=B$ schließen?

Aufgabe (5 Punkte)

Beweise die mengentheoretischen Fassungen einiger aristotelischer Syllogismen. Dabei bezeichnen ${}A,B,C$ Mengen.

1. Modus Barbara: Aus ${}B\subseteq A$ und ${}C\subseteq B$ folgt ${}C\subseteq A$.
2. Modus Celarent: Aus ${}B\cap A=\emptyset$ und ${}C\subseteq B$ folgt ${}C\cap A=\emptyset$.
3. Modus Darii: Aus ${}B\subseteq A$ und ${}C\cap B\neq \emptyset$ folgt ${}C\cap A\neq \emptyset$.
4. Modus Ferio: Aus ${}B\cap A=\emptyset$ und ${}C\cap B\neq \emptyset$ folgt ${}C\not \subseteq A$.
5. Modus Baroco: Aus ${}B\subseteq A$ und ${}B\not \subseteq C$ folgt ${}A\not \subseteq C$.

Aufgabe (2 Punkte)

Es seien ${}M$ und ${}N$ Mengen und seien ${}A_{1},A_{2}\subseteq M$ und ${}B_{1},B_{2}\subseteq N$ Teilmengen. Zeige die Gleichheit

${}{\left(A_{1}\times B_{1}\right)}\cap {\left(A_{2}\times B_{2}\right)}={\left(A_{1}\cap A_{2}\right)}\times {\left(B_{1}\cap B_{2}\right)}\,.$

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}A$ und ${}B$ zwei Mengen. Zeige, dass die folgenden Aussagen zueinander äquivalent sind.

1. ${}A\subseteq B$,
2. ${}A\cap B=A$,
3. ${}A\cup B=B$,
4. ${}A\setminus B=\emptyset$,
5. Es gibt eine Menge ${}C$ mit ${}B=A\cup C$,
6. Es gibt eine Menge ${}D$ mit ${}A=B\cap D$.

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