Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Arbeitsblatt 2

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Man gebe Beispiele für Abbildungen

$\varphi ,\psi \colon \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N}$

derart, dass ${}\varphi$ injektiv, aber nicht surjektiv ist, und dass ${}\psi$ surjektiv, aber nicht injektiv ist.

Übungsaufgaben

Aufgabe

Welche Funktionsvorschriften kennen Sie aus der Schule?

Aufgabe

Woran erkennt man am Graphen einer Abbildung

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,$

ob ${}f$ injektiv bzw. surjektiv ist?

Aufgabe

Welche bijektiven Funktionen ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ (oder zwischen Teilmengen von ${}\mathbb {R}$) kennen Sie aus der Schule? Wie heißen die Umkehrabbildungen?

Aufgabe

Eine Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x),$

heißt streng wachsend, wenn für alle ${}x_{1},x_{2}\in \mathbb {R}$ mit ${}x_{1}<x_{2}$ auch ${}f(x_{1})<f(x_{2})$ gilt. Zeige, dass eine streng wachsende Funktion ${}f$ injektiv ist.

Aufgabe

Ist die Abbildung

$\mathbb {Q} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {Q} _{\geq 0},\,x\longmapsto x^{2},$

injektiv? Ist sie surjektiv?

Aufgabe *

Ist die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {N} _{+}\times \mathbb {N} _{+}\longrightarrow \mathbb {N} _{+}\times \mathbb {N} _{+}\times \mathbb {N} _{+},\,(a,b)\longmapsto (a+b,ab,a^{b}),$

injektiv oder nicht?

Aufgabe

Bestimme die Hintereinanderschaltungen ${}\varphi \circ \psi$ und ${}\psi \circ \varphi$ für die Abbildungen ${}\varphi ,\psi \colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, die durch

$\varphi (x)=x^{3}+3x^{2}-4\,\,{\text{ und }}\,\,\psi (x)=x^{2}+5x-3$

definiert sind.

Aufgabe

Der Pferdepfleger hat einen Korb voller Äpfel und geht auf die Weide, um die Äpfel an die Pferde zu verteilen. Danach geht jedes Pferd in seine Lieblingskuhle und macht dort einen großen Pferdeapfel. Modelliere den Vorgang mit geeigneten Mengen und Abbildungen. Man mache sich die Begriffe injektiv und surjektiv an diesem Beispiel klar. Kann die Gesamtabbildung surjektiv sein, wenn es 10 Äpfel, 6 Pferde und 8 Kuhlen gibt?

Aufgabe *

Es seien ${}L,M,N$ Mengen und ${}F\colon L\rightarrow M$ und ${}G\colon M\rightarrow N$ surjektive Abbildungen. Zeige, dass die Hintereinanderschaltung ${}G\circ F$ ebenfalls surjektiv ist.

Aufgabe *

Es seien ${}L,M,N$ Mengen und ${}F\colon L\rightarrow M$ und ${}G\colon M\rightarrow N$ injektive Abbildungen. Zeige, dass die Hintereinanderschaltung ${}G\circ F$ ebenfalls injektiv ist.

Aufgabe *

Es seien ${}L,M,N$ Mengen und

$f:L\longrightarrow M{\text{ und }}g:M\longrightarrow N$

Abbildungen mit der Hintereinanderschaltung

$g\circ f\colon L\longrightarrow N,\,x\longmapsto g(f(x)).$

Zeige: Wenn ${}g\circ f$ injektiv ist, so ist auch ${}f$ injektiv.

Aufgabe

Es seien ${}a,b$ positive natürliche Zahlen. Stifte eine Bijektion zwischen der Menge aller Vielfachen von ${}a$ und der Menge aller Vielfachen von ${}b$.

Bei den folgenden Aufgaben zur Potenzmenge denke man an die Interpretation, wo ${}G$ die Leute in einem Kurs sind und ${}M={\mathfrak {P}}\,(G)$ die möglichen (in Hinblick auf die Teilnehmer) kursinternen Parties sind. Bei Aufgabe 2.16 denke man an ${}A=$ Damen im Kurs, ${}B=$ Herren im Kurs.

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine Menge und ${}{\mathfrak {P}}\,(G)$ ihre Potenzmenge. Zeige, dass die Abbildung

${\mathfrak {P}}\,(G)\longrightarrow {\mathfrak {P}}\,(G),\,T\longmapsto \complement T,$

bijektiv ist. Wie lautet die Umkehrabbildung?

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine Menge. Stifte eine Bijektion zwischen

${\mathfrak {P}}\,(G)\,\,{\text{ und }}\,\,\operatorname {Abb} \,{\left(G,\{0,1\}\right)}.$

Aufgabe *

Es sei ${}G$ eine Menge, die als disjunkte Vereinigung

${}G=A\uplus B\,$

gegeben ist. Definiere eine Bijektion zwischen der Potenzmenge ${}{\mathfrak {P}}\,(G)$ und der Produktmenge ${}{\mathfrak {P}}\,(A)\times {\mathfrak {P}}\,(B)$.

Aufgabe

Es seien ${}M,N,L$ Mengen. Stifte eine Bijektion zwischen

$\operatorname {Abb} \,{\left(M\times N,L\right)}\,\,{\text{ und }}\,\,\operatorname {Abb} \,{\left(M,\operatorname {Abb} \,{\left(N,L\right)}\right)}.$

Man mache sich diese Situation für ${}M=N=[0,1]$ und ${}L=\mathbb {R}$ klar.

Aufgabe

Wie kann man sich den Graphen einer Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R}$

und wie sich den Graphen einer Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

vorstellen?

Aufgabe

Es sei ${}F\colon L\rightarrow M$ eine Abbildung. Zeige, dass das Urbildnehmen

${\mathfrak {P}}\,(M)\longrightarrow {\mathfrak {P}}\,(L),\,T\longmapsto F^{-1}(T),$

folgende Eigenschaften besitzt (für beliebige Teilmengen ${}T,T_{1},T_{2}\subseteq M$):

1. ${}F^{-1}(T_{1}\cap T_{2})=F^{-1}(T_{1})\cap F^{-1}(T_{2})\,,$

2. ${}F^{-1}(T_{1}\cup T_{2})=F^{-1}(T_{1})\cup F^{-1}(T_{2})\,,$

3. ${}F^{-1}(M\setminus T)=L\setminus F^{-1}(T)\,.$

Aufgabe

Es sei ${}F\colon L\rightarrow M$ eine Abbildung. Zeige, dass das Bildnehmen

${\mathfrak {P}}\,(L)\longrightarrow {\mathfrak {P}}\,(M),\,S\longmapsto F(S),$

folgende Eigenschaften besitzt (für beliebige Teilmengen ${}S,S_{1},S_{2}\subseteq L$):

1. ${}F(S_{1}\cap S_{2})\subseteq F(S_{1})\cap F(S_{2})$,
2. ${}F(S_{1}\cup S_{2})=F(S_{1})\cup F(S_{2})$,
3. ${}F(L\setminus S)\supseteq F(L)\setminus F(S)$.

Zeige durch Beispiele, dass die beiden Inklusionen in (1) und (3) echt sein können.

Aufgabe

Es seien ${}L$ und ${}M$ Mengen und es sei

$F\colon L\longrightarrow M$

eine Abbildung. Zeige, dass ${}F$ genau dann injektiv ist, wenn das Urbildnehmen

${\mathfrak {P}}\,(M)\longrightarrow {\mathfrak {P}}\,(L),\,T\longmapsto F^{-1}(T),$

surjektiv ist.

Aufgabe

Es seien ${}L$ und ${}M$ Mengen und es sei

$F\colon L\longrightarrow M$

eine Abbildung. Zeige, dass ${}F$ genau dann surjektiv ist, wenn das Urbildnehmen

${\mathfrak {P}}\,(M)\longrightarrow {\mathfrak {P}}\,(L),\,T\longmapsto F^{-1}(T),$

injektiv ist.

Die Idee zu den folgenden Aufgaben stammt von http://jwilson.coe.uga.edu/emt725/Challenge/Challenge.html, siehe auch http://www.vier-zahlen.bplaced.net/ .

Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung

$\Psi \colon \mathbb {N} ^{4}\longrightarrow \mathbb {N} ^{4},$

die einem Vierertupel ${}(a,b,c,d)$ das Vierertupel

$(\vert {b-a}\vert ,\vert {c-b}\vert ,\vert {d-c}\vert ,\vert {a-d}\vert )$

zuordnet. Es bezeichne ${}\Psi ^{n}$ die ${}n$-fache Hintereinanderschaltung von ${}\Psi$.

1. Berechne

   $\Psi (6,5,2,8),\,\Psi ^{2}(6,5,2,8),\,\Psi ^{3}(6,5,2,8),\,\Psi ^{4}(6,5,2,8)\,...,$

   bis das Ergebnis das Nulltupel ${}(0,0,0,0)$ ist.

2. Berechne

   $\Psi (1,10,100,1000),\,\Psi ^{2}(1,10,100,1000),\,\Psi ^{3}(1,10,100,1000),\,\Psi ^{4}(1,10,100,1000)\,...,$

   bis das Ergebnis das Nulltupel ${}(0,0,0,0)$ ist.

3. Zeige ${}\Psi ^{4}(0,0,n,0)=(0,0,0,0)$ für jedes ${}n\in \mathbb {N}$.

Aufgabe *

Wir betrachten die Abbildung

$\Psi \colon \mathbb {N} ^{4}\longrightarrow \mathbb {N} ^{4},$

die einem Vierertupel ${}(a,b,c,d)$ das Vierertupel

$(\vert {b-a}\vert ,\vert {c-b}\vert ,\vert {d-c}\vert ,\vert {a-d}\vert )$

zuordnet. Bestimme, ob ${}\Psi$ injektiv und ob ${}\Psi$ surjektiv ist.

Aufgabe *

Wir betrachten die Abbildung

$\Psi \colon \mathbb {N} ^{4}\longrightarrow \mathbb {N} ^{4},$

die einem Vierertupel ${}(a,b,c,d)$ das Vierertupel

$(\vert {b-a}\vert ,\vert {c-b}\vert ,\vert {d-c}\vert ,\vert {a-d}\vert )$

zuordnet. Zeige, dass sich bei jedem Starttupel ${}(a,b,c,d)$ nach endlich vielen Iterationen dieser Abbildung stets das Nulltupel ergibt.

Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung

$\Psi \colon \mathbb {Q} _{\geq 0}^{4}\longrightarrow \mathbb {Q} _{\geq 0}^{4},$

die einem Vierertupel aus nichtnegativen rationalen Zahlen ${}(a,b,c,d)$ das Vierertupel

$(\vert {b-a}\vert ,\vert {c-b}\vert ,\vert {d-c}\vert ,\vert {a-d}\vert )$

zuordnet. Zeige, dass sich nach endlich vielen Iterationen dieser Abbildung stets das Nulltupel ergibt.

Wir werden später auch die Frage behandeln, wie es mit reellen Vierertupeln aussieht, siehe insbesondere Aufgabe 23.16.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Hintereinanderschaltungen ${}\varphi \circ \psi$ und ${}\psi \circ \varphi$ für die Abbildungen ${}\varphi ,\psi \colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, die durch

$\varphi (x)=x^{4}+3x^{2}-2x+5\,\,{\text{ und }}\,\,\psi (x)=2x^{3}-x^{2}+6x-1$

definiert sind.

Aufgabe (3 Punkte)

Man beschreibe eine Bijektion zwischen ${}\mathbb {N}$ und ${}\mathbb {Z}$.

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}L,M,N$ Mengen und

$f:L\longrightarrow M{\text{ und }}g:M\longrightarrow N$

Abbildungen mit der Hintereinanderschaltung

$g\circ f\colon L\longrightarrow N,\,x\longmapsto g(f(x)).$

Zeige: Wenn ${}g\circ f$ surjektiv ist, so ist auch ${}g$ surjektiv.

Zeige durch ein Beispiel, dass die Umkehrung nicht gilt.

Aufgabe (3 Punkte)

Betrachte auf der Menge ${}M=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ die Abbildung

$\varphi \colon M\longrightarrow M,\,x\longmapsto \varphi (x),$

die durch die Wertetabelle

${}x$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$	${}7$	${}8$
${}\varphi (x)$	${}2$	${}5$	${}6$	${}1$	${}4$	${}3$	${}7$	${}7$

gegeben ist. Berechne ${}\varphi ^{1003}$, also die ${}1003$-te Hintereinanderschaltung (oder Iteration) von ${}\varphi$ mit sich selbst.

Aufgabe (5 Punkte)

Es seien ${}L$ und ${}M$ Mengen. Wir betrachten die Abbildung

$\Psi \colon \operatorname {Abb} \,{\left(L,M\right)}\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left({\mathfrak {P}}\,(M),{\mathfrak {P}}\,(L)\right)},\,f\longmapsto f^{-1},$

bei der einer Abbildung das Urbildnehmen zugeordnet wird.

a) Zeige, dass ${}\Psi$ injektiv ist.

b) Es sei ${}L\neq \emptyset$. Zeige, dass ${}\Psi$ nicht surjektiv ist.

Die Aufgabe zum Aufgeben

Lösungen zu der folgenden Aufgabe direkt an den Dozenten.

Aufgabe (10 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

$\Psi \colon \mathbb {N} ^{4}\longrightarrow \mathbb {N} ^{4},$

die einem Vierertupel ${}(a,b,c,d)$ das Vierertupel

$(\vert {b-a}\vert ,\vert {c-b}\vert ,\vert {d-c}\vert ,\vert {a-d}\vert )$

zuordnet. Man gebe ein Beispiel für ein Vierertupel ${}(a,b,c,d)$ mit der Eigenschaft an, dass sämliche Iterationen ${}\Psi ^{n}(a,b,c,d)$ für ${}n\leq 25$ nicht das Nulltupel liefern. Überprüfe das Ergebnis auf http://www.vier-zahlen.bplaced.net/raetsel.php .