- Die Pausenaufgabe
Man gebe Beispiele für
Abbildungen
-
derart, dass
injektiv,
aber nicht
surjektiv
ist, und dass
surjektiv, aber nicht injektiv ist.
- Übungsaufgaben
Welche Funktionsvorschriften kennen Sie aus der Schule?
Woran erkennt man am
Graphen
einer Abbildung
-
ob
injektiv
bzw.
surjektiv
ist?
Welche
bijektiven
Funktionen
(oder zwischen Teilmengen von
)
kennen Sie aus der Schule? Wie heißen die
Umkehrabbildungen?
Ist die Abbildung
-
injektiv?
Ist sie
surjektiv?
Ist die Abbildung
-
injektiv
oder nicht?
Der Pferdepfleger hat einen Korb voller Äpfel und geht auf die Weide, um die Äpfel an die Pferde zu verteilen. Danach geht jedes Pferd in seine Lieblingskuhle und macht dort einen großen Pferdeapfel. Modelliere den Vorgang mit geeigneten Mengen und
Abbildungen.
Man mache sich die Begriffe
injektiv
und
surjektiv
an diesem Beispiel klar. Kann die Gesamtabbildung surjektiv sein, wenn es 10 Äpfel, 6 Pferde und 8 Kuhlen gibt?
Bei den folgenden Aufgaben zur Potenzmenge denke man an die Interpretation, wo
die Leute in einem Kurs sind und
die möglichen
(in Hinblick auf die Teilnehmer)
kursinternen Parties sind. Bei
Aufgabe 2.16
denke man an
Damen im Kurs,
Herren im Kurs.
Sei
eine Menge und
ihre
Potenzmenge.
Zeige, dass die Abbildung
-
bijektiv
ist. Wie lautet die
Umkehrabbildung?
Sei
eine Menge. Stifte eine
Bijektion
zwischen
-
Seien
Mengen. Stifte eine
Bijektion
zwischen
-
Man mache sich diese Situation für
und
klar.
Wie kann man sich den
Graphen
einer Abbildung
-
und wie sich den Graphen einer Abbildung
-
vorstellen?
Es sei
-
eine
Abbildung.
Zeige, dass das
Urbildnehmen
-
folgende Eigenschaften besitzt
(für beliebige Teilmengen
):
-
,
-
,
-
.
Es sei
-
eine
Abbildung.
Zeige, dass das
Bildnehmen
-
folgende Eigenschaften besitzt
(für beliebige Teilmengen
):
-
,
-
,
-
.
Zeige durch Beispiele, dass die beiden Inklusionen in (1) und (3) echt sein können.
Die Idee zu den folgenden Aufgaben stammt von http://jwilson.coe.uga.edu/emt725/Challenge/Challenge.html, siehe auch http://www.vier-zahlen.bplaced.net/ .
Wir betrachten die Abbildung
-
die einem Vierertupel
das Vierertupel
-
zuordnet. Es bezeichne
die
-fache
Hintereinanderschaltung
von
.
- Berechne
-
bis das Ergebnis das Nulltupel
ist.
- Berechne
-
bis das Ergebnis das Nulltupel
ist.
- Zeige
für jedes
.
Wir betrachten die Abbildung
-
die einem Vierertupel
das Vierertupel
-
zuordnet. Bestimme, ob
injektiv
und ob
surjektiv
ist.
Wir betrachten die Abbildung
-
die einem Vierertupel
das Vierertupel
-
zuordnet. Zeige, dass sich bei jedem Starttupel
nach endlich vielen Iterationen dieser Abbildung stets das Nulltupel ergibt.
Wir betrachten die Abbildung
-
die einem Vierertupel aus nichtnegativen rationalen Zahlen
das Vierertupel
-
zuordnet. Zeige, dass sich nach endlich vielen Iterationen dieser Abbildung stets das Nulltupel ergibt.
Wir werden später auch die Frage behandeln, wie es mit reellen Vierertupeln aussieht, siehe insbesondere
Aufgabe 23.16.
- Aufgaben zum Abgeben
Man beschreibe eine
Bijektion zwischen
und
.
Zeige durch ein Beispiel, dass die Umkehrung nicht gilt.
Betrachte auf der Menge
die Abbildung
-
die durch die Wertetabelle
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gegeben ist. Berechne
, also die
-te
Hintereinanderschaltung
(oder Iteration)
von
mit sich selbst.
Es seien
und
Mengen. Wir betrachten die Abbildung
-
bei der einer Abbildung das
Urbildnehmen
zugeordnet wird.
a) Zeige, dass
injektiv
ist.
b) Es sei
.
Zeige, dass
nicht
surjektiv
ist.
- Die Aufgabe zum Aufgeben
Lösungen zu der folgenden Aufgabe direkt an den Dozenten.
Wir betrachten die Abbildung
-
die einem Vierertupel
das Vierertupel
-
zuordnet. Man gebe ein Beispiel für ein Vierertupel
mit der Eigenschaft an, dass sämliche Iterationen
für
nicht das Nulltupel liefern. Überprüfe das Ergebnis auf http://www.vier-zahlen.bplaced.net/raetsel.php .