Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Arbeitsblatt 3/latex
\setcounter{section}{3}
\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}
\inputaufgabe
{}
{
Formuliere die \stichwort {binomischen Formeln} {} für zwei reelle Zahlen und beweise die Formeln mit Hilfe des Distributivgesetzes.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte die ganzen Zahlen $\Z$ mit der Differenz als Verknüpfung, also die Abbildung \maabbeledisp {} {\Z \times \Z} {\Z } {(a,b)} {a-b } {.} Besitzt diese Verknüpfung ein neutrales Element? Ist diese Verknüpfung assoziativ, kommutativ, gibt es zu jedem Element ein inverses Element?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten auf der Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \{a,b,c,d \}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die durch die Tabelle
%Daten für folgende Tabelle
\renewcommand{\leitzeilenull}{ $\star$ }
\renewcommand{\leitzeileeins}{ $a$ }
\renewcommand{\leitzeilezwei}{ $b$ }
\renewcommand{\leitzeiledrei}{ $c$ }
\renewcommand{\leitzeilevier}{ $d$ }
\renewcommand{\leitzeilefuenf}{ }
\renewcommand{\leitzeilesechs}{ }
\renewcommand{\leitzeilesieben}{ }
\renewcommand{\leitzeileacht}{ }
\renewcommand{\leitzeileneun}{ }
\renewcommand{\leitzeilezehn}{ }
\renewcommand{\leitzeileelf}{ }
\renewcommand{\leitzeilezwoelf}{ }
\renewcommand{\leitspaltenull}{ }
\renewcommand{\leitspalteeins}{ $a$ }
\renewcommand{\leitspaltezwei}{ $b$ }
\renewcommand{\leitspaltedrei}{ $c$ }
\renewcommand{\leitspaltevier}{ $d$ }
\renewcommand{\leitspaltefuenf}{ }
\renewcommand{\leitspaltesechs}{ }
\renewcommand{\leitspaltesieben}{ }
\renewcommand{\leitspalteacht}{ }
\renewcommand{\leitspalteneun}{ }
\renewcommand{\leitspaltezehn}{ }
\renewcommand{\leitspalteelf}{ }
\renewcommand{\leitspaltezwoelf}{ }
\renewcommand{\leitspaltedreizehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltevierzehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltefuenfzehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltesechzehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltesiebzehn}{ }
\renewcommand{\leitspalteachtzehn}{ }
\renewcommand{\leitspalteneunzehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltezwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinsxeins}{ b }
\renewcommand{\aeinsxzwei}{ a }
\renewcommand{\aeinsxdrei}{ c }
\renewcommand{\aeinsxvier}{ a }
\renewcommand{\aeinsxfuenf}{ }
\renewcommand{\aeinsxsechs}{ }
\renewcommand{\aeinsxsieben}{ }
\renewcommand{\aeinsxacht}{ }
\renewcommand{\aeinsxneun}{ }
\renewcommand{\aeinsxzehn}{ }
\renewcommand{\aeinsxelf}{ }
\renewcommand{\aeinsxzwoelf}{ }
\renewcommand{\azweixeins}{ d }
\renewcommand{\azweixzwei}{ a }
\renewcommand{\azweixdrei}{ b }
\renewcommand{\azweixvier}{ b }
\renewcommand{\azweixfuenf}{ }
\renewcommand{\azweixsechs}{ }
\renewcommand{\azweixsieben}{ }
\renewcommand{\azweixacht}{ }
\renewcommand{\azweixneun}{ }
\renewcommand{\azweixzehn}{ }
\renewcommand{\azweixelf}{ }
\renewcommand{\azweixzwoelf}{ }
\renewcommand{\adreixeins}{ a }
\renewcommand{\adreixzwei}{ b }
\renewcommand{\adreixdrei}{ c }
\renewcommand{\adreixvier}{ c }
\renewcommand{\adreixfuenf}{ }
\renewcommand{\adreixsechs}{ }
\renewcommand{\adreixsieben}{ }
\renewcommand{\adreixacht}{ }
\renewcommand{\adreixneun}{ }
\renewcommand{\adreixzehn}{ }
\renewcommand{\adreixelf}{ }
\renewcommand{\adreixzwoelf}{ }
\renewcommand{\avierxeins}{ b }
\renewcommand{\avierxzwei}{ d }
\renewcommand{\avierxdrei}{ d }
\renewcommand{\avierxvier}{ d }
\renewcommand{\avierxfuenf}{ }
\renewcommand{\avierxsechs}{ }
\renewcommand{\avierxsieben}{ }
\renewcommand{\avierxacht}{ }
\renewcommand{\avierxneun}{ }
\renewcommand{\avierxzehn}{ }
\renewcommand{\avierxelf}{ }
\renewcommand{\avierxzwoelf}{ }
\renewcommand{\afuenfxeins}{ }
\renewcommand{\afuenfxzwei}{ }
\renewcommand{\afuenfxdrei}{ }
\renewcommand{\afuenfxvier}{ }
\renewcommand{\afuenfxfuenf}{ }
\renewcommand{\afuenfxsechs}{ }
\renewcommand{\afuenfxsieben}{ }
\renewcommand{\afuenfxacht}{ }
\renewcommand{\afuenfxneun}{ }
\renewcommand{\afuenfxzehn}{ }
\renewcommand{\afuenfxelf}{ }
\renewcommand{\afuenfxzwoelf}{ }
\renewcommand{\asechsxeins}{ }
\renewcommand{\asechsxzwei}{ }
\renewcommand{\asechsxdrei}{ }
\renewcommand{\asechsxvier}{ }
\renewcommand{\asechsxfuenf}{ }
\renewcommand{\asechsxsechs}{ }
\renewcommand{\asechsxsieben}{ }
\renewcommand{\asechsxacht}{ }
\renewcommand{\asechsxneun}{ }
\renewcommand{\asechsxzehn}{ }
\renewcommand{\asechsxelf}{ }
\renewcommand{\asechsxzwoelf}{ }
\renewcommand{\asiebenxeins}{ }
\renewcommand{\asiebenxzwei}{ }
\renewcommand{\asiebenxdrei}{ }
\renewcommand{\asiebenxvier}{ }
\renewcommand{\asiebenxfuenf}{ }
\renewcommand{\asiebenxsechs}{ }
\renewcommand{\asiebenxsieben}{ }
\renewcommand{\asiebenxacht}{ }
\renewcommand{\asiebenxneun}{ }
\renewcommand{\asiebenxzehn}{ }
\renewcommand{\asiebenxelf}{ }
\renewcommand{\asiebenxzwoelf}{ }
\renewcommand{\aachtxeins}{ }
\renewcommand{\aachtxzwei}{ }
\renewcommand{\aachtxdrei}{ }
\renewcommand{\aachtxvier}{ }
\renewcommand{\aachtxfuenf}{ }
\renewcommand{\aachtxsechs}{ }
\renewcommand{\aachtxsieben}{ }
\renewcommand{\aachtxacht}{ }
\renewcommand{\aachtxneun}{ }
\renewcommand{\aachtxzehn}{ }
\renewcommand{\aachtxelf}{ }
\renewcommand{\aachtxzwoelf}{ }
\renewcommand{\aneunxeins}{ }
\renewcommand{\aneunxzwei}{ }
\renewcommand{\aneunxdrei}{ }
\renewcommand{\aneunxvier}{ }
\renewcommand{\aneunxfuenf}{ }
\renewcommand{\aneunxsechs}{ }
\renewcommand{\aneunxsieben}{ }
\renewcommand{\aneunxacht}{ }
\renewcommand{\aneunxneun}{ }
\renewcommand{\aneunxzehn}{ }
\renewcommand{\aneunxelf}{ }
\renewcommand{\aneunxzwoelf}{ }
\renewcommand{\azehnxeins}{ }
\renewcommand{\azehnxzwei}{ }
\renewcommand{\azehnxdrei}{ }
\renewcommand{\azehnxvier}{ }
\renewcommand{\azehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\azehnxsechs}{ }
\renewcommand{\azehnxsieben}{ }
\renewcommand{\azehnxacht}{ }
\renewcommand{\azehnxneun}{ }
\renewcommand{\azehnxzehn}{ }
\renewcommand{\azehnxelf}{ }
\renewcommand{\azehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\aelfxeins}{ }
\renewcommand{\aelfxzwei}{ }
\renewcommand{\aelfxdrei}{ }
\renewcommand{\aelfxvier}{ }
\renewcommand{\aelfxfuenf}{ }
\renewcommand{\aelfxsechs}{ }
\renewcommand{\aelfxsieben}{ }
\renewcommand{\aelfxacht}{ }
\renewcommand{\aelfxneun}{ }
\renewcommand{\aelfxzehn}{ }
\renewcommand{\aelfxelf}{ }
\renewcommand{\aelfxzwoelf}{ }
\renewcommand{\azwoelfxeins}{ }
\renewcommand{\azwoelfxzwei}{ }
\renewcommand{\azwoelfxdrei}{ }
\renewcommand{\azwoelfxvier}{ }
\renewcommand{\azwoelfxfuenf}{ }
\renewcommand{\azwoelfxsechs}{ }
\renewcommand{\azwoelfxsieben}{ }
\renewcommand{\azwoelfxacht}{ }
\renewcommand{\azwoelfxneun}{ }
\renewcommand{\azwoelfxzehn}{ }
\renewcommand{\azwoelfxelf}{ }
\renewcommand{\azwoelfxzwoelf}{ }
\renewcommand{\adreizehnxeins}{ }
\renewcommand{\adreizehnxzwei}{ }
\renewcommand{\adreizehnxdrei}{ }
\renewcommand{\adreizehnxvier}{ }
\renewcommand{\adreizehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\adreizehnxsechs}{ }
\renewcommand{\adreizehnxsieben}{ }
\renewcommand{\adreizehnxacht}{ }
\renewcommand{\adreizehnxneun}{ }
\renewcommand{\adreizehnxzehn}{ }
\renewcommand{\adreizehnxelf}{ }
\renewcommand{\adreizehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\avierzehnxeins}{ }
\renewcommand{\avierzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\avierzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\avierzehnxvier}{ }
\renewcommand{\avierzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\avierzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\avierzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\avierzehnxacht}{ }
\renewcommand{\avierzehnxneun}{ }
\renewcommand{\avierzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\avierzehnxelf}{ }
\renewcommand{\avierzehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxeins}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxvier}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxacht}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxneun}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxelf}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\asechzehnxeins}{ }
\renewcommand{\asechzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\asechzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\asechzehnxvier}{ }
\renewcommand{\asechzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\asechzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\asechzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\asechzehnxacht}{ }
\renewcommand{\asechzehnxneun}{ }
\renewcommand{\asechzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\asechzehnxelf}{ }
\renewcommand{\asechzehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxeins}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxvier}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxacht}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxneun}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxelf}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxeins}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxvier}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxacht}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxneun}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxelf}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxzwoelf}{ }
\tabelleleitvierxvier
gegebene Verknüpfung $\star$.
\aufzaehlungzwei {Berechne
\mathdisp {b \star ( a \star (d \star a))} { . }
} {Besitzt die Verknüpfung $\star$ ein neutrales Element?
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass das Potenzieren auf den positiven natürlichen Zahlen, also die Zuordnung \maabbeledisp {} {\N \times \N} {\N } {(a,b)} { a^b } {,} weder kommutativ noch assoziativ ist. Besitzt diese Verknüpfung ein \definitionsverweis {neutrales Element}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Verknüpfung auf einer Geraden, die zwei Punkten ihren Mittelpunkt zuordnet, kommutativ, aber nicht assoziativ ist. Gibt es ein neutrales Element?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man untersuche die \definitionsverweis {Verknüpfung}{}{} \maabbeledisp {} {\R_{\geq 0} \times \R_{\geq 0} } {\R_{\geq 0} } {(x,y)} { \operatorname{min} \, (x,y) } {,} auf Assoziativität, Kommutativität, die Existenz von einem neutralen Element und die Existenz von inversen Elementen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} {{ \left\{ q \in \Q \mid 0 \leq q < 1 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Zeige, dass auf $M$ durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a \oplus b
}
{ \defeq} { \begin{cases} a+b , \text{ falls } a+b < 1 \, , \\ a+b -1 \text{ sonst} \, . \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine wohldefinierte
\definitionsverweis {Verknüpfung}{}{}
gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} {{ \left\{ q \in \Q \mid 0 \leq q < 1 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit der in
Aufgabe 3.7
definierten Verknüpfung eine
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine Menge mit einer \definitionsverweis {Verknüpfung}{}{} darauf, die wir als Produkt schreiben. \aufzaehlungzwei {Wie viele sinnvollen Klammerungen gibt es für die Verknüpfung von vier Elementen? } {Die Verknüpfung sei nun \definitionsverweis {assoziativ}{}{.} Zeige, dass das Produkt von vier Elementen nicht von irgendeiner Klammerung abhängt. }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine Menge mit einer
\definitionsverweis {assoziativen}{}{}
\definitionsverweis {Verknüpfung}{}{}
darauf, die wir als $\star$ schreiben. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(a \star b) \star( c \star (d \star e))
}
{ =} { a \star (( b \star (c \star d)) \star e)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für beliebige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b,c,d,e
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $G$ eine Menge und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ = }{ \mathfrak {P} \, (G )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die zugehörige
\definitionsverweis {Potenzmenge}{}{.}
Betrachte den
\definitionsverweis {Durchschnitt}{}{}
von Teilmengen von $G$ als eine
\definitionsverweis {Verknüpfung}{}{}
auf $M$. Ist diese Verknüpfung kommutativ, assoziativ, besitzt sie ein neutrales Element?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ die Menge der Abbildungen einer zweielementigen Menge in sich selbst, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { { \left\{ F :\{0,1\} \rightarrow \{0,1\} \mid F \text{ Abbildung} \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Benenne die Elemente aus $M$ und lege eine Wertetabelle für die Verknüpfung auf $M$ an, die durch die Hintereinanderschaltung von Abbildungen definiert ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $S$ eine Menge und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G
}
{ =} {{ \left\{ F:S \rightarrow S \mid F \text{ bijektiv} \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $G$ mit der \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
von
\definitionsverweis {Abbildungen}{}{}
eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{.} Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( x^{-1} \right) }^{-1}
}
{ =} {x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,y
}
{ \in }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Drücke das Inverse von $xy$ durch die Inversen von $x$ und $y$ aus.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man konstruiere eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} mit drei Elementen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Ring}{}{} und seien $\spadesuit, \heartsuit$ und $\clubsuit$ Elemente in $R$. Berechne das Produkt
\mathdisp {{ \left( \spadesuit^2-3 \heartsuit \clubsuit \heartsuit-2\clubsuit \heartsuit^2+4 \spadesuit \heartsuit^2 \right) } { \left( 2 \spadesuit \heartsuit^3 \spadesuit-\clubsuit^2 \spadesuit \heartsuit \spadesuit \right) } { \left( 1-3\clubsuit \heartsuit \spadesuit \clubsuit^2\heartsuit \right) }} { . }
Wie lautet das Ergebnis, wenn der Ring
\definitionsverweis {kommutativ}{}{}
ist?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f , a_i, b_j
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige die folgenden Gleichungen:
\mathdisp {\sum_{ i = 0 }^{ n } a_{ i } f^{ i} + \sum_{ j = 0 }^{ m } b_{ j } f^{ j} = \sum_{k=0}^{ \max ( n,m) } ( a _{ k}+b _{ k} ) f^{ k }} { }
und
\mathdisp {{ \left( \sum_{ i = 0 }^{ n } a_{ i } f^{ i} \right) } \cdot { \left( \sum_{ j = 0 }^{ m } b_{ j } f^{ j} \right) } = \sum_{ k = 0 }^{ n+m } c_{ k } f^{ k} \text{ mit } c_{ k} =\sum_{ r= 0}^{ k } a_{ r } b_{ k - r }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Skizziere den \definitionsverweis {Graphen}{}{} der reellen Addition \maabbeledisp {+} {\R \times \R} {\R } {(x,y)} {x+y } {,} und den Graphen der reellen Multiplikation \maabbeledisp {\cdot} {\R \times \R} {\R } {(x,y)} {x \cdot y } {.}
}
{} {}
Die folgende Aufgabe beweist man durch Induktion. Dies ist ein Beweisverfahren, das üblicherweise in der Analysis eingeführt wird. Siehe auch den Anhang zum Kurs.
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Beweise die allgemeine binomische Formel, also die Formel
\mathdisp {( a + b )^{n} = \sum_{ k=0 } ^{ n } \binom { n } { k } a^{k} b^{n - k}} { }
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und beliebige Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in einem Körper $K$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Berechne
\mathdisp {(x+ { \mathrm i} y)^n} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $x,y,z,w$ Elemente in einem \definitionsverweis {Körper}{}{,} wobei $z$ und $w$ nicht $0$ seien. Beweise die folgenden Bruchrechenregeln.
\aufzaehlungacht{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ x }{ 1 } }
}
{ =} { x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ z } }
}
{ =} { z^{-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ -1 } }
}
{ =} { -1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 0 }{ z } }
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ z }{ z } }
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ x }{ z } }
}
{ =} { { \frac{ xw }{ zw } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ x }{ z } } \cdot { \frac{ y }{ w } }
}
{ =} { { \frac{ xy }{ zw } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ x }{ z } } + { \frac{ y }{ w } }
}
{ =} { { \frac{ xw+yz }{ zw } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
Gilt die zu (8) analoge Formel, die entsteht, wenn man die Addition mit der Multiplikation
\zusatzklammer {und die Subtraktion mit der Division} {} {} vertauscht, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (x-z) \cdot (y-w)
}
{ =} { (x+w)(y+z)-(z+w)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{?}
Zeige, dass die \anfuehrung{beliebte Formel}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ x }{ z } } + { \frac{ y }{ w } }
}
{ =} {{ \frac{ x+y }{ z+w } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nicht gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass in einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
das \anfuehrung{umgekehrte Distributivgesetz}{,} also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a+(bc)
}
{ =} { (a+b) \cdot (a+c)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
nicht gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beschreibe und beweise Regeln für die Addition und die Multiplikation von geraden und ungeraden ganzen Zahlen. Man definiere auf der zweielementigen Menge
\mathdisp {\{G,U\}} { }
eine \anfuehrung{Addition}{} und eine \anfuehrung{Multiplikation}{,} die diese Regeln \anfuehrung{repräsentieren}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die einelementige Menge $\{0\}$ alle Körperaxiome erfüllt mit der einzigen Ausnahme, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.} Zeige, dass man jeder natürlichen Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Körperelement $n_K$ zuordnen kann, derart, dass $0_K$ das Nullelement in $K$ und $1_K$ das Einselement in $K$ ist und dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (n+1)_K
}
{ =} { n_K+1_K
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt. Zeige, dass diese Zuordnung die Eigenschaften
\mathdisp {(n+m)_K = n_K + m_K \text{ und } (nm)_K = n_K \cdot m_K} { }
besitzt.
Erweitere diese Zuordnung auf die ganzen Zahlen $\Z$ und zeige, dass die angeführten strukturellen Eigenschaften ebenfalls gelten.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{2
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f,g
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{fg
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 4 } } { \left( { \left( f+g \right) }^2 - { \left( f-g \right) }^2 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Ring}{}{} und $M$ eine Menge. Definiere auf der Abbildungsmenge
\mathdisp {A= { \left\{ f:M \rightarrow R \mid f \text{ Abbildung} \right\} }} { }
eine Ringstruktur.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{2}
{
Man untersuche die \definitionsverweis {Verknüpfung}{}{} \maabbeledisp {} {\R_{\geq 0} \times \R_{\geq 0} } {\R_{\geq 0} } {(x,y)} { \operatorname{max} \, (x,y) } {,} auf Assoziativität, Kommutativität, die Existenz von einem neutralen Element und die Existenz von inversen Elementen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $M$ eine Menge. Zeige, dass die
\definitionsverweis {Potenzmenge}{}{}
$\mathfrak {P} \, (M )$ mit dem Durchschnitt $\cap$ als Multiplikation und der
\definitionsverweis {symmetrischen Differenz}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A \triangle B
}
{ =} {(A \setminus B) \cup (B \setminus A)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
als Addition
\zusatzklammer {mit welchen neutralen Elementen} {?} {}
ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Zeige für einen \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ die folgenden Eigenschaften.
(1) Für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {\alpha_a} {K} {K
} {x} {x+a
} {,}
\definitionsverweis {bijektiv}{}{.}
(2) Für jedes
\mathbed {b \in K} {}
{b \neq 0} {}
{} {} {} {,}
ist die Abbildung
\maabbeledisp {\mu_b} {K} {K
} {x} {bx
} {,}
bijektiv.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Zeige, dass die \anfuehrung{Rechenregel}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ a }{ b } } + { \frac{ c }{ d } }
}
{ =} { { \frac{ a+c }{ b+d } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,c
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b, d, b+d
}
{ \in }{ \Z \setminus \{0\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
niemals gilt. Man gebe ein Beispiel mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b,c,d,b+d
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wo diese Regel gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Beweise das allgemeine Distributivgesetz für einen \definitionsverweis {Körper}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Wir betrachten die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K
}
{ =} {\Q \times \Q
}
{ =} {{ \left\{ (a,b) \mid a,b \in \Q \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit den beiden ausgezeichneten Elementen
\mathdisp {0=(0,0) \text{ und } 1=(1,0)} { , }
der Addition
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (a,b)+(c,d)
}
{ \defeq} {(a+c, b+d)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und der Multiplikation
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (a,b) \cdot (c,d)
}
{ \defeq} {(ac-bd, ad+bc)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $K$ mit diesen Operationen ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
ist.
}
{} {}
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