Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Vorlesung 22/latex
\setcounter{section}{22}
\epigraph { ... und ein guter Lehrer kann auch einem schlechten Schüler was beibringen } { }
\zwischenueberschrift{Beziehung zwischen Eigenräumen}
Wir haben in der letzten Vorlesung gesehen, dass der Eigenraum zu $0$ der Kern des Endomorphismus ist. Wesentlich allgemeiner als in Lemma 21.7 gilt die folgende Charakterisierung.
\inputfaktbeweis
{Lineare Abbildung/Eigenraum als Kern/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Eig}_{ \lambda } { \left( \varphi \right) }
}
{ =} { \operatorname{kern} { \left( \lambda \cdot
\operatorname{Id}_{ V } - \varphi \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ \in }{ \operatorname{Eig}_{ \lambda } { \left( \varphi \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(v)
}
{ = }{ \lambda v
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, und dies ist genau bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda v - \varphi(v)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der Fall, was man als
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \left( \lambda \cdot
\operatorname{Id}_{ V } - \varphi \right) } (v)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
schreiben kann.
Insbesondere ist ein
\mathl{\lambda \in K}{} genau dann ein Eigenwert von $\varphi$, wenn
\mathl{\lambda
\operatorname{Id}_{ V } - \varphi}{} nicht injektiv ist. Für ein gegebenes $\lambda$ lässt sich diese Eigenschaft einfach mit Hilfe eines linearen Gleichungssystems
\zusatzklammer {oder der Determinante} {} {}
überprüfen und ebenso der Eigenraum berechnen. Dagegen ist es kein lineares Problem, zu entscheiden, ob $\varphi$ überhaupt Eigenwerte besitzt und diese zu bestimmen. Wir werden weiterhin eine lineare Abbildung
\maabb {\varphi} {V} {V
} {}
dadurch untersuchen, das wir die \stichwort {Differenzen zu den Streckungen} {}
\mathl{\lambda
\operatorname{Id}_{ V } - \varphi}{} für verschiedene $\lambda$ betrachten.
Bei einer
\mathl{n\times n}{-}Matrix $M$ muss man den Kern der Matrix
\mathl{\lambda E_n - M}{} bestimmen. Wenn man beispielsweise wissen möchte, ob die Matrix
\mathl{\begin{pmatrix} 4 & 7 \\ -2 & 5 \end{pmatrix}}{} den Eigenwert $3$ besitzt, so sieht man anhand von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{3 E_2 - \begin{pmatrix} 4 & 7 \\ -2 & 5 \end{pmatrix}
}
{ =} { 3 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 & 7 \\ -2 & 5 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} -1 & -7 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
sofort, dass dies nicht der Fall ist.
\inputfaktbeweis
{Lineare Abbildung/Eigenräume zu verschiedenen Eigenwerten/Null/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda_1
}
{ \neq }{ \lambda_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Elemente in $K$.}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Eig}_{ \lambda_1 } { \left( \varphi \right) } \cap \operatorname{Eig}_{ \lambda_2 } { \left( \varphi \right) }
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ \in }{\operatorname{Eig}_{ \lambda_1 } { \left( \varphi \right) } \cap \operatorname{Eig}_{ \lambda_2 } { \left( \varphi \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lambda_1 v
}
{ =} { \varphi(v)
}
{ =} { \lambda_2 v
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{( \lambda_1-\lambda_2) v
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
woraus wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda_1
}
{ \neq }{\lambda_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
direkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt.
\inputfaktbeweis
{Endomorphismus/Eigenvektoren/Linear unabhängig/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Es seien
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{}
\definitionsverweis {Eigenvektoren}{}{}
zu
\zusatzklammer {paarweise} {} {}
verschiedenen
\definitionsverweis {Eigenwerten}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda_1 , \ldots , \lambda_n
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann sind
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{}
\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir beweisen die Aussage durch Induktion nach $n$. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die Aussage richtig. Es sei die Aussage also für weniger als $n$ Vektoren bewiesen. Betrachten wir eine Darstellung der $0$, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_1v_1 + \cdots + a_nv_n
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir wenden darauf $\varphi$ an und erhalten einerseits
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_1 \varphi(v_1) + \cdots + a_n \varphi(v_n)
}
{ =} { \lambda_1 a_1v_1 + \cdots + \lambda_n a_nv_n
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Andererseits multiplizieren wir die obige Gleichung mit $\lambda_{n}$ und erhalten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lambda_n a_1v_1 + \cdots + \lambda_n a_nv_n
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die so entstandenen Gleichungen zieht man voneinander ab und erhält
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (\lambda_{n} - \lambda_1) a_1v_1 + \cdots + (\lambda_{n} - \lambda_{n-1}) a_{n-1} v_{n-1}
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Aus der Induktionsvoraussetzung folgt, dass alle Koeffizienten
\mathbed {(\lambda_n - \lambda_i)a_i=0} {}
{i = 1 , \ldots , n-1} {}
{} {} {} {,}
sein müssen. Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda_n - \lambda_i
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt
\mathbed {a_i=0} {für}
{i = 1 , \ldots , n-1} {}
{} {} {} {}
und wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v_n
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist dann auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_n
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
{Lineare Abbildung/Endlich dimensional/Eigenwerte durch Dimension beschränkt/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es maximal
\mathl{\operatorname{dim}_{ } { \left( V \right) }}{} viele
\definitionsverweis {Eigenwerte}{}{}
zu $\varphi$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 22.3. }
Insbesondere besitzt ein Endomorphismus auf einem endlichdimensionalen Vektorraum nur endlich viele Eigenwerte.
\zwischenueberschrift{Geometrische Vielfachheit}
Die Einschränkung einer linearen Abbildung auf einen Eigenraum ist die Streckung um den zugehörigen Eigenwert, also eine besonders einfache lineare Abbildung. Bezüglich einer Diagonalmatrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} d_1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & d_2 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & d_{ n-1} & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & d_{ n } \end{pmatrix}} { }
besitzt die Standardbasis die Eigenschaft, dass jeder Basisvektor ein Eigenvektor zu der durch die Matrix gegebenen Abbildung ist. Bei einer Diagonalmatrix kann man sofort die Eigenräume angeben, siehe
Beispiel 21.4,
und zwar besteht der Eigenraum zu $d$ aus allen Linearkombinationen der Standardvektoren $e_i$, für die $d_i$ gleich $d$ ist. Insbesondere ist die Dimension des Eigenraums gleich der Anzahl, wie oft $d$ als Diagonalelement auftritt. Generell sind die Dimensionen der Eigenräume wichtige Invarianten zu einem Endomorphismus.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zu einem
\definitionsverweis {Eigenwert}{}{}
\mathl{\lambda \in K}{} nennt man
\mathdisp {\operatorname{dim}_{ } { \left( \operatorname{Eig}_{ \lambda } { \left( \varphi \right) } \right) }} { }
die
\definitionswort {geometrische Vielfachheit}{}
des Eigenwerts.
}
Ein
\mathl{\lambda \in K}{} ist insbesondere genau dann ein Eigenwert von $\varphi$, wenn seine geometrische Vielfachheit mindestens $1$ ist. Es ist einfach, Beispiele anzugeben, wo die geometrische Vielfachheit eines Eigenwertes jeden Wert zwischen $1$ und der Dimension des Raumes annimmt.
\inputfaktbeweis
{Eigenräume/Direkt/Dimension/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die
\definitionsverweis {Summe}{}{}
der
\definitionsverweis {Eigenräume}{}{}
\mathl{\operatorname{Eig}_{ \lambda } { \left( \varphi \right) }}{}
\definitionsverweis {direkt}{}{}
und es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{ \lambda \in K} \operatorname{dim}_{ } { \left( \operatorname{Eig}_{ \lambda } { \left( \varphi \right) } \right) }
}
{ \leq} { \operatorname{dim}_{ } { \left( V \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt direkt aus Lemma 22.3.
\zwischenueberschrift{Diagonalisierbarkeit}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Dann heißt $\varphi$ \definitionswort {diagonalisierbar}{,} wenn $V$ eine \definitionsverweis {Basis}{}{} aus \definitionsverweis {Eigenvektoren}{}{} zu $\varphi$ besitzt.
}
\inputfaktbeweis
{Lineare Abbildung/Diagonalisierbar/Charakterisierungen/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}}
\faktuebergang {Dann sind folgende Aussagen äquivalent.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{$\varphi$ ist
\definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{.}
}{Es gibt eine Basis $\mathfrak{ v }$ von $V$ derart, dass die
\definitionsverweis {beschreibende Matrix}{}{}
\mathl{M_ \mathfrak{ v }^ \mathfrak{ v }(\varphi)}{} eine
\definitionsverweis {Diagonalmatrix}{}{}
ist.
}{Für jede beschreibende Matrix
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{ M_ \mathfrak{ w }^ \mathfrak{ w }(\varphi)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bezüglich einer Basis $\mathfrak{ w }$ gibt es eine
\definitionsverweis {invertierbare Matrix}{}{}
$B$ derart, dass
\mathdisp {B M B^{-1}} { }
eine Diagonalmatrix ist.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Äquivalenz von (1) und (2) folgt aus der Definition, aus Beispiel 21.4 und der Korrespondenz zwischen linearen Abbildungen und Matrizen. Die Äquivalenz von (2) und (3) folgt aus Korollar 11.12.
Wenn $\varphi$ diagonalisierbar ist und die Eigenwerte mit ihren geometrischen Vielfachheiten bekannt sind, so kann man einfach eine zugehörige Diagonalmatrix aufstellen: Man erstellt die Diagonalmatrix, in deren Diagonalen die Eigenwerte so oft auftreten, wie die geometrischen Vielfachheiten angeben. Insbesondere ist die zugehörige Diagonalmatrix einer diagonalisierbaren Abbildung bis auf die Reihenfolge der Diagonalelemente eindeutig bestimmt.
\inputbeispiel{}
{
Wir schließen an
Beispiel 21.5
an. Es gibt die beiden
\definitionsverweis {Eigenvektoren}{}{}
\mathkor {} {\begin{pmatrix} \sqrt{5} \\1 \end{pmatrix}} {und} {\begin{pmatrix} -\sqrt{5} \\1 \end{pmatrix}} {}
zu den verschiedenen
\definitionsverweis {Eigenwerten}{}{}
\mathkor {} {\sqrt{5}} {und} {- \sqrt{5}} {,}
so dass die Abbildung
nach Korollar 22.10
\definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{}
ist. Bezüglich der
\definitionsverweis {Basis}{}{}
$\mathfrak{ u }$ aus diesen Eigenvektoren wird die lineare Abbildung durch die Diagonalmatrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} \sqrt{5} & 0 \\ 0 & - \sqrt{5} \end{pmatrix}} { . }
beschrieben.
Die
\definitionsverweis {Übergangsmatrix}{}{}
von der Basis $\mathfrak{ u }$ zur durch
\mathkor {} {e_1} {und} {e_2} {}
gegebenen
\definitionsverweis {Standardbasis}{}{}
$\mathfrak{ v }$ ist einfach
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ v } }
}
{ =} { \begin{pmatrix} \sqrt{5} & - \sqrt{5} \\ 1 & 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die
\definitionsverweis {inverse Matrix}{}{}
dazu ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \frac{1}{2 \sqrt{5} } \begin{pmatrix} 1 & \sqrt{5} \\ -1 & \sqrt{5} \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \sqrt{5} } & \frac{1}{2} \\ \frac{-1}{2 \sqrt{5} } & \frac{1}{2} \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Gemäß
Korollar 11.12
besteht die Beziehung
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \begin{pmatrix} \sqrt{5} & 0 \\ 0 & - \sqrt{5} \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} \frac{1}{2 } & \frac{ \sqrt{5} }{2} \\ \frac{1}{2 } & \frac{ -\sqrt{5} }{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sqrt{5} & - \sqrt{5} \\ 1 & 1 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} \frac{1}{2 \sqrt{5} } & \frac{1}{2} \\ \frac{-1}{2 \sqrt{5} } & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sqrt{5} & - \sqrt{5} \\ 1 & 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}
{}{.}
}
\inputfaktbeweis
{Lineare Abbildung/Verschiedene Eigenwerte/Diagonalisierbar/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{,}}
\faktvoraussetzung {die
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{ \dim_{ K } { \left( V \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
verschiedene
\definitionsverweis {Eigenwerte}{}{} besitze.}
\faktfolgerung {Dann ist $\varphi$
\definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Aufgrund von Lemma 22.3 gibt es $n$ \definitionsverweis {linear unabhängige}{}{} \definitionsverweis {Eigenvektoren}{}{.} Diese bilden nach Korollar 8.10 eine \definitionsverweis {Basis}{}{.}
\inputfaktbeweis
{Lineare Abbildung/Diagonalisierbar/Direkte Summe aus Eigenräumen/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $\varphi$ genau dann
\definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{,}
wenn $V$ die
\definitionsverweis {direkte Summe}{}{}
der
\definitionsverweis {Eigenräume}{}{}
ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wenn $\varphi$ diagonalisierbar ist, so gibt es eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} von $V$ aus
\definitionsverweis {Eigenvektoren}{}{.}
Es ist dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Eig}_{ \lambda } { \left( \varphi \right) }
}
{ =} { \langle v_i ,\, \text{der Eigenwert zu } v_i \text{ ist } \lambda \rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ =} { \operatorname{Eig}_{ \lambda_1 } { \left( \varphi \right) } \oplus \cdots \oplus \operatorname{Eig}_{ \lambda_k } { \left( \varphi \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei die Direktheit sich aus
Lemma 22.2
ergibt. Wenn umgekehrt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ =} { \operatorname{Eig}_{ \lambda_1 } { \left( \varphi \right) } \oplus \cdots \oplus \operatorname{Eig}_{ \lambda_k } { \left( \varphi \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
vorliegt, so kann man in jedem der Eigenräume eine Basis wählen. Diese Basen bestehen aus Eigenvektoren und ergeben zusammen eine Basis von $V$.
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten
\mathl{2\times 2}{-}\stichwort {Scherungsmatrizen} {}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix}} { }
mit
\mathl{a \in K}{.} Die
\definitionsverweis {Eigenwertbedingung}{}{}
für ein
\mathl{\lambda \in K}{} bedeutet
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}
}
{ =} { \lambda \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
was zu den beiden Gleichungen
\mathdisp {x+ay = \lambda x \text{ und } y = \lambda y} { }
führt. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\lambda
}
{ \neq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und dann auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
d.h. es kann nur $1$ ein Eigenwert sein. In diesem Fall ist die zweite Gleichung erfüllt und die erste Gleichung wird zu
\mathdisp {x+ay=x \text{ bzw. } ay =0} { . }
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
muss also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sein und dann ist
\mathl{\begin{pmatrix} x \\0 \end{pmatrix}}{} der Eigenraum zum Eigenwert $1$, und
\mathl{\begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix}}{} ist ein Eigenvektor, der den Eigenraum aufspannt. Bei
\mathl{a=0}{} liegt die Einheitsmatrix vor, und der
\definitionsverweis {Eigenraum}{}{}
zum Eigenwert $1$ ist die gesamte Ebene. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es also nur einen eindimensionalen Eigenraum und die Abbildung ist nicht
\definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{.}
}
Das Produkt von zwei Diagonalmatrizen ist natürlich wieder eine Diagonalmatrix. Das folgende Beispiel zeigt, dass das Produkt von diagonalisierbaren Matrizen nicht diagonalisierbar sein muss.
\inputbeispiel{}
{
Es seien
\mathkor {} {G_1} {und} {G_2} {} zwei Geraden im $\R^2$ durch den Nullpunkt und es seien
\mathkor {} {\varphi_1} {und} {\varphi_2} {}
die Achsenspiegelungen an diesen Achsen. Eine Achsenspiegelung ist stets
\definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{,}
und zwar sind die Spiegelungsachse und die dazu senkrechte Gerade Eigengeraden
\zusatzklammer {zu den Eigenwerten $1$ und $-1$} {} {.}
Die
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \psi
}
{ =} { \varphi_2 \circ \varphi_1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
dieser Spiegelungen ist eine
\definitionsverweis {Drehung}{}{,}
und zwar ist der Drehwinkel das Doppelte des Winkels zwischen den beiden Achsen. Eine Drehung ist aber nur dann diagonalisierbar, wenn der Drehwinkel
\mathkor {} {0} {oder} {180} {}
Grad beträgt. Wenn der Winkel zwischen den Achsen von
\mathl{0,90}{} Grad verschieden ist, so besitzt $\psi$ keinen Eigenvektor.
}