Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Vorlesung 25/latex
\setcounter{section}{25}
\epigraph { J'ai décidé d'être heureux parce que c'est bon pour la santé } { Voltaire }
\zwischenueberschrift{Trigonalisierbare Abbildungen}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektor\-raum}{}{.} Eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabb {\varphi} {V} {V } {} heißt \definitionswort {trigonalisierbar}{,} wenn sie bezüglich einer geeigneten \definitionsverweis {Basis}{}{} durch eine \definitionsverweis {obere Dreiecksmatrix}{}{} beschrieben wird.
}
Diagonalisierbare lineare Abbildungen sind insbesondere trigonalisierbar. Die Umkehrung gilt nicht, wie eine Scherungsmatrix zeigt
\zusatzklammer {siehe
Beispiel *****} {} {.}
Wir werden in
Satz 25.10
sehen, dass eine lineare Abbildung genau dann trigonalisierbar ist, wenn das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt. Eine quadratische Matrix $M$ heißt \stichwort {trigonalisierbar} {,} wenn die dadurch definierte lineare Abbildung
\maabb {} { K^n } { K^n
} {}
trigonalisierbar ist. Dies bedeutet, dass es eine Basis gibt, bezüglich der die Abbildung durch eine obere Dreiecksmatrix beschrieben wird, bzw., dass es eine invertierbare Matrix $B$
\zusatzklammer {die Basiswechselmatrix} {} {}
derart gibt, dass
\mathdisp {BMB^{-1}} { }
eine obere Dreiecksmatrix ist. Somit ist eine Matrix genau dann trigonalisierbar, wenn sie
\definitionsverweis {ähnlich}{}{}
zu einer oberen Dreiecksmatrix ist. Das Auffinden einer Basis, bezüglich der obere Dreiecksgestalt vorliegt bzw. die Durchführung des Basiswechsels nennt man \stichwort {Trigonalisierung} {.}
\inputbeispiel{}
{
Wir behaupten, dass die Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{}
ist. Die Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{B
}
{ =} { \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist
\definitionsverweis {invertierbar}{}{}
mit der
\definitionsverweis {inversen Matrix}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{B^{-1}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Eine direkte Rechnung zeigt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ BMB^{-1}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -2 & 5 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Bei diesem Nachweis der Trigonalisierbarkeit taucht die Übergangsmatrix $B$ aus dem Nichts auf. Ein einsichtigerer Trigonalisierbarkeitsnachweis ergibt sich mit Hilfe des
\definitionsverweis {charakteristischen Polynoms}{}{}
und
Satz 25.10.
Das charakteristische Polynom ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ M }
}
{ =} { \det \begin{pmatrix} X-3 & -1 \\ 1 & X-1 \end{pmatrix}
}
{ =} { (X-3)(X-1) +1
}
{ =} { X^2 -4X +4
}
{ =} { (X-2)^2
}
}
{}{}{,}
zerfällt also in Linearfaktoren.
}
{Trigonalisierbar/Direkte Summe/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mathl{V_1 , \ldots , V_n}{}
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{} \definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über dem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ und
\maabbdisp {\varphi_i} {V_i} {V_i
} {}
\definitionsverweis {lineare Abbildungen}{}{}
und es sei
\maabbdisp {\varphi = \varphi_1 \times \cdots \times \varphi_n} {V_1 \times \cdots \times V_n } {V_1 \times \cdots \times V_n
} {}
die
\definitionsverweis {Produktabbildung}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $\varphi$ genau dann
\definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{,}
wenn dies für alle $\varphi_i$ gilt.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 25.5. }
Die vorstehende Aussage gilt insbesondere, wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ =} { \bigoplus_{i \in I} V_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {direkte Summe}{}{}
von
$\varphi$-\definitionsverweis {invarianten Untervektorräumen}{}{}
ist.
\zwischenueberschrift{Invariante Untervektorräume}
Ein
\definitionsverweis {trigonalisierbarer Endomorphismus}{}{}
wird bezüglich einer geeigneten Basis durch eine Matrix der Gestalt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M
}
{ =} { \begin{pmatrix} a_1 & \ast & \cdots & \cdots & \ast \\ 0 & a_2 & \ast & \cdots & \ast \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & a_{ n-1} & \ast \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & a_{ n } \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
beschrieben. Eigenschaften, die für eine solche obere Dreiecksmatrix gelten und die als eine Eigenschaft der linearen Abbildung beschreibbar, also unabhängig von einer gewählten Basis sind, müssen für eine trigonalisierbare Abbildung gelten. Solche Eigenschaften wollen wir verstehen. Durch eine obere Dreiecksmatrix wird der $j$-te Standardvektor $e_j$ auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Me_j
}
{ =} { a_{1j} e_1 + \cdots + a_{jj} e_j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
abgebildet. Insbesondere ist $e_1$ ein Eigenvektor zum Eigenwert $a_{11}$. Charakteristisch für trigonalisierbare Abbildungen ist, dass der Untervektorraum
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V_j
}
{ =} { \langle e_1 , \ldots , e_j \rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
durch $M$ in sich selbst hinein abgebildet wird, d.h. die $V_j$ sind
$M$-\definitionsverweis {invariante}{}{}
Untervektorräume, die ineinander enthalten sind und deren Dimension gleich $j$ ist. Wir werden nach einigen Vorbereitungen zeigen, dass diese Eigenschaft trigonalisierbare Abbildungen charakterisiert.
\inputfaktbeweis
{Endomorphismus/Eigenwert/Invariante Hyperebene/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es sei $V$ ein
$n$-\definitionsverweis {dimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Eigenwert}{}{}
von $\varphi$.}
\faktfolgerung {Dann gibt es einen
$\varphi$-\definitionsverweis {invarianten}{}{} \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subset }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der Dimension
\mathl{n-1}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Nach Voraussetzung und nach
Lemma 22.1
besitzt die Abbildung
\mathl{\varphi - \lambda
\operatorname{Id}_{ V }}{} einen nichttrivialen
\definitionsverweis {Kern}{}{.}
Sie ist also nicht
\definitionsverweis {injektiv}{}{}
und nach
Korollar 11.9
auch nicht
\definitionsverweis {surjektiv}{}{.}
Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ B
}
{ \defeq} { \operatorname{bild} { \left( \varphi - \lambda
\operatorname{Id}_{ V } \right) }
}
{ \subset} { V
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein echter Unterraum von $V$. Es gibt dann auch einen Untervektorraum
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subset }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der Dimension
\mathl{n-1}{,} der $B$ enthält. Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gehört wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(u)
}
{ =} { \lambda u + (\varphi - \lambda
\operatorname{Id}_{ V }) u
}
{ \in} { U + B
}
{ \subseteq} { U
}
{ } {
}
}
{}{}{}
das Bild zu $U$, d.h. $U$ ist $\varphi$-invariant.
Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein $\varphi$-invarianter Untervektorraum und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Polynom ist, so ist $U$ auch $P(\varphi)$-invariant, siehe
Aufgabe 23.31.
In dieser Situation gilt die folgende Gleichheit.
\inputfaktbeweis
{Endomorphismus/Invarianter Unterraum/Polynom/Wirkungsweise/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
$\varphi$-\definitionsverweis {invarianter Untervektorraum}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gilt zu jedem Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P { \left( \varphi {{|}}_U \right) }
}
{ =} { { \left( P ( \varphi ) \right) }{{|}}_U
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei hier
\mathl{\varphi {{|}}_U}{} die im Definitionsbereich und auch im Bildbereich eingeschränkte Abbildung bezeichnet.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies überprüft man direkt für die Potenzen $X^n$ und für Linearkombinationen davon.
\inputfaktbeweis
{Endomorphismus/Invarianter Unterraum/Minimalpolynom/Teilbarkeit/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
$\varphi$-\definitionsverweis {invarianter Untervektorraum}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi{{|}}_{U}} {U} {U
} {}
die Einschränkung auf $U$
\zusatzklammer {auch im Bildbereich} {} {.}}
\faktfolgerung {Dann ist das
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
zu $\varphi$ ein Vielfaches des Minimalpolynoms von $\varphi{{|}}_U$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei $\mu$ das Minimalpolynom zu $\varphi$. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u
}
{ \in }{U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist nach
Lemma 25.5
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \mu { \left( \varphi{{|}}_U \right) } (u)
}
{ =} { \mu( \varphi) (u)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher annulliert $\mu$ den eingeschränkten Endomorphismus
\mathl{\varphi{{|}}_U}{} und daher ist $\mu$ ein Vielfaches des Minimalpolynoms von
\mathl{\varphi{{|}}_U}{.}
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {Permutationsmatrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \end{pmatrix}} { . }
Es ist
\mathl{K \begin{pmatrix} 1 \\1\\ 1 \end{pmatrix}}{} der
\definitionsverweis {Eigenraum}{}{}
zum Eigenwert $1$, ferner ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U
}
{ =} { \langle \begin{pmatrix} 1 \\-1\\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\1\\ -1 \end{pmatrix} \rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {invarianter Untervektorraum}{}{}
\zusatzklammer {der sich über ${\mathbb C}$ gemäß
Lemma 24.11
in weitere Eigenräume zerlegen lässt} {} {.}
Bezüglich der angegebenen Basis besitzt die Einschränkung der linearen Abbildung auf $U$ die beschreibende Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}} { , }
somit ist das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
davon gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{X(X+1)+1
}
{ =} { X^2+X+1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies ist zugleich das
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
der Einschränkung. Das Minimalpolynom zur Permutationsmatrix ist
\mathl{X^3-1}{,} und in der Tat ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{X^3-1
}
{ =} { (X-1) (X^2+X+1)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in Übereinstimmung mit
Korollar 25.6.
}
\zwischenueberschrift{Charakterisierungen für trigonalisierbar}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {149px-Animation_Drap_Allemagne_T.gif} }
\end{center}
\bildtext {Eine Fahne setzt sich aus dem Fußpunkt, der Fahnenstange, dem Fahnentuch und dem Raum, in dem das Tuch weht, zusammen.} }
\bildlizenz { 149px-Animation Drap Allemagne T.gif } {} {MG} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
$V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektor\-raum}{}{} der Dimension
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ = }{ \dim_{ K } { \left( V \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Dann heißt eine Kette von
\definitionsverweis {Untervektorräumen}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 0
}
{ =} { V_0
}
{ \subset} { V_1
}
{ \subset \ldots \subset} { V_{n-1}
}
{ \subset} {V_n
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ =} { V
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{}
eine \definitionswort {Fahne}{} in $V$.
}
Eine Fahne ist also eine Kette von ineinander enthaltenen Untervektorräumen, bei der die Dimension in jedem Schritt um $1$ hochgeht.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
der
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
$n$ und
\maabbdisp {f} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}
Eine
\definitionsverweis {Fahne}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0
}
{ =} { V_0
}
{ \subset} { V_1
}
{ \subset \ldots \subset} { V_{n-1}
}
{ \subset} { V_n
}
}
{}{}{}
heißt
\definitionswortpraemath {f}{ invariant }{,}
wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(V_i)
}
{ \subseteq }{ V_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i
}
{ = }{ 0,1 , \ldots , n-1,n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
\inputfaktbeweis
{Lineare Abbildung/Trigonalisierbar/Charakterisierungen/1/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}}
\faktuebergang {Dann sind folgende Aussagen äquivalent.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungvier{$\varphi$ ist
\definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{.}
}{Es gibt eine
$\varphi$-\definitionsverweis {invariante Fahne}{}{.}
}{Das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
\mathl{\chi_{ \varphi }}{} zerfällt in
\definitionsverweis {Linearfaktoren}{}{.}
}{Das
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
\mathl{\mu_\varphi}{} zerfällt in
\definitionsverweis {Linearfaktoren}{}{.}
}}
\faktzusatz {Wenn $\varphi$ trigonalisierbar ist und bezüglich einer Basis durch die Matrix $M$ beschrieben wird, so gibt es eine
\definitionsverweis {invertierbare Matrix}{}{}
\zusatzklammer {es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{ \dim_{ K } { \left( V \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ B
}
{ \in }{ \operatorname{Mat}_{ n \times n } (K)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass
\mathl{BMB^{-1}}{} eine
\definitionsverweis {obere Dreiecksmatrix}{}{}
ist.}
\faktzusatz {}
}
{
Von (1) nach (2). Es sei
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} eine Basis, bezüglich der die beschreibende Matrix zu $\varphi$ obere Dreiecksgestalt besitzt. Dann folgt durch direkte Interpretation der Matrix, dass die Untervektorräume
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V_i
}
{ \defeq} { \langle v_1 , \ldots , v_i \rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
$\varphi$-\definitionsverweis {invariant}{}{}
sind und somit eine invariante Fahne vorliegt.
Von (2) nach (1). Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 0
}
{ =} { V_0
}
{ \subset} { V_1
}
{ \subset \ldots \subset} { V_{n-1}
}
{ \subset} { V_n
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ =} { V
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{}
eine
$\varphi$-\definitionsverweis {invariante Fahne}{}{.}
Aufgrund des
Basisergänzungssatzes
gibt es eine Basis
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} von $V$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V_i
}
{ =} { \langle v_1 , \ldots , v_i \rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da die Fahne invariant ist, gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(v_i)
}
{ =} { b_{1i} v_1 +b_{2i} v_2 + \cdots + b_{ii} v_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Bezüglich dieser Basis besitzt die
\definitionsverweis {beschreibende Matrix}{}{}
zu $\varphi$ somit
\definitionsverweis {obere Dreiecksgestalt}{}{.}
Von (1) nach (3). Das charakteristische Polynom von $\varphi$ ist gleich dem charakteristischen Polynom $\chi_{ M }$, wobei $M$ eine beschreibende Matrix bezüglich einer beliebigen Basis ist. Wir können also annehmen, dass $M$ eine obere Dreiecksmatrix ist. Dann ist nach Lemma 16.4 das charakteristische Polynom das Produkt der Linearfaktoren zu den Diagonaleinträgen.
Aus (3) folgt (4), da das Minimalpolynom nach Korollar 24.3 ein Teiler des charakteristischen Polynoms ist.
Von (4) nach (2). Wir beweisen die Aussage durch Induktion nach $n$, wobei die Fälle
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ n
}
{ =} { 0,1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
klar sind. Nach Voraussetzung und nach
Korollar 24.3
und
Satz 23.2
besitzt $\varphi$ einen Eigenwert. Nach
Lemma 25.4
gibt es einen
\mathl{(n-1)}{-}dimensionalen
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V_{n-1}
}
{ \subset} { V
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
der
$\varphi$-\definitionsverweis {invariant}{}{}
ist. Nach
Korollar 25.6
ist das Minimalpolynom der Einschränkung
\mathl{\varphi{{|}}_{V_{n-1} }}{} ein Teiler des Minimalpolynoms von $\varphi$ und zerfällt daher wie dieses in Linearfaktoren. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es eine
\mathl{\varphi{{|}}_{V_{n-1} }}{-}invariante Fahne
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V_1
}
{ \subset} { V_2
}
{ \subset \ldots \subset} { V_{n-2}
}
{ \subset} { V_{n-1}
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
und somit ist dies auch eine $\varphi$-invariante Fahne.
\teilbeweis {Der Zusatz ergibt sich wie folgt.\leerzeichen{}}{}{}
{Die trigonalisierbare Abbildung $\varphi$ werde bezüglich der Basis $\mathfrak{ u }$ durch die Matrix $M$ beschrieben, und bezüglich der Basis $\mathfrak{ v }$ durch die obere Dreiecksmatrix $T$. Dann gilt nach
Korollar 11.12
die Beziehung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ = }{ BMB^{-1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei $B$ den Basiswechsel beschreibt.}
{}
\inputbemerkung
{}
{
Das im Beweis zur Implikation (4) $\Rightarrow$ (2) von
Satz 25.10
beschriebene Verfahren zum Auffinden einer invarianten Fahne, das auf
Lemma 25.4
beruht, ist grundsätzlich konstruktiv durchführbar. Wenn die Einschränkung
\mathl{\varphi_{{|}} U_i}{} auf einen schon konstruierten invarianten Untervektorraum $U_i$ keinen Eigenwert besitzt, so weiß man, dass die lineare Abbildung nicht trigonalisierbar ist.
}
\inputfaktbeweis
{Quadratische Matrizen/C/Trigonalisierbar/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \in }{\operatorname{Mat}_{ n \times n } ({\mathbb C})
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine quadratische Matrix mit
\definitionsverweis {komplexen}{}{}
Einträgen.}
\faktfolgerung {Dann ist $M$
\definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt aus Satz 25.10 und dem Fundamentalsatz der Algebra.
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten eine reelle $2 \times 2$-Matrix
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \chi_{ M }
}
{ =} { \det { \left( x E_2 - M \right) }
}
{ =} { \det \begin{pmatrix} x-a & -b \\ -c & x-d \end{pmatrix}
}
{ =} { (x-a)(x-d)-bc
}
{ =} { x^2 -(a+d)x +ad-bc
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \left( x- { \frac{ a+d }{ 2 } } \right) }^2 - { \left( { \frac{ a+d }{ 2 } } \right) }^2 +ad-bc
}
{ =} { { \left( x- { \frac{ a+d }{ 2 } } \right) }^2- { \left( { \frac{ a-d }{ 2 } } \right) }^2 -bc
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Dieses Polynom zerfällt in
\zusatzklammer {reelle} {} {}
Linearfaktoren genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \left( { \frac{ a-d }{ 2 } } \right) }^2 +bc
}
{ \geq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Genau in diesem Fall ist die Matrix
nach Satz 25.10
\definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{.}
}