Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil I/Vorlesung 10/latex
\setcounter{section}{10}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Waeller34.jpg} }
\end{center}
\bildtext {Die Entscheidung fiel aber ohne längere Diskussion auf Vorli, weil sie zugewandt, feinfühlig, verständnisvoll, lieb, zuvorkommend, aufmunternd, hilfsbereit, aufmerksam und wuschelig ist.} }
\bildlizenz { Waeller34.jpg } {} {Odatrulle} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
\zwischenueberschrift{Lineare Abbildungen}
Zwischen zwei Vektorräumen interessieren insbesondere die Abbildungen, die mit den Strukturen, also der Addition und der Skalarmultiplikation, verträglich sind.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über $K$.
Eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
heißt \definitionswort {lineare Abbildung}{,} wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.
\aufzaehlungzwei {
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(u+v)
}
{ = }{ \varphi(u) + \varphi(v)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u,v
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
} {
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi( s v)
}
{ = }{ s \varphi(v)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mathkor {} {s \in K} {und} {v \in V} {.}
}
}
Die erste Eigenschaft nennt man dabei die \stichwort {Additivität} {} und die zweite Eigenschaft die \stichwort {Verträglichkeit mit Skalierung} {.} Wenn man den Grundkörper betonen möchte, spricht man von \stichwortpraemath {K} {Linearität}{.} Die Identität
\maabb {\operatorname{Id}_{ V }} {V} {V
} {,}
die Nullabbildung
\maabb {} {V} {0
} {}
und die Inklusionen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
von Untervektorräumen sind die einfachsten Beispiele für lineare Abbildungen. Insgesamt gilt für eine lineare Abbildung die Verträglichkeit mit beliebigen Linearkombinationen, also die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi { \left( \sum_{i = 1}^n s_iv_i \right) }
}
{ =} { \sum_{i = 1}^n s_i \varphi(v_i)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
siehe
Aufgabe 10.2. Statt von linearen Abbildungen spricht man auch von \stichwort {Homomorphismen} {.}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Variables proporcionals.png} }
\end{center}
\bildtext {Der Funktionsgraph einer linearen Abbildung von $\R$ nach $\R$, die Abbildung ist allein durch den Proportionalitätsfaktor $k$ festgelegt.} }
\bildlizenz { Variables proporcionals.png } {} {Coronellian} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
\inputbeispiel{}
{
Die einfachsten
\definitionsverweis {linearen Abbildungen}{}{}
sind
\zusatzklammer {neben der Nullabbildung} {} {}
diejenigen von $K$ nach $K$. Eine solche lineare Abbildung
\maabbeledisp {\varphi} {K} {K
} {x} {\varphi(x)
} {,}
ist aufgrund von
Satz 10.10 \zusatzklammer {siehe unten} {} {}
bzw. direkt aufgrund der Definition durch
\mathl{\varphi(1)}{} bzw. durch den Wert
\mathl{\varphi(t)}{} für ein einziges
\mathbed {t \in K} {}
{t \neq 0} {}
{} {} {} {,}
festgelegt. Es ist also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(x)
}
{ = }{ ax
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit einem eindeutig bestimmten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Insbesondere im physikalischen Kontext, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist und wenn zwischen zwei messbaren Größen ein linearer Zusammenhang besteht, spricht man von \stichwort {Proportionalität} {,} und $a$ heißt der \stichwort {Proportionalitätsfaktor} {.} In der Schule tritt die lineare Beziehung zwischen zwei skalaren Größen als \anfuehrung{Dreisatz}{} auf.
}
Viele wichtige Funktionen, insbesondere von $\R$ nach $\R$, sind nicht linear. Beispielsweise ist das Quadrieren
\mathl{x \mapsto x^2}{,} die Quadratwurzel, die trigonometrischen Funktionen, die Exponentialfunktion, der Logarithmus nicht linear. Aber auch für solche kompliziertere Funktionen gibt es im Rahmen der Differentialrechnung lineare Approximationen, die zum Verständnis dieser Funktionen beitragen.
\inputbeispiel{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $K^n$ der $n$-\definitionsverweis {dimensionale}{}{} \definitionsverweis {Standardraum}{}{.} Dann ist die $i$-te \stichwort {Projektion} {,} also die \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} {K^n} {K } { \left( x_1 , \, \ldots , \, x_{i-1} , \, x_i , \, x_{i+1} , \, \ldots , \, x_n \right) } {x_i } {,} eine $K$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Dies folgt unmittelbar aus der komponentenweisen Addition und Skalarmultiplikation auf dem Standardraum. Die $i$-te Projektion heißt auch die $i$-te \stichwort {Koordinatenfunktion} {.}
}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Korea-grocery shopping-01.jpg} }
\end{center}
\bildtext {Wenn Sie das zehnmal kaufen, müssen Sie zehnmal soviel zahlen. In der linearen Welt gibt es keinen Rabatt.} }
\bildlizenz { Korea-grocery shopping-01.jpg } {L. W. Yang} {} {Commons} {CC-by-sa 2.0} {}
\inputbeispiel{}
{
Es stehen $n$ verschiedene Produkte zum Verkauf an, wobei das $i$-te Produkt
\zusatzklammer {pro Einheit} {} {}
$a_i$ kostet. Ein Einkauf wird durch das $n$-Tupel
\mathdisp {\left( x_1 , \, x_2 , \, \ldots , \, x_n \right)} { }
repräsentiert, wobei $x_i$ die vom $i$-ten Produkt gekaufte Menge angibt. Der Preis des Einkaufs wird dann durch
\mathl{\sum_{i=1}^n a_ix_i}{} beschrieben. Die Preisabbildung
\maabbeledisp {} {\R^n} {\R
} { \left( x_1 , \, x_2 , \, \ldots , \, x_n \right) } { \sum_{i = 1}^n a_ix_i
} {.}
ist
\definitionsverweis {linear}{}{.}
Dies bedeutet beispielsweise, dass wenn man zuerst den Einkauf
\mathl{\left( x_1 , \, x_2 , \, \ldots , \, x_n \right)}{} tätigt und eine Woche später den Einkauf
\mathl{\left( y_1 , \, y_2 , \, \ldots , \, y_n \right)}{,} dass dann der Preis der beiden Einkäufe zusammen dem Preis entspricht, den man bezahlt hätte, wenn man auf einen Schlag
\mathl{\left( x_1+y_1 , \, x_2+y_2 , \, \ldots , \, x_n+y_n \right)}{} gekauft hätte.
}
\inputbeispiel{}
{
Die zu einer
$m \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{ (a_{ij})_{1 \leq i \leq m,\, 1 \leq j \leq n}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gehörende Abbildung \zusatzklammer {siehe
Beispiel 2.8} {} {}
\maabbeledisp {} {K^n} {K^m
} { \begin{pmatrix} s_1 \\\vdots\\ s_n \end{pmatrix} } { M \begin{pmatrix} s_1 \\\vdots\\ s_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sum_{j = 1}^n a_{1j} s_j \\ \sum_{j = 1}^n a_{2j} s_j \\ \vdots\\ \sum_{j = 1}^n a_{mj} s_j \end{pmatrix}
} {,}
ist
\definitionsverweis {linear}{}{.}
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt die
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {\varphi} {V} {V
} {v} {av
} {,}
die \definitionswort {Streckung}{}
\zusatzklammer {oder \definitionswort {Homothetie}{}} {} {}
zum \stichwort {Streckungsfaktor} {} $a$.
}
Bei einer Streckung stimmen Ausgangsraum und Zielraum überein. Die Zahl $a$ heißt \stichwort {Streckungsfaktor} {.} Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
liegt die Identität vor und bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{-1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
spricht man von einer \stichwort {Punktspiegelung} {.}
\inputbeispiel{}
{
Es sei
\mathl{C^0(\R,\R)}{} der Raum der stetigen Funktionen von $\R$ nach $\R$ und
\mathl{C^1(\R,\R)}{} der Raum der stetig differenzierbaren Funktionen. Dann ist die Abbildung
\maabbeledisp {D} {C^1(\R,\R) } { C^0(\R,\R)
} {f } { f'
} {,}
die einer Funktion ihre Ableitung zuordnet,
\definitionsverweis {linear}{}{.}
In der Analysis wird ja
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(af+bg)'
}
{ =} { af' + bg'
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und eine weitere Funktion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ \in }{ C^1(\R,\R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bewiesen.
}
{Lineare Abbildung/Verknüpfung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und seien
\mathl{U,V,W}{} \definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über $K$. Es seien
\mathdisp {\varphi : U \longrightarrow V \text{ und } \psi : V \longrightarrow W} { }
\definitionsverweis {lineare Abbildungen}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist auch die
\definitionsverweis {Verknüpfung}{}{}
\maabbdisp {\psi \circ \varphi} { U} {W
} {}
eine lineare Abbildung.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 10.12. }
{Lineare Abbildung/Bijektiv/Umkehrabbildung linear/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
zwei
$K$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
eine
\definitionsverweis {bijektive}{}{}
\definitionsverweis {lineare}{}{}
\definitionsverweis {Abbildung}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist auch die
\definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi^{-1}} {W} {V
} {}
\definitionsverweis {linear}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 10.13. }
\zwischenueberschrift{Festlegung auf einer Basis}
Hinter der folgenden Aussage \zusatzklammer {dem \stichwort {Festlegungssatz} {}} {} {} steckt das wichtige Prinzip, dass in der linearen Algebra \zusatzklammer {von endlichdimensionalen Vektorräumen} {} {} die Objekte durch endlich viele Daten bestimmt sind.
\inputfaktbeweis
{Lineare Abbildung/Festlegung auf Basis/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über $K$. Es sei
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $V$ und es seien
\mathbed {w_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} Elemente in $W$.}
\faktfolgerung {Dann gibt es genau eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {f} {V} {W
} {} mit
\mathdisp {f(v_i)= w_i \text { für alle } i \in I} { . }
}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{Da
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(v_i)
}
{ = }{w_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sein soll und eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
für jede
\definitionsverweis {Linearkombination}{}{}
die Eigenschaft\zusatzfussnote {Wenn $I$ eine unendliche Indexmenge ist, so sind hier sämtliche Summen so zu verstehen, dass nur endlich viele Koeffizienten nicht $0$ sind} {.} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f { \left( \sum_{i \in I} s_i v_i \right) }
}
{ =} { \sum_{i \in I} s_i f { \left( v_i \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfüllt, und jeder Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sich als eine solche Linearkombination schreiben lässt, kann es maximal nur eine solche lineare Abbildung geben.}
{} \teilbeweis {}{}{}
{Wir definieren nun umgekehrt eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbdisp {f} {V} {W
} {,}
indem wir jeden Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der gegebenen Basis als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v
}
{ =} {\sum_{i \in I} s_i v_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
schreiben
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(v)
}
{ \defeq} { \sum_{i \in I} s_i w_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ansetzen. Da die Darstellung von $v$ als eine solche
\definitionsverweis {Linearkombination}{}{}
eindeutig ist, ist diese Abbildung wohldefiniert. Die Eigenschaft
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(v_i)
}
{ = }{ w_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist dabei klar.}
{}
\teilbeweis {Zur Linearität.\leerzeichen{}}{}{}
{Für zwei Vektoren
\mathkor {} {u= \sum_{i \in I} s_iv_i} {und} {v= \sum_{i \in I} t_iv_i} {}
gilt
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ f { \left( u+v \right) }
}
{ =} { f { \left( { \left( \sum_{i \in I} s_iv_i \right) } + { \left( \sum_{i \in I} t_iv_i \right) } \right) }
}
{ =} { f { \left( \sum_{i \in I} { \left( s_i + t_i \right) } v_i \right) }
}
{ =} { \sum_{i \in I} (s_i + t_i) f { \left( v_i \right) }
}
{ =} { \sum_{i \in I} s_i f { \left( v_i \right) } + \sum_{i \in I} t_i f(v_i)
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { f { \left( \sum_{i \in I} s_iv_i \right) } + f { \left( \sum_{i \in I} t_iv_i \right) }
}
{ =} { f(u) +f(v)
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation ergibt sich ähnlich, siehe
Aufgabe 10.21.}
{}
Insbesondere ist eine lineare Abbildung
\maabb {\varphi} {K^n} { K^m
} {}
durch
\mathl{\varphi(e_1) , \ldots , \varphi(e_n)}{} eindeutig festgelegt.
\inputbeispiel{}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Schrägbild eines Würfels.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Schrägbild eines Würfels.svg } {} {WissensDürster} {Commons} {gemeinfrei} {}
In vielen Situationen soll ein Objekt
\zusatzklammer {beispielsweise ein Würfel} {} {}
im Raum $\R^3$ in einer Ebene $\R^2$ dargestellt werden. Eine Möglichkeit ergibt sich mit Hilfe einer \stichwort {Parallelprojektion} {.} Dabei handelt es sich um eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {} {\R^3} { \R^2
} {}
die bezüglich der Standardbasen
\mathl{e_1,e_2,e_3}{} bzw.
\mathl{f_1,f_2}{} durch
\mathdisp {e_1 \longmapsto f_1, \, e_2 \longmapsto a f_1 + b f_2, \, e_3 \longmapsto f_2} { }
gegeben ist, wobei die Koeffizienten
\mathl{a,b}{}
\zusatzklammer {die \anfuehrung{Tiefenschrägen}{}} {} {}
typischerweise im Bereich
\mathl{[ { \frac{ 1 }{ 3 } }, { \frac{ 1 }{ 2 } } ]}{} gewählt werden. Die Linearität wirkt sich dahingehend aus, dass parallele Geraden in parallele Geraden überführt werden
\zusatzklammer {oder Punkte werden} {} {.}
Der Punkt
\mathl{(x,y,z)}{} wird dabei auf
\mathl{(x+ a y,b y+z)}{} abgebildet. Das
\definitionsverweis {Bild}{}{}
des Objektes unter einer solchen linearen Abbildung nennt man ein \stichwort {Schrägbild} {.}
}
\zwischenueberschrift{Lineare Abbildungen und Matrizen}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Some_linear_maps_kpv_without_eigenspaces.svg} }
\end{center}
\bildtext {Die Wirkungsweise von verschiedenen linearen Abbildungen des $\R^2$ in sich, dargestellt an einer Gehirnzelle.} }
\bildlizenz { Some linear maps kpv without eigenspaces.svg } {} {Dividuum} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
Eine lineare Abbildung
\maabbdisp {\varphi} {K^n} {K^m
} {}
ist durch die Bilder
\mathbed {\varphi(e_j)} {}
{j = 1 , \ldots , n} {}
{} {} {} {,}
der Standardvektoren eindeutig festgelegt, und jedes
\mathl{\varphi(e_j)}{} ist eine Linearkombination
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(e_j)
}
{ =} { \sum_{i = 1}^m a_{ij} e_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und damit durch die Elemente
\mathl{a_{ij}}{} eindeutig festgelegt. Insgesamt ist also eine solche lineare Abbildung durch $mn$ Elemente
\mathbed {a_{ij}} {}
{1 \leq i \leq m} {}
{1 \leq j \leq n} {} {} {,}
festgelegt. Eine solche Datenmenge kann man wieder als Matrix schreiben. Nach
dem Festlegungssatz
gilt dies für alle endlichdimensionalen Vektorräume, sobald sowohl im Definitionsraum als auch im Zielraum der linearen Abbildung eine Basis fixiert ist.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $V$ ein
$n$-\definitionsverweis {dimensionaler}{}{} \definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ v }
}
{ = }{ v_1 , \ldots , v_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei $W$ ein $m$-dimensionaler Vektorraum mit einer Basis
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ w }
}
{ = }{ w_1 , \ldots , w_m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zu einer
\definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
heißt die
$m \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} {M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } ( \varphi)
}
{ =} { (a_{ij})_{ij}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei
\mathl{a_{ij}}{} die $i$-te
\definitionsverweis {Koordinate}{}{}
von
\mathl{\varphi(v_j )}{} bezüglich der Basis $\mathfrak{ w }$ ist, die \definitionswort {beschreibende Matrix zu}{} $\varphi$ bezüglich der Basen.
Zu einer Matrix
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{ (a_{ij})_{ij}
}
{ \in }{ \operatorname{Mat}_{ m \times n } (K)
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt die durch
\mathdisp {v_j \longmapsto \sum_{ i = 1 }^{ m } a_{ij} w_i} { }
gemäß
Satz 10.10
definierte lineare Abbildung
\mathl{\varphi^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } (M)}{} die \definitionswort {durch}{} $M$ \definitionswort {festgelegte lineare Abbildung}{.}
}
Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ = }{W
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
ist, so interessiert man sich häufig, aber nicht immer, für die beschreibende Matrix bezüglich einer einzigen Basis $\mathfrak{ v }$ von $V$.
\inputbeispiel{}
{
Es sei $V$ ein Vektorraum mit
\definitionsverweis {Basen}{}{}
\mathkor {} {\mathfrak{ v }} {und} {\mathfrak{ w }} {.}
Wenn man die Identität
\maabbdisp {\operatorname{Id}} {V} {V
} {}
bezüglich der Basis $\mathfrak{ v }$ vorne und der Basis $\mathfrak{ w }$ hinten betrachtet, so ist wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{
\operatorname{Id} (v_j)
}
{ =} { v_j
}
{ =} { \sum a_{ij} w_i
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
direkt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } (
\operatorname{Id} )
}
{ =} { M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
d.h. die beschreibende Matrix zur identischen linearen Abbildung ist die
\definitionsverweis {Übergangsmatrix}{}{}
zum Basiswechsel von $\mathfrak{ v }$ nach $\mathfrak{ w }$.
}
{Lineare Abbildung/Matrizen/Kommutatives Diagramm/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $V$ ein
$n$-\definitionsverweis {dimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ v }
}
{ = }{ v_1 , \ldots , v_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei $W$ ein $m$-dimensionaler Vektorraum mit einer Basis
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ w }
}
{ = }{ w_1 , \ldots , w_m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit den zugehörigen Abbildungen
\maabbdisp {\Psi_ \mathfrak{ v }} {K^n} {V
} {}
und
\maabbdisp {\Psi_ \mathfrak{ w }} {K^m} {W
} {.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
mit
\definitionsverweis {beschreibender Matrix}{}{}
\mathl{M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } ( \varphi)}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi \circ \Psi_ \mathfrak{ v }
}
{ =} { \Psi_ \mathfrak{ w } \circ M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } ( \varphi)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
d.h. das Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix} K^n & \stackrel{ \Psi_ \mathfrak{ v } }{\longrightarrow} & V & \\ \!\!\!\!\! M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } ( \varphi) \downarrow & & \downarrow \varphi \!\!\!\!\! & \\ K^m & \stackrel{ \Psi_ \mathfrak{ w } }{\longrightarrow} & W & \!\!\!\!\! \\ \end{matrix}} { }
ist kommutativ.}
\faktzusatz {Zu einem Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
kann man
\mathl{\varphi(v)}{} ausrechnen, indem man das Koeffiziententupel zu $v$ bezüglich der Basis $\mathfrak{ v }$ bestimmt, darauf die Matrix
\mathl{M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } ( \varphi)}{} anwendet und zu dem sich ergebenden $m$-Tupel den zugehörigen Vektor bezüglich $\mathfrak{ w }$ berechnet.}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 10.27. }
\inputfaktbeweis
{Lineare Abbildung/Matrix zu Basen/Korrespondenz/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $V$ ein
$n$-\definitionsverweis {dimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ v }
}
{ = }{ v_1 , \ldots , v_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei $W$ ein $m$-dimensionaler Vektorraum mit einer Basis
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ w }
}
{ = }{ w_1 , \ldots , w_m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann sind die in
Definition 10.12
festgelegten Abbildungen
\mathdisp {\varphi \longmapsto M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } ( \varphi) \text{ und } M \longmapsto \varphi^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } (M)} { }
\definitionsverweis {invers}{}{}
zueinander.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir zeigen, dass beide Hintereinanderschaltungen die Identität sind. \teilbeweis {}{}{}
{Wir starten mit einer Matrix
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ = }{ { \left( a_{ij} \right) }_{ij}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und betrachten die Matrix
\mathdisp {M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } }( \varphi^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } }(M) )} { . }
Zwei Matrizen sind gleich, wenn für jedes Indexpaar
\mathl{(i,j)}{} die Einträge übereinstimmen. Es ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{(M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } }( \varphi^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } }(M) ))_{ij}
}
{ =} { i-\text{te Koordinate von } ( \varphi^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } }(M)) (v_j)
}
{ =} { i-\text{te Koordinate von } \sum_{ i = 1 }^{ m } a_{ij} w_i
}
{ =} {a_{ij}
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Es sei nun $\varphi$ eine lineare Abbildung, und betrachten wir
\mathdisp {\varphi^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } }( M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } }(\varphi) )} { . }
Zwei lineare Abbildungen stimmen nach
Satz 10.10
überein, wenn man zeigen kann, dass sie auf der Basis
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} übereinstimmen. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (\varphi^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } }( M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } }(\varphi) ))(v_j)
}
{ =} { \sum_{ i = 1 }^{ m } (M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } (\varphi))_{ij} \, w_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dabei ist nach Definition der Koeffizient
\mathl{(M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } (\varphi))_{ij}}{} die $i$-te Koordinate von
\mathl{\varphi(v_j)}{} bezüglich der Basis
\mathl{w_1 , \ldots , w_m}{.} Damit ist diese Summe gleich
\mathl{\varphi(v_j)}{.}}
{}
Wir bezeichnen die Menge aller linearen Abbildungen von $V$ nach $W$ mit
\mathl{\operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , W \right) }}{.}
Satz 10.15
bedeutet also, dass die Abbildung
\maabbeledisp {} {\operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , W \right) } } { \operatorname{Mat}_{ m \times n } (K)
} {\varphi} { M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } ( \varphi)
} {,}
bijektiv mit der angegebenen Umkehrabbildung ist. Eine lineare Abbildung
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
nennt man auch einen \stichwort {Endomorphismus} {.} Die Menge aller Endomorphismen auf $V$ wird mit
\mathl{\operatorname{End}_{ K } { \left( V \right) }}{} bezeichnet.
\zwischenueberschrift{Isomorphe Vektorräume}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} \definitionsverweis {Vektorräume}{}{} über $K$. Eine \definitionsverweis {bijektive}{}{,} \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} heißt \definitionswort {Isomorphismus}{.}
}
Ein Isomorphismus von $V$ nach $V$ heißt \stichwort {Automorphismus} {.}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} Zwei $K$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{} \mathkor {} {V} {und} {W} {} heißen \definitionswort {isomorph}{,} wenn es einen \definitionsverweis {Isomorphismus}{}{} von $V$ nach $W$ gibt.
}
{Vektorraum/Isomorph gdw gleiche Dimension/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektor\-räume}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann sind
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
genau dann zueinander
\definitionsverweis {isomorph}{}{,}
wenn ihre
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
übereinstimmt.}
\faktzusatz {Insbesondere ist ein $n$-dimensionaler $K$-Vektorraum isomorph zum $K^n$.}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 10.32. }
\inputbemerkung
{}
{
Eine
\definitionsverweis {Isomorphie}{}{}
zwischen einem
$n$-\definitionsverweis {dimensionalen}{}{}
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$ und dem Standardraum $K^n$ ist im Wesentlichen äquivalent zur Wahl einer
\definitionsverweis {Basis}{}{}
in $V$. Zu einer Basis
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ v }
}
{ =} { v_1 , \ldots , v_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gehört die lineare Abbildung
\maabbeledisp {\Psi_ \mathfrak{ v }} {K^n} {V
} {e_i} {v_i
} {,}
die also den Standardraum in den Vektorraum abbildet, indem sie dem $i$-ten
\definitionsverweis {Standardvektor}{}{}
den $i$-ten Basisvektor aus der gegebenen Basis zuordnet. Dies definiert nach
Satz 10.10
eine eindeutige lineare Abbildung, die aufgrund von
Aufgabe 10.23
\definitionsverweis {bijektiv}{}{}
ist. Es handelt sich dabei einfach um die Abbildung
\mathdisp {(a_1 , \ldots , a_{ n }) \longmapsto \sum_{i=1}^n a_iv_i} { . }
Die
\definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{}
\maabbdisp {x = \Psi_ \mathfrak{ v }^{-1}} {V} {K^n
} {}
ist ebenfalls linear und heißt die zur Basis gehörende \stichwort {Koordinatenabbildung} {.} Die $i$-te Komponente davon, also die zusammengesetzte Abbildung
\maabbeledisp {x_i = p_i \circ x} {V} {K
} {v} { (\Psi_ \mathfrak{ v }^{-1}(v))_i
} {,}
heißt $i$-te \stichwort {Koordinatenfunktion} {.} Sie wird mit
\mathl{v_i^*}{} bezeichnet, und gibt zu einem Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in der eindeutigen Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v
}
{ =} { \sum_{i = 1}^n \lambda_i v_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Koordinate $\lambda_i$ aus. Man beachte, dass die lineare Abbildung
\mathl{v_i^*}{} von der gesamten Basis abhängt, nicht nur von dem Vektor $v_i$.
Wenn umgekehrt ein
\definitionsverweis {Isomorphismus}{}{}
\maabbdisp {\Psi} {K^n } { V
} {}
gegeben ist, so sind die Bilder
\mathbeddisp {\Psi(e_i)} {}
{i=1 , \ldots , n} {}
{} {} {} {,}
eine Basis von $V$.
}