Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil I/Vorlesung 11/latex
\setcounter{section}{11}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Waeller35.jpg} }
\end{center}
\bildtext {So gerne Vorli als Vorlesungshund arbeitet, hinterher ist sie doch ganz schön ausgepowert von all der Energie, die sie zum Fließen gebracht hat. Da braucht sie erstmal ein Nickerchen um zu regenerieren.} }
\bildlizenz { Waeller35.jpg } {} {Odatrulle} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
\zwischenueberschrift{Untervektorräume unter linearen Abbildungen}
Eine typische und wohl auch namensgebende Eigenschaft einer linearen Abbildung ist, dass sie Geraden wieder auf Geraden \zusatzklammer {oder Punkte} {} {} abbildet. Allgemeiner ist folgende Aussage.
{Lineare Abbildung/Bild und Urbild/Untervektorräume/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
seien
$K$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
sei eine
$K$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungvier{Für einen
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist auch das
\definitionsverweis {Bild}{}{}
\mathl{\varphi(S) ={ \left\{ \varphi(v) \mid v \in S \right\} }}{} ein Untervektorraum von $W$.
}{Insbesondere ist das Bild
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{bild} \varphi
}
{ = }{ \varphi(V)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der Abbildung ein Untervektorraum von $W$.
}{Für einen Untervektorraum
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ W
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist das
\definitionsverweis {Urbild}{}{}
\mathl{\varphi^{-1}(T) ={ \left\{ v \in V \mid \varphi(v) \in T \right\} }}{} ein Untervektorraum von $V$.
}{Insbesondere ist
\mathl{\varphi^{-1}(0)}{} ein Untervektorraum von $V$.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 11.2. }
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
seien
$K$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
sei eine
$K$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Dann nennt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{kern} \varphi
}
{ \defeq} { \varphi^{-1}(0)
}
{ =} { { \left\{ v \in V \mid \varphi(v) = 0 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
den \definitionswort {Kern}{} von $\varphi$.
}
Der Kern ist also nach der obigen Aussage ein Untervektorraum von $V$.
\inputbemerkung
{}
{
Zu einer
$m \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
$M$ ist der
\definitionsverweis {Kern}{}{}
der durch $M$ gegebenen
\definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {} {K^n} {K^m
} {x} {Mx
} {,}
einfach der Lösungsraum des homogenen
\definitionsverweis {linearen Gleichungssystems}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Mx
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
Wichtig ist das folgende \stichwort {Injektivitätskriterium} {.}
\inputfaktbeweis
{Lineare Abbildung/Kern/Injektivität/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
seien
$K$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
sei eine
$K$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $\varphi$ genau dann
\definitionsverweis {injektiv}{}{,}
wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{kern} \varphi
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{Wenn die Abbildung injektiv ist, so kann es neben
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
keinen weiteren Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(v)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
geben. Also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi^{-1}(0)
}
{ = }{ \{ 0 \}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Es sei umgekehrt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{kern} \varphi
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_1,v_2
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(v_1)
}
{ = }{ \varphi(v_2)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist wegen der Linearität
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(v_1 - v_2)
}
{ =} {\varphi(v_1) - \varphi(v_2)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_1-v_2
}
{ \in }{ \operatorname{kern} \varphi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und damit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v_1
}
{ = }{v_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
{}
\zwischenueberschrift{Die Dimensionsformel}
Die folgende Aussage heißt \stichwort {Dimensionsformel} {.}
\inputfaktbeweis
{Lineare Abbildung/Dimensionsformel/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
seien
$K$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
sei eine
$K$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} und}
\faktvoraussetzung {$V$ sei endlichdimensional.}
\faktfolgerung {Dann gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \dim_{ K } { \left( V \right) }
}
{ =} { \dim_{ K } { \left( \operatorname{kern} \varphi \right) } + \dim_{ K } { \left( \operatorname{bild} \varphi \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ = }{ \dim_{ K } { \left( V \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ = }{ \operatorname{kern} \varphi
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Kern}{}{}
der Abbildung und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ = }{ \dim_{ K } { \left( U \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
seine
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
\zusatzklammer {$k \leq n$} {} {.}
Es sei
\mathdisp {u_1 , \ldots , u_k} { }
eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $U$.
Aufgrund des Basisergänzungssatzes
gibt es Vektoren
\mathdisp {v_1 , \ldots , v_{n-k }} { }
derart, dass
\mathdisp {u_1 , \ldots , u_k, \, v_1 , \ldots , v_{n-k }} { }
eine Basis von $V$ ist. \teilbeweis {Wir behaupten, dass
\mathdisp {w_j = \varphi(v_j), \, j=1 , \ldots , n-k} { , }
eine Basis des Bildes ist.\leerzeichen{}}{}{}
{Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w
}
{ \in }{ W
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Element des Bildes
\mathl{\varphi(V)}{.} Dann gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(v)
}
{ = }{ w
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dieses $v$ lässt sich mit der Basis als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v
}
{ =} { \sum_{i = 1}^{ k } s_i u_i + \sum_{ j = 1 }^{ n-k } t_j v_j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
schreiben. Dann ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{w
}
{ =} { \varphi(v)
}
{ =} { \varphi { \left( \sum_{i=1}^{ k } s_i u_i + \sum_{j = 1}^{n-k } t_j v_j \right) }
}
{ =} { \sum_{i = 1}^{ k } s_i \varphi(u_i) + \sum_{j = 1}^{n- k } t_j \varphi (v_j)
}
{ =} { \sum_{j = 1}^{n-k } t_j w_j
}
}
{}
{}{,}
sodass sich $w$ als
\definitionsverweis {Linearkombination}{}{}
der $w_j$ schreiben lässt.
\teilbeweis {}{}{}
{Zum Beweis der
\definitionsverweis {linearen Unabhängigkeit}{}{}
der
\mathbed {w_j} {}
{j=1 , \ldots , n-k} {}
{} {} {} {,}
sei eine Darstellung der Null gegeben,
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 0
}
{ =} { \sum_{j = 1}^{n-k } t_j w_j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi { \left( \sum_{j = 1}^{n-k } t_j v_j \right) }
}
{ =} { \sum_{j = 1}^{n-k } t_j \varphi { \left( v_j \right) }
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Also gehört
\mathl{\sum_{j=1}^{n-k } t_j v_j}{} zum Kern der Abbildung und daher kann man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{ j = 1 }^{n-k } t_j v_j
}
{ =} { \sum_{ i = 1 }^{ k } s_i u_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
schreiben. Da insgesamt eine Basis von $V$ vorliegt, folgt, dass alle Koeffizienten $0$ sein müssen, also sind insbesondere
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t_j
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
{}}
{}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
seien
$K$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
sei eine
$K$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} und $V$ sei endlichdimensional. Dann nennt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{rang} \, \varphi
}
{ \defeq} { \dim_{ K } { \left( \operatorname{bild} \varphi \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
den \definitionswort {Rang}{} von $\varphi$.
}
Die Dimensionsformel kann man auch als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \dim_{ K } { \left( V \right) }
}
{ =} { \dim_{ K } { \left( \operatorname{kern} \varphi \right) } + \operatorname{rang} \, \varphi
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ausdrücken.
\inputbemerkung
{}
{
Es sei
\maabb {\varphi} {V} {W
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
mit $V$
\definitionsverweis {endlichdimensional}{}{.}
Die Dimensionsformel
besitzt die folgenden Spezialfälle. Wenn $\varphi$ die Nullabbildung ist, so ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{kern} \varphi
}
{ = }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{rang} \, \varphi
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wenn $\varphi$
\definitionsverweis {injektiv}{}{}
ist, so ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{kern} \varphi
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{rang} \, \varphi
}
{ =} { \dim_{ K } { \left( V \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Der
\definitionsverweis {Rang}{}{}
liegt stets zwischen $0$ und der Dimension des Ausgangsraumes $V$. Wenn $\varphi$
\definitionsverweis {surjektiv}{}{}
ist, so ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{rang} \, \varphi
}
{ =} { \dim_{ K } { \left( W \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \dim_{ K } { \left( V \right) }
}
{ =} { \dim_{ K } { \left( \operatorname{kern} \varphi \right) } + \dim_{ K } { \left( W \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten die durch die Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \\ 1 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebene
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {\varphi} {\R^3} {\R^4
} {\begin{pmatrix} x \\y\\ z \end{pmatrix}} {M\begin{pmatrix} x \\y\\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y+z \\2y+2z\\ x+3y+4z\\2x+4y+6z \end{pmatrix}
} {.}
Zur Bestimmung des
\definitionsverweis {Kerns}{}{}
müssen wir das
\definitionsverweis {homogene lineare Gleichungssystem}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} y+z \\2y+2z\\ x+3y+4z\\2x+4y+6z \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 0\\0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
lösen. Der Lösungsraum ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{L
}
{ =} { { \left\{ s \begin{pmatrix} 1 \\1\\ -1 \end{pmatrix} \mid s \in \R \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und dies ist der Kern von $\varphi$. Der Kern ist also eindimensional und daher ist die Dimension des Bildes nach
der Dimensionsformel
gleich $2$.
}
\inputfaktbeweis
{Vektorraum/Endlichdimensional/Injektiv surjektiv bijektiv/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über $K$ der gleichen
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
$n$. Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $\varphi$ genau dann
\definitionsverweis {injektiv}{}{,}
wenn $\varphi$
\definitionsverweis {surjektiv}{}{}
ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt aus der Dimensionsformel und Lemma 11.4.
\zwischenueberschrift{Verknüpfung von linearen Abbildungen und Matrizen}
In der letzten Vorlesung haben wir unter der Voraussetzung, dass Basen fixiert sind, die Korrespondenz zwischen linearen Abbildungen und Matrizen besprochen. Diese Korrespondenz berücksichtigt auch Hintereinanderschaltungen und Matrizenmultiplikation, wie das folgenden Lemma zeigt.
\inputfaktbeweis
{Lineare Abbildung/Matrix/Hintereinanderschaltung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {}
\faktfolgerung {Bei der
\definitionsverweis {Korrespondenz}{}{}
zwischen
\definitionsverweis {linearen Abbildungen}{}{}
und
\definitionsverweis {Matrizen}{}{}
entsprechen sich die
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
von linearen Abbildungen und die
\definitionsverweis {Matrizenmultiplikation}{}{.}}
\faktzusatz {Damit ist folgendes gemeint: es seien
\mathl{U,V,W}{}
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ mit
\definitionsverweis {Basen}{}{}
\mathdisp {\mathfrak{ u } = u_1 , \ldots , u_p , \, \mathfrak{ v } = v_1 , \ldots , v_n \text{ und } \mathfrak{ w } = w_1 , \ldots , w_m} { . }
Es seien
\mathdisp {\psi:U \longrightarrow V \text{ und } \varphi: V \longrightarrow W} { }
lineare Abbildungen. Dann gilt für die beschreibenden Matrizen von
\mathl{\psi,\, \varphi}{} und der Hintereinanderschaltung
\mathl{\varphi \circ \psi}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ w } } (\varphi \circ \psi )
}
{ =} { ( M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } (\varphi) ) \circ ( M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ v } }(\psi) )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
}
{
Wir betrachten das
\definitionsverweis {kommutative Diagramm}{}{}
\mathdisp {\begin{matrix} K^p & \stackrel{ M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ v } } ( \psi) }{\longrightarrow} & K^n & \stackrel{ M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } ( \varphi) }{\longrightarrow} & K^m & \\ \!\!\!\!\! \Psi_{ \mathfrak{ u } } \downarrow & & \!\!\!\!\! \Psi_{ \mathfrak{ v } } \downarrow & & \downarrow & & \\ U & \stackrel{ \psi }{\longrightarrow} & V & \stackrel{ \varphi }{\longrightarrow} & W & \!\!\!\!\! , \\ \end{matrix}} { }
wobei die Kommutativität auf der Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi \circ \Psi_ \mathfrak{ v }
}
{ =} { \Psi_ \mathfrak{ w } \circ M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } ( \varphi)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
aus
Lemma 10.14
beruht. Dabei sind die
\zusatzklammer {inversen} {} {}
\definitionsverweis {Koordinatenabbildungen}{}{}
$\psi_ \mathfrak{ v }$ jeweils bijektiv, und somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } ( \varphi)
}
{ =} { \Psi_ \mathfrak{ w }^{-1} \circ \varphi \circ \Psi_ \mathfrak{ v }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Also ist insgesamt
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ w } } ( \varphi \circ \psi)
}
{ =} { \Psi_ \mathfrak{ w }^{-1} \circ ( \varphi \circ \psi) \circ \Psi_ \mathfrak{ u }
}
{ =} { { \left( \Psi_ \mathfrak{ w }^{-1} \circ \varphi \right) } \circ { \left( \Psi_ \mathfrak{ v } \circ \Psi_ \mathfrak{ v }^{-1} \right) } \circ { \left( \psi \circ \Psi_ \mathfrak{ u } \right) }
}
{ =} { { \left( \Psi_ \mathfrak{ w }^{-1} \circ \varphi \circ \Psi_ \mathfrak{ v } \right) } \circ { \left( \Psi_ \mathfrak{ v }^{-1} \circ \psi \circ \Psi_ \mathfrak{ u } \right) }
}
{ =} { M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } ( \varphi ) \circ M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ v } } ( \psi)
}
}
{}
{}{,}
wobei hier überall die Abbildungsverknüpfung steht. Nach
Aufgabe 10.20
stimmt die letzte Verknüpfung mit dem Matrixprodukt überein.
Daraus folgt beispielsweise, dass das Produkt von Matrizen assoziativ ist.
\zwischenueberschrift{Lineare Abbildungen und Basiswechsel}
\inputfaktbeweis
{Lineare Abbildung/Endlichdimensional/Basiswechsel/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektor\-räume}{}{.} Es seien
\mathkor {} {\mathfrak{ v }} {und} {\mathfrak{ u }} {}
\definitionsverweis {Basen}{}{}
von $V$ und
\mathkor {} {\mathfrak{ w }} {und} {\mathfrak{ z }} {}
Basen von $W$.
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{,}
die bezüglich der Basen
\mathkor {} {\mathfrak{ v }} {und} {\mathfrak{ w }} {}
durch die
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathl{M^ \mathfrak{ v }_ \mathfrak{ w }(\varphi)}{} beschrieben werde.}
\faktfolgerung {Dann wird $\varphi$ bezüglich der Basen
\mathkor {} {\mathfrak{ u }} {und} {\mathfrak{ z }} {}
durch die Matrix
\mathdisp {M^{ \mathfrak{ w } }_{ \mathfrak{ z } } \circ ( M^ \mathfrak{ v }_ \mathfrak{ w }(\varphi) ) \circ ( M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ u } })^{-1}} { }
beschrieben, wobei
\mathkor {} {M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ u } }} {und} {M^{ \mathfrak{ w } }_{ \mathfrak{ z } }} {}
die
\definitionsverweis {Übergangsmatrizen}{}{}
sind, die die Basiswechsel von
\mathkor {} {\mathfrak{ v }} {nach} {\mathfrak{ u }} {}
und von
\mathkor {} {\mathfrak{ w }} {nach} {\mathfrak{ z }} {}
beschreiben.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die linearen Standardabbildungen
\maabb {} {K^n} {V
} {} bzw.
\maabb {} {K^m} {W
} {}
zu den Basen seien mit
\mathl{\Psi_{ \mathfrak{ v } }, \, \Psi_{ \mathfrak{ u } }, \, \Psi_{ \mathfrak{ w } }, \, \Psi_{ \mathfrak{ z } }}{} bezeichnet. Wir betrachten das
\definitionsverweis {kommutative Diagramm}{}{}
\mathdisp {\begin{matrix} K^n & & & \stackrel{ M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } (\varphi) }{\longrightarrow} & & & K^m \\
& \searrow \Psi_{ \mathfrak{ v } } \!\!\!\!\! & & & & \Psi_{ \mathfrak{ w } } \swarrow \!\!\!\!\! & \\
\!\!\!\!\! M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ u } } \downarrow & & V & \stackrel{ \varphi }{\longrightarrow} & W & & \, \, \, \, \downarrow M^{ \mathfrak{ w } }_{ \mathfrak{ z } } \\
& \nearrow \Psi_{ \mathfrak{ u } } \!\!\!\!\! & & & & \Psi_{ \mathfrak{ z } } \nwarrow \!\!\!\!\! & \\
K^n & & & \stackrel{ M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ z } } (\varphi) }{\longrightarrow} & & & K^m ,
\!\!\!\!\!
\end{matrix}} { }
wobei die Kommutativität auf
Lemma 9.1
und
Lemma 10.14
beruht. In dieser Situation ergibt sich insgesamt
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ z } } (\varphi)
}
{ =} { \Psi_{ \mathfrak{ z } }^{-1} \circ \varphi \circ \Psi_{ \mathfrak{ u } }
}
{ =} { \Psi_{ \mathfrak{ z } }^{-1} \circ ( \Psi_{ \mathfrak{ w } } \circ M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } (\varphi) \circ \Psi_{ \mathfrak{ v } }^{-1} ) \circ \Psi_{ \mathfrak{ u } }
}
{ =} { (\Psi_{ \mathfrak{ z } }^{-1} \circ \Psi_{ \mathfrak{ w } } ) \circ M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } (\varphi) \circ ( \Psi_{ \mathfrak{ v } }^{-1} \circ \Psi_{ \mathfrak{ u } } )
}
{ =} { (\Psi_{ \mathfrak{ z } }^{-1} \circ \Psi_{ \mathfrak{ w } } ) \circ M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } (\varphi) \circ ( \Psi_{ \mathfrak{ u } }^{-1} \circ \Psi_{ \mathfrak{ v } } )^{-1}
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { M^{ \mathfrak{ w } }_{ \mathfrak{ z } } \circ M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } (\varphi) \circ( M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ u } } )^{-1}
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
\inputfaktbeweis
{Endomorphismus/Endlichdimensional/Basiswechsel/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Es seien
\mathkor {} {\mathfrak{ u }} {und} {\mathfrak{ v }} {}
\definitionsverweis {Basen}{}{}
von $V$.}
\faktfolgerung {Dann besteht zwischen den Matrizen, die die lineare Abbildung bezüglich
\mathkor {} {\mathfrak{ u }} {bzw.} {\mathfrak{ v }} {}
\zusatzklammer {beidseitig} {} {}
beschreiben, die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M^ \mathfrak{ u }_ \mathfrak{ u }(\varphi)
}
{ =} { M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ u } } \circ M^ \mathfrak{ v }_ \mathfrak{ v }(\varphi) \circ ( M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ u } })^{-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt direkt aus Lemma 11.11.
Es ist eine wichtige Zielsetzung der linearen Algebra, zu einer gegebenen linearen Abbildung
\maabb {\varphi} {V} {V
} {}
eine Basis
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ v }
}
{ = }{v_1 , \ldots , v_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart zu finden, dass die beschreibende Matrix
\mathl{M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ v } } (\varphi)}{} \anfuehrung{möglichst einfach}{} wird.