Kurs:Maß- und Integrationstheorie/6/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	${}\sum$
Punkte	3	3	2	4	2	7	7	5	4	4	9	5	4	5	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Produkt-${}\sigma$-Algebra zu Messräumen ${}(M_{1},{\mathcal {A}}_{1}),\ldots ,(M_{n},{\mathcal {A}}_{n})$.
2. Eine einfache Funktion auf einem Messraum.
3. Eine Topologie auf einer Menge ${}X$.
4. Der positive Teil zu einer Funktion

   $f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}.$

5. Die ${}p$-Norm zu einer ${}p$- integrierbaren Funktion ${}f$ auf einem Maßraum ${}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ (${}p\geq 1$).
6. Ein total beschränkter metrischer Raum ${}M$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über Borelmengen im ${}\mathbb {R} ^{n}$ und Quader.
2. Der Satz über die Existenz des Borel-Lebesgue-Maßes.
3. Die Höldersche Ungleichung.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}M$ eine Menge und ${}{\mathcal {C}}$ das Mengensystem auf ${}M$, das aus allen endlichen Teilmengen von ${}M$ und deren Komplementen besteht. Zeige, dass ${}{\mathcal {C}}$ eine Mengenalgebra ist.

Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

Häuptling Winnetou möchte sich ein neues Tipi über einer quadratischen Grundfläche von ${}3\times 3$ Metern errichten. Er verwendet dafür vier Stangen mit einer Länge von ${}5$ Metern, die in den Eckpunkten der Grundfläche stehen und sich in der Zeltspitze treffen sollen.

a) Wie viel Quadratmeter Büffelhaut wird für das Zeltdach gebraucht?

b) Wie viel Kubikmeter Rauminhalt hat das neue Zelt?

Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige, dass in einem Hausdorff-Raum ${}X$ jeder Punkt ${}x\in X$ abgeschlossen ist.

Aufgabe * (7 Punkte)

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum und seien ${}T_{i}\subseteq M$, ${}i=1,\ldots ,n$, messbare Teilmengen mit ${}\mu (T_{i})<\infty$. Für eine Teilmenge ${}J\subseteq \{1,\ldots ,n\}$ sei

${}T_{J}=\bigcap _{i\in J}T_{i}\,.$

Beweise die Formel

${}\mu {\left(\bigcup _{i=1}^{n}T_{i}\right)}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}{\left(\sum _{J\subseteq \{1,\ldots ,n\},\,{\#\left(J\right)}=k}\mu (T_{J})\right)}\,.$

Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise den Produktsatz für Maße.

Aufgabe * (4 (3+1) Punkte)

Wir betrachten ein gleichschenkliges Dreieck, dessen Schenkel die Länge ${}1$ haben und dessen Winkel am Schenkelschnittpunkt ${}30$ Grad beträgt.

1. Berechne die Grundseite des Dreiecks.
2. Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks.

Aufgabe * (4 Punkte)

Berechne das Volumen der Einheitskugel mit dem Cavalieri-Prinzip.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei

${}Q=[a_{1},b_{1}]\times [a_{2}\times b_{2}]\times \cdots \times [a_{n},b_{n}]\,$

ein Quader im ${}\mathbb {R} ^{n}$ und sei

${}f=x_{1}^{d_{1}}x_{2}^{d_{2}}\cdots x_{n}^{d_{n}}\,$

ein Monom. Berechne ${}\int _{Q}fd\lambda ^{n}$.

Aufgabe * (9 (3+1+1+4) Punkte)

Es sei

${}G={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{+}\mid x^{2}>y^{3}\right\}}\,,$

wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon G\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (xy,x^{2}-y^{3}).$

1. Zeige, dass ${}\varphi$ injektiv ist.
2. Zeige, dass ${}\varphi$ einen Diffeomorphismus auf sein Bild induziert.
3. Zeige, dass das Rechteck ${}Q=[3,4]\times [1,2]$ in ${}G$ liegt.
4. Berechne den Flächeninhalt des Bildes von ${}Q=[3,4]\times [1,2]$ unter ${}\varphi$.

Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise die Höldersche Ungleichung unter Verwendung der Abschätzung

${}AB\leq {\frac {A^{p}}{p}}+{\frac {B^{q}}{q}}\,$

für reelle Zahlen ${}A,B\geq 0$ und ${}p,q\geq 1$ mit ${}{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1$.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}X$ ein Hausdorffraum und es sei ${}Y\subseteq X$ eine Teilmenge, die die induzierte Topologie trage. Es sei ${}Y$ kompakt. Zeige, dass ${}Y$ abgeschlossen in ${}X$ ist.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ ein abgeschlossenes gleichseitiges Dreieck (gemeint ist die Fläche mit Rand) mit Seitenlänge ${}2$. Bestimme die minimale Anzahl an offenen Bällen mit Radius ${}1$, mit denen man ${}T$ überdecken kann.